廣東省廣州大同中學(510545) 袁 安

1 “深度教學”視域下的高中數(shù)學精準教學模式

圖1

“深度教學”視域下的高中數(shù)學精準教學模式要求教師根據(jù)所學數(shù)學知識的屬性及課型進行科學分析,通過變易圖式在課前、課中、課后針對性的進行深度的學習,通過大數(shù)據(jù)進行精準的教學設計和教學實施,充分發(fā)揮學生的自主性、能動性和創(chuàng)造性,讓學生成為學習的主人,教學模式如圖1.

2 “深度教學”視域下的高中數(shù)學精準教學模式的教材深度理解

理解教材意圖既要從宏觀上把握教材體系的結構、主線,從中觀上要明晰教材內容呈現(xiàn)的方式、邏輯思路等,從微觀上把握知識點的具體表征方式、內容,以及所涉及的思想方法.“橢圓及其標準方程”是一節(jié)數(shù)學概念課,是本章圓錐曲線的第一節(jié)課,是承接“直線與圓的方程”的學習基礎上,用坐標法研究其他幾何問題的第一個重要內容.從教材編排上講,現(xiàn)行教材中把三種圓錐曲線獨編一章,更突出了橢圓的重要地位,在研究過程中,數(shù)形結合思想和坐標法統(tǒng)領全局.從方法、基本模式和理論基礎上講,三種圓錐曲線的研究內容、過程和方法都是“同構”的,按照“曲線的定義——曲線的標準方程——通過方程研究曲線的性質——應用”的過程展開,在展開過程中,教科書把橢圓作為重點,突出它的典型示范作用.這也是大單元教學設計的典型做法,希望通過類比、同化的方式進行融合教學,以便重點突出的同時,也讓學生掌握重要的數(shù)學研究方法和數(shù)學研究思路,為后期更深入的學習打下基礎,提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

3 課前精準推送預習內容,深度了解學生最近發(fā)展區(qū)

為了課堂中讓所有學生都能夠在相同的最近發(fā)展區(qū)進行教學,在“橢圓及其標準方程”第一課時的課前推送3份課前預習資料和1份測試題:1、推送中學阿波羅尼圓的求解方法,讓學生溫習解析法求軌跡方程的“建、設、限、代、化、檢驗”六個步驟.2、推送化簡根式和絕對值的等價條件,反思有哪些方法?特別是雙根式和雙絕對值使用什么方法可以更加簡潔的化簡.3、通過微課和翻轉課堂形式推送求圓方程的4種常用方法,并得到了測試成績如圖2

圖2

從后臺數(shù)據(jù)看,學生都學習了推薦的相關知識和微課,從測試的結果看,基本掌握相關數(shù)學知識與方法,在靈活的應用過程中還有待提升.針對檢測不及格的2位學生通過及時的反饋交流,了解出現(xiàn)問題的原因,并進行針對性的輔導,同時在課中要特別觀注他們的反應.幫助全體學生達到課堂需要的最近發(fā)展區(qū)水平,保證課堂教學的精準性和針對性.

4 課堂深度教學過程的“精準”實施

4.1 借章節(jié)圖,創(chuàng)設情景

為激發(fā)和維持學習動機,借教材章節(jié)引言,通過“用一個垂直于圓錐主軸的平面截圓錐得到的截面是圓的事件進行展開拓展思考.

若改變截面與圓錐主軸所成的角大小,截面會是怎樣的曲線?使用GeoGebra軟件,現(xiàn)場轉動平面,用平面截雙圓錐,再展現(xiàn)出他們的交線,從而得到圖3.

圖3

4.2 深度了解圓錐曲線發(fā)展史,滲透數(shù)學文化

以短視頻的形式講解圓錐曲線發(fā)展的三個階段,第一階段最初發(fā)現(xiàn)是公元前5世紀—公元前4世紀,數(shù)學家梅內繆斯用平面截不同的圓錐,發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線.阿波羅尼奧斯在總結了歐幾里得等前人的成果基礎上,歸納提煉后系統(tǒng)化的寫出了《圓錐曲線》一書,全書8篇,共487個命題,將圓錐曲線的性質網(wǎng)羅殆盡,以致后來2000多年的歷史長河中,幾乎沒有任何一人能寫出更多的性質.

第二階段直到16世紀,開普勒發(fā)現(xiàn)了行星按橢圓的軌道圍繞太陽運行,物理學上伽利略提出來“斜拋運動”時,物體運行軌跡是拋物線,人們才恍然大悟,“圓錐曲線”是自然界物體運動的普遍形式,需要利用數(shù)學工具來研究圓錐曲線的規(guī)律和性質,讓我們更好的認知和理解圓錐曲線.

第三階段是17世紀,隨著笛卡爾發(fā)明了坐標系,創(chuàng)立的“解析幾何”面世,使得人們可以通過代數(shù)方法來解決圓錐曲線問題,從而使人們對圓錐曲線的認識進入了新的階段.

通過視頻讓學生了解圓錐曲線產生的歷史背景,及其不同階段的發(fā)展史,了解圓錐曲線的發(fā)展及應用.從而達到注重利用數(shù)學史料,滲透數(shù)學文化,激勵學生敢于思考、勇于創(chuàng)新,向先輩學習.

