崔磊

中國較早記錄樂律計算方法的史料文獻包括《管子·地員篇》及《呂氏春秋·音律篇》，但二者著作年代孰早孰晚說法不一，由此“三分損益法”產(chǎn)生于何時，成為“一個有爭議的問題。”[1]不過，通過推理，學界前輩認為《管子·地員篇》產(chǎn)生年代應早于《呂氏春秋》。盡管有著“當時著作多代表一家之言而非一人之作”的顧慮，考慮到《管子·地員篇》雖有詳備的宮、徵、商、羽、角的生成記載，但也只算到五個音，“從歷史發(fā)展的一般規(guī)律來看，它只算到五個音，比之算全十二個半音的《呂氏春秋》，應該更早一些?！盵2《] 律學》一書支持該觀點，同樣有學者認為“‘三分損益法最早見于《管子·地員》，記錄生五音的方法和順序，后《呂氏春秋·季夏紀·音律》規(guī)定了生十二音的順序?！盵“3]‘京房六十律用的生律法是首見于《管子·地員》的三分損益法?！盵4]此外又有研究者研究發(fā)現(xiàn)《管子》中只算到五個音是因其與琴相關，這五個音正合古琴“正調(diào)”[5]。

一、“三分損益”相生五音、十二律

《管子·地員篇》相關生律方法稱為“三分損益法”，關于“三分損益法”是根據(jù)管的長度還是弦的長度進行計算，亦有不同看法，不過根據(jù)目前從音響、文獻、現(xiàn)存樂器（包括琴、管）的相關研究來看，“三分損益法”更大可能為“三分損益弦律”，如文：

“凡將五音起，先主一而三之，四開以合九九；以是生黃鐘小素之首，以成宮?！盵6]

其中“黃鐘小素”之“小素”即為弦。張爾田《清史稿·樂志二》中解釋，

“小素云者，素，白練，乃熟絲，即小弦之謂。言此度之聲立為宮位。其小于此弦之他弦，皆以是為主?！盵7]

該方法具體是將振動弦長平均分成三段，采用益一（增加原弦長的三分之一）、損一（舍去原弦長的三分之一）的方法求得下一律?！豆茏印さ貑T篇》相關記載具體為，“

凡將五音起，先主一而三之，四開以合九九；以是生黃鐘小素之首，以成宮。三分而益之以一，為百有八，為徵。不無有三分而去其乘，適足以是生商。有三分而復于其所，以是生羽。有三分而去其乘，以是生角?！盵8]

文獻可知宮音弦益一得徵音，徵音弦損一得商，商音弦益一得羽，羽音弦損一得角，相關律數(shù)依次為81、108、72、96、64，按照從低到高的音高順序排列應為：徵、羽、宮、商、角，實則得出徵調(diào)式音階，此亦是上述所言古琴之“正調(diào)”。三分損益法所設定的律數(shù)皆為整數(shù)，其中“四開”的設定體現(xiàn)了古人的數(shù)理智慧，“先主一而三之”而后“四開”正可以使得相生五音之律數(shù)為整數(shù)，且“這種有理數(shù)的整數(shù)比關系是符合自然法則的?！盵9]

其實，古“三分損益法”已具備一定的科學依據(jù)?！叭謸p益法”是一種生律方法，亦可稱其為“五度相生法”，所得律制又可稱為“ 五度相生律”[10]（circle-of-fifths system），這種律制是應用諧音列[11]中三號諧音與二號諧音的比例（五度律純五度）生律。繼而《呂氏春秋》中有完整十二律相生的記載，相生法如下，

“黃鐘生林鐘，林鐘生太簇……三分所生，益之一分以上生；三分所生，去其一分以下生。黃鐘、大呂、太簇、夾鐘、姑洗、仲呂、蕤賓為上，林鐘、夷則、南呂、無射、應鐘為下?！盵12]

依此文獻記載，“黃鐘”為上，“林鐘”為下，“黃鐘生林鐘”則是通過“去其一分”而得，此與“三分而益之以一”生“徵”（《管子·地員篇》）不同。

現(xiàn)根據(jù)《呂氏春秋》記載，將其中律名、生律順序、長度比制表如下[13]

