肖宏琪,肖其珍,劉宏亮

(南華大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,湖南 衡陽 421001)

0 引 言

(1)

f:(d0,∞)→[0,∞)滿足局部利普希茨連續(xù)條件,且

(2)f(r)=0,r≥d1,

其中d0,d1為常數(shù)。而φ具有如下形式

是否存在滿足某種條件的k將決定系統(tǒng)(1)能否形成目標(biāo)編隊(duì)。本文受到參考文獻(xiàn)[10]的啟發(fā),考慮一類非線性多智能體系統(tǒng)的免碰撞編隊(duì)問題。

1 模型介紹和預(yù)備知識

1.1 模型介紹

(2)

定義1 對于初值(x0,v0),系統(tǒng)(2)形成了免碰撞集群指的是

存在C1,C2>0,使得

1.2 圖論知識

一般多智能體系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可以由代數(shù)圖來刻畫,用點(diǎn)表示智能體,而連線表示智能體之間的通信。本文中考慮的所有圖均是有限的簡單圖,其他未說明的概念和術(shù)語參見參考文獻(xiàn)[11]。

圖是指一個(gè)有序三元組(V(G),E(G),ψ(G))。集合V(G)表示圖G的點(diǎn)集,其中元素稱為圖G的點(diǎn)或頂點(diǎn);集合E(G)表示圖G的邊集,其中元素稱為圖G的邊;ψ(G)是關(guān)聯(lián)函數(shù),它使G的每條邊對應(yīng)于G的無序頂點(diǎn)對。若兩個(gè)頂點(diǎn)是一條邊的兩個(gè)端點(diǎn),則稱這兩個(gè)點(diǎn)是相鄰的。若一個(gè)點(diǎn)是一條邊的某個(gè)端點(diǎn),則稱這個(gè)點(diǎn)與這條邊相關(guān)聯(lián)。若以兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的邊的數(shù)目大于兩條,則稱這些邊為重邊。不含重邊的圖稱為簡單圖。

圖G中的一條途徑是指有限的相關(guān)聯(lián)的點(diǎn)邊序列v0e1v1e2v2e3v3…vk-1ekvk。若途徑中出現(xiàn)的邊均不相同,頂點(diǎn)也不相同,則稱這條跡為路。若圖G中任意兩個(gè)點(diǎn)之間總有一條路連接這兩個(gè)點(diǎn),則稱圖G是連通的。頂點(diǎn)vi的相鄰頂點(diǎn)集合記為Ni,本文用j∈Ni表示vj是vi的鄰居。對于相關(guān)聯(lián)的點(diǎn)邊序列vieivj在本文中直接用(i,j)表示邊ei。在本文中,無向圖G中當(dāng)(i,j)∈E(G)時(shí),(j,i)∈E(G)。

1.3 幾個(gè)引理

對系統(tǒng)

(3)

有如下結(jié)論

引理2[13]在系統(tǒng)(3)中,f(t,x)關(guān)于t分段連續(xù),關(guān)于x滿足局部利普希茨條件即對任意x,y∈B={x∈Rn|‖x-x0‖≤r},任意t∈[t0,t1],存在常數(shù)L有

‖f(t,x)-f(t,y)‖≤L‖x-y‖,

那么存在ω>0,使得系統(tǒng)(3)在[t0,t0+ω]存在唯一解。

引理3[13]假設(shè)W為D?Rn的一個(gè)緊子集,對任意的x∈D和t>t0,f(t,x)關(guān)于t都是分段連續(xù)的,關(guān)于x都滿足局部利普希茨條件。若當(dāng)x0∈W時(shí),系統(tǒng)(3)的解都位于W內(nèi),則系統(tǒng)(3)在t>t0上存在唯一解。

2 主要結(jié)論

本小節(jié),給出主要結(jié)論。

(a)先考慮

(4)

此時(shí),有

記

于是,系統(tǒng)(2)取控制器(4)可改寫成

(5)

此時(shí)取能量函數(shù)

(6)

為了證明定理1先給出以下引理,即對于系統(tǒng)(2)取控制器(4)來說,E(x(t),v(t))是一個(gè)關(guān)于t的單調(diào)減函數(shù)。

引理4 假設(shè)(x(t),v(t))在t∈[0,T)上是系統(tǒng)(2)取控制器(4)的一個(gè)解,其中0

即E(x(t),v(t))是一個(gè)關(guān)于t的單調(diào)遞減函數(shù)。

證明:對于0≤t

聯(lián)立式(6),有

‖vi-vj‖2。

證畢。

下面給出定理1的證明。

否則與fij性質(zhì)(f1),(f2),(f3),(f4)矛盾。

所以當(dāng)0≤t≤T時(shí),fij(‖xi-xj‖2)有界。且存在一個(gè)正數(shù)φ0使得

0<φ0≤φ(‖xi-xj‖)<∞。

(7)

同時(shí)有:

這表明

即‖vi‖有界,那么‖vi-vj‖有界,故存在M>0使得

(8)

表明T=+∞。對于系統(tǒng)(2)取控制器(4)的解(x(t),v(t))(0

注意到系統(tǒng)(2)取控制器(4)的右端部分在開集D中連續(xù)(D∶={(x,v)∈RmN×RmN:d0<‖Xi-Xj‖,i≠j}),顯然Ω?D。根據(jù)引理3知道系統(tǒng)(2)取控制器(4)的解在T=+∞時(shí)存在且唯一。

接下來證明各智能體速度趨于一致。由引理4有

‖vi-vj‖2ds≤E(0)。

聯(lián)立式(7),同時(shí)E(x(0),v(0))≥0,又由于G是連通圖,則對于i,j∈V(G)有

從而

(b)當(dāng)m=1時(shí),控制輸入ui分別取

(9)

其中fij定義與(a)中fij定義一致。

此時(shí),有

證明:對于系統(tǒng)(2)取控制器(9),假設(shè),x1(0)>…>xN(0)(或者x1(0)<…

u1=f12((x1-x2)2)(x1-x2),

ui=fi(i-1)((xi-xi-1)2)(xi-xi-1)+

fi(i+1)((xi-xi+1)2)(xi-xi+1)(1

uN=fN(N-1)((xN-xN-1)2)(xN-xN-1),

3 舉例和仿真

在本節(jié)使用matlab給出仿真實(shí)例驗(yàn)證理論結(jié)果。

(10)

對于系統(tǒng)(10),取9個(gè)二維中的粒子,各個(gè)維度對應(yīng)的連接矩陣均為如下

圖1有4張分圖,圖1(a)表示各智能體初始位置;圖1(b)表示t=15時(shí),各智能體位置;圖1(c)表示t=30,各智能體位置;圖1(d)表示t=300,各智能體位置,并且此時(shí)智能體形成了一個(gè)“中”字形。

圖1 智能體的位移

從圖2中可以看到所有的時(shí)間t都有d(t)>0;即智能體之間不會發(fā)生碰撞。

圖2 粒子的最小位移差

圖3有2張圖,圖3(a)表示各智能體x維度上速度變化;圖3(b)表示各智能體y維度上速度變化,可以看出來各智能體速度趨于一致。

圖3 智能體的速度

4 結(jié) 論

在滿足一定條件下,一類粒子間鍵合力(a)將使得多智能體系統(tǒng)達(dá)到免碰撞集群,在此基礎(chǔ)上,得到了在滿足一定條件下,一類粒子間作用力(b)將使得智能體在1維空間內(nèi)避免碰撞,同時(shí)形成特定編隊(duì)。也就是說如果智能體系統(tǒng)在各個(gè)維度均有此類作用力,那么將在多維形成特定編隊(duì)。