表1

其中，蕤賓、大呂二律經(jīng)連續(xù)兩次上生而得，即蕤賓由應鐘之長度比128/243×4/3 而得，大呂由蕤賓之長度比512/729×4/3 而得，這是該生律法中最為顯著的一個特點。從這一特點中可以得知，《管子》中“黃鐘小素之首”宮音“三分而益之以一”（即乘4/3，按《呂氏春秋》所述，“益一”視為“上生”）生徵音與《呂氏春秋》中黃鐘“下生”（即乘2/3）生“林鐘”所不同的原因之一在于可以保證十二律保持在同一個八度之內(nèi)，通過該記載可以推論此時并無涉及到“‘黃鐘還原這個命題。”

二、“黃鐘還原”之探索

中國樂學以律學為基礎，是一門與音樂實踐緊密關聯(lián)的學科，而中國古代近兩千年的律制探索正是為了解決旋宮問題而展開。三分損益相生十二律是中國古人樂律學研究的智慧結晶，不過經(jīng)三分損益法相生十二律有其自身難以調(diào)和的矛盾——“黃鐘”無法還原，即從“黃鐘”相生到“仲呂”時則無法還生到“黃鐘”本律。究其原因，在于十二律內(nèi)部相鄰兩律之間音分并不相同，存在大半音（114 音分）、小半音（90 音分）兩種半音。

（一）“黃鐘不得還原”之律學分析

律學是研究樂音運動規(guī)律的學問，律學分析則是用數(shù)理方法進行具體研究，包括對音程、音高等的計量運算。關于音程的計算方法，包括頻率比、音分值、八度值、對數(shù)值等幾種方式，其中頻率比的計算方法是基礎，音分的計算方法則可以直觀了解音程之間的距離，從而判斷音程大小。上述方式中，除了頻率比之外，其余幾種計算音分數(shù)的方法則涉及對數(shù)原理，運用方法如下：

在五度相生方法中，欲求高五度的一律，則乘3/2，繼而相生，則乘其二次方，即乘（3/2）²，以此類推，而后作八度移動，移低幾個八度則除以2 的幾次冪（即2x）。黃鐘本律相生至仲呂繼而相生回不到黃鐘本律的原因在于多出24 音分（“最大音差”），即從黃鐘相生12 次只可得變律黃鐘，此律距離黃鐘出發(fā)律7 個八度，生律數(shù)理表達式為：（3/2）¹²/2⁷，其音分計算方法為：

log₁₀（（3/2）¹²/2⁷）×1200/log10²

最終得出約24 音分，相較于平均律半音之五分之一強，這也是黃鐘相生十二次后無法還原至黃鐘本律的原因。

實際，黃鐘C 音[14]相生最后得到的音為＃B 音，在十二平均律的律制下＃B 與C 等音，但在五度相生律中，二者并不同。本質上則是由于五度律大全音（C—D）之間存兩個升降音的差別使然，這是五度相生律本身存在的問題。

在數(shù)理計算時，前人曾提出“對數(shù)值……各值小數(shù)點后有五位。實際除了作極精細的研究外，用小數(shù)點后三位即可，第四位四舍五入。一般可以把小數(shù)點略去……”[15]不作細究，難以發(fā)現(xiàn)以小數(shù)計算易出現(xiàn)的問題。在計算過程中，過早將分數(shù)化為小數(shù)，以及提前采用常數(shù)K 的小數(shù)形式，會涉及小數(shù)點后位數(shù)的取舍需要，如計算C 至＃C 與C 至bD 的音差時，若在分數(shù)轉化小數(shù)的計算過程中每一步都采取小數(shù)點后四位數(shù)時，可以得出約22 音分（即“普通音差”，但五度律大半音與小半音音差為“最大音差”24 音分）的結果，采取小數(shù)點后三位時則得到約24 音分（即“最大音差”），采取小數(shù)點后兩位數(shù)時，只能得到約17 音分的結論，結果更差矣。因此，為避免誤差過大，最佳方式為整個運算過程保持使用對數(shù)計算規(guī)則，直至最后無法簡化的情況下采用小數(shù)計算，如此便可以更清晰地得出應有的結果。

著實，樂律學研究涉及到嚴謹?shù)臄?shù)學方法，但“在樂律學的表述和探討中，現(xiàn)有的方法也不夠理想?！盵16]所以啟示著音樂學人既要掌握基本的數(shù)學方法，也需改進固有的方法。

（二）律制探索

由于五度相生律本身存在的矛盾使得黃鐘無法還原，從而影響“旋相為宮”，因此，歷代音樂家和律學研究者為了音樂實踐的需要展開長期探索，其方法主要包括兩類：一類是采用五度相生法繼續(xù)生律，如京房六十律、錢樂之三百六十律；一類是在十二律內(nèi)部進行調(diào)整，使得最后一律可回歸出發(fā)律。

漢代京房是我國最早發(fā)現(xiàn)黃鐘相生十二次無法還原黃鐘本律者，他將該律取名“執(zhí)始”，其與黃鐘相差24 音分，從而京房在三分損益十二律的基礎上，力求“黃鐘自冬至始，及冬至而復”（《后漢書·律歷上》），因此“推此上下，以定六十律之實”相生至六十律“南事”。在該律制中，由黃鐘相生53 次至“色育”律時，其音分已十分接近黃鐘律，二者僅差3.615 音分（亦稱為“京房音差”）。而京房繼而相生至第六十律“南事”為的是“還相為宮”，該“宮”指的是“他前所列舉自黃鐘至蕤賓七聲那樣所組成的一‘均?！盵17]

但該律制難以應用于實踐當中，甚至京房六十律被認為是“從來沒有起過什么積極作用”，“若說京房六十律能有什么作用的話，則它所起的，只能是消極的作用?！盵18]從律學研究角度而言，京房發(fā)現(xiàn)“最大音差”并以嚴密的邏輯思維作數(shù)理探索，此確實為以后的律學發(fā)展奠定了基礎。

在京房六十律的基礎上，延承三分損益法繼續(xù)相生者后繼有人，《隋書·卷十六·律歷志》載，

“宋錢樂之衍京房六十律，更增為三百六十，梁博士沈重，述其名數(shù)?！盵19]

南北朝時期，錢樂之繼續(xù)運用三分損益法，在京房六十律的基礎上繼而相生至三百六十律，從樂律理論研究角度來看，該律制達到了音律細分的最高程度，其“一日”之音差較“京房音差”更小，僅1.845 音分。后期，梁朝沈重同樣發(fā)明三百六十律。

與錢樂之同時期的何承天則認為“上下相生，三分損益其一，蓋是古人簡易之法”，認為“京房不悟，謬為六十?！保ā端鍟ひ魳分尽罚?，由此創(chuàng)制“新率”。具體方法則是在十二律內(nèi)部進行調(diào)整，即先通過三分損益法求得“仲呂還得黃鐘”之實數(shù)174762 2/3，其比黃鐘之（3¹¹）177147 短2384 1/3，后將其差數(shù)平均分成12份，依此加至各律，而后除以“一而九三之”19683 得各律的振動體長度，該律被學界稱為“十二平均律的先驅”[20]。從本質而言，何承天新律之所以不是真正的十二平均律在于其是將振動體長度的差數(shù)十二等分而不是將振動體的頻率比數(shù)十二等分。

自何承天新律之后，更加接近十二平均律且更具物理意義的律制為王樸律。不過，近代學者對王樸律曾有不同見解，有認為王樸律為“純律”者，如楊蔭瀏、吳南薰，亦有認為王樸律為“純正音階律”者，如王光祈。

王樸為五代時期樂律學家，其原理采用的依然是三分損益的基本方法，但王樸律之所以被稱作“新法”，原因正在于他改變了損益比率，促使該律制在一個八度內(nèi)進行調(diào)整。《舊五代史·樂志》所載，

“……（王樸）乃作律準十三弦。宣聲長九尺，張弦各如黃鐘聲?！谑宜某呶宕缭O柱，為黃鐘之清聲。”[21]

其中第13 弦在四尺五寸處設柱，首先框定黃鐘與黃鐘之清聲的弦長關系，體現(xiàn)出王樸已十分明確二律的倍半關系，是一種突破性嘗試。

該律制按照三分損益“隔八相生”的基本方法具體體現(xiàn)在定一弦為黃鐘，其余琴弦設柱順序依次為第八、三、十、五、十二、七、二、九、四、十一、六弦，現(xiàn)按照其生律順序制表如下

表2

總體來看，其律制明顯延承了三分損益的基本方法，但不像京房等采取相生法增加律數(shù)，而是在八度內(nèi)部對弦長有所調(diào)整。由于數(shù)據(jù)之間的差異，促使近代學者們對王樸律屬于何種律制展開爭鳴探討。比較上述數(shù)據(jù)與標準三分損益法的弦長數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，近代學者計算三分損益律弦長時，仲呂、清黃鐘為6.66 尺與4.44 尺，但需要注意的是只有在計算過程中保留小數(shù)點后至少三位數(shù)時可得出該結果，若按照保留小數(shù)點后兩位運算，則得出6.65、4.43 的結論。

表3

通過上表可知，王樸律從黃鐘律出發(fā)，經(jīng)兩次相生所得律之弦長與三分損益律同，但從南呂開始，兩種律制弦長出現(xiàn)差額，包含0.01 尺、0.02 尺。而這種差額的出現(xiàn)，引起近代學者關注并求解。引起差額的出現(xiàn)實際是由于損益比率的不同，但由于王樸并沒有明確說明其損益比率，所以明確比率成為研究王樸律的第一要務。截至今天，分別有學者提出王樸律可能在三分損益法的基礎上，將分母三減去1/500、3/500 進行損益[22]；用“樸質的最佳逼近法”[23]求得比率500000/749785；計算南呂、姑洗兩律時用“躍遷”[24]方法求出分母縮小4/900 的比率等幾種方法。其中采用“躍遷”方法計算所得更符合王樸律。通過分析可知，王樸律旨在于“旋迭為均”，實質已經(jīng)在向十二平均律進一步靠近，且其方法對朱載堉有所啟發(fā)。

最終正式解決“黃鐘還原”，可使得十二律“旋相為宮”的是明代樂律學家朱載堉，其曾高度肯定王樸“足以度越諸家”。朱載堉因王樸啟發(fā)作進一步探索，在《律歷融通》中提出變2/3 為500000000/749153538，變4/3 為1000000000/749153538 的比率上下相生求得各律，此外仍在《律歷融通》《律學新說》《律呂精義》提出不同的計算思路，其中《律呂精義》將具體算法列出，“是故新法不用三分損益，別造密率……”（《律呂精義》）最終創(chuàng)設“新法密率”，創(chuàng)立了真正的十二平均律。由此，歷經(jīng)兩千余年的樂律學難題告一段落。

此外，在歷史探索過程中，亦有劉焯律、蔡元定十八律等律制，但劉焯混淆了頻率比與頻率差的概念，因此其律制犯了根本性錯誤，而蔡元定律制實則同京房六十律前十八律。

三、三分損益“黃鐘無法還原”之本質

前文談到，三分損益律制有其不可調(diào)和的矛盾，其中包含兩種半音，大半音（114 音分），小半音（90）音分，從而導致從黃鐘出發(fā)律無法還原至黃鐘本律，這是通過數(shù)理計算得出的結論。京房、錢樂之等人采用三分損益法繼續(xù)相生，雖音分數(shù)得到了越來越小的差額，但終不如朱載堉之十二平均律般可使黃鐘完滿還原，十二律完滿旋宮。三分損益本質如何，可數(shù)理探得：

由五度相生數(shù)理原理得出，生律式可以3ⁿ/2^m表示，通過對數(shù)原則計算音分數(shù)，最終可得算式：（nlog10³-mlog10²）×1200/log10²，即（n（log10³）（/ log10²）-m）×1200，因為（log10³）（/ log10²）為無理數(shù)，n、m 為有理數(shù)，該算式最終只可得無理數(shù)，所以從數(shù)理本質來看，黃鐘律出發(fā)，無論生律多少次也無法還原黃鐘本律，只可無限縮小差額。

“黃鐘不能還原”“十二律不得旋相為宮”的歷史難題自三分損益法始，自朱載堉“新法”終，歷時近兩千年。京房首先發(fā)現(xiàn)該問題且首次運用數(shù)理計算方法尋求解決方案，為后來的律學研究者奠定基礎，無論是延承三分損益法繼續(xù)生律者，還是改變生律思路在八度內(nèi)調(diào)整者，一定程度上皆得益于京房的啟發(fā)。雖然三分損益法從本質上而言是無法完成黃鐘還原這一使命，但王樸律、朱載堉改變比率的思路亦得益于三分損益。總體而言，將無形之音，轉化為有形之數(shù)，進而實現(xiàn)音之數(shù)理探索，形成中國傳統(tǒng)樂律學之完備理論體系，充溢著先人的偉大智慧！

（責任編輯 于洋）