4.3 深度體驗,質疑探究,生生互動,歸納橢圓定義

4.3.1 深度體驗、精準引導、變易探究、探究橢圓定義

表1 三種器材畫出的圖形

實驗材料:紙板,圖釘,無彈性的棉線,橡皮筋,鋼絲,GeoGebra軟件及PPT制做說明.

實驗過程:在紙板上隔開一定距離的兩點F1,F2扎上圖釘;

實驗1:選擇比兩點間距離稍長無彈性的棉線一根,將其兩端打結固定在圖釘上;

實驗2:選擇一根橡皮筋,將其兩端打結固定在圖釘上;

實驗3:選擇鋼絲將其兩端打結固定在圖釘上,并且保證鋼絲沒有彎曲;

在三種器材上套好筆,拉緊器材,移動筆尖畫圖,作出的圖形,歸納得到表1.

4.3.2 質疑探究、生生互動、變易區(qū)分、辨析概念內涵

為促進學生對橢圓概念的理解,選擇用變易圖式“區(qū)分”功能列舉概念主要特殊的正、反例進行研究,對定值2a與|F1F2|=2c的大小進行研究.利用平板推送問題,同屏進行探究,并通過變易圖式的“對比”功能引導學生進行互動辨析,形成表2.

表2 變易圖式區(qū)分功能

學生自己歸納出不完備的橢圓定義:動點P到兩定點F1與F2的距離之和為一定值2a,且(2a>|F1F2|=2c)時,動點p的軌跡是橢圓.

4.3.3 引申拓展、師生互動、變易類合、辨析概念外延

對比平面與空間:我們試驗作圖時都是在同一個平面內的,類比圓的定義:在平面內動點P到定點O的距離等于定長的點的集合.能否去掉在平面內?如果沒有限制條件就應是空間動點P到定點O的距離等于定長的點的集合就是球.那么橢圓定義是否應加上平面內?引導學生對空間進行研究,讓學生用剪刀剪下相同的橢圓,組成立體圖形是橢球體,并用GeoGebra軟件現(xiàn)場生成橢球,拓展學生的空間想象能力.讓學生對定義進行辨析,并讓學生對自己小組的作品投屏展示,相互講解交流,統(tǒng)一橢圓定義的認知,得到表3.

表3 變易圖式類合功能

最后讓學生重新歸納總結出規(guī)范準確的橢圓的定義:平面內動點P到兩定點F1與F2的距離之和為一定值2a,且(2a>|F1F2|=2c)時,動點P的軌跡是橢圓.

4.3.4 歸納總結、精準反饋、變易融合、深度理解概念

為了更進一步的完整理解概念,對應在空間中2a>2c變?yōu)?a=2c或2a<2c有什么結論?引導學生進行研究得到以下變易圖式.通過老師的引導,同學們的相互溝通、交流和補充,完成對空間中動點到兩定點距離之和為定值的圖形的歸納總結,分別得到橢球、線段和無圖形三類問題.得到表4.

表4 變易圖式融合功能

為促進高中數(shù)學陳述性知識的鞏固,我們通常選擇思維導圖、定期推送知識重組,列表比較;精致性講述和舉例等教學策略,從而得到圖4.

圖4

4.4 用坐標法(建、設、限、代、化、驗證),求橢圓標準方程

遵循解析幾何研究幾何圖形的邏輯,研究了橢圓的定義及橢圓的畫法,如何求解橢圓的標準方程,引導學生回憶前一章直線與圓的學習,用坐標法的6個步驟(建、設、限、代、化、驗證)引導學生進行類比探究教學.我們能否建立適當?shù)淖鴺讼登蟪鰴E圓的方程呢?

為調動學生的學習積極性,課中老師引導學生類比求圓的標準方程建系方法,通過搶答功能讓學生投屏來展示自己的建系方法,教師及時的反饋,并收集歸納學生如下圖的3類想法,引導學生相互交流,得到表5.

表5 三種常見的建系方法

從學生選擇方法進行統(tǒng)計數(shù)據(jù)(如右圖5)可以看出63%的學生選擇以兩定點所在直線為x軸,以兩定點的中點為坐標原點建系,但還是47%學生沒有進一步的分析和思考,直接以兩定點所在直線為x軸,在兩定點中選取一個點作為坐標原點建系.教師根據(jù)每一種情況進行點評,在點評時要肯定學生的每一種方法都是可行,各有優(yōu)點和不足,并引導學生類比圓的標準方程,根據(jù)橢圓圖形的對稱性及化簡過程的簡潔化和后期的方程的標準化,以兩定點的中點為坐標原點的建系方法更優(yōu).

圖5

在建坐標系后,設動點P(x,y),通過|MF1|+|MF2|=2a,轉化為代數(shù)式后,要求學生進行獨立思考建立等式并進行化簡,這時可以通過小組比賽的形式發(fā)布課堂測試,讓學生們用自己的方法來書寫化簡過程,化簡后再拍照上傳,同學互相討論學習.

上傳的方法有直接平方法和移項平方兩種情況,統(tǒng)計是否完成化簡結果是(a2?c2)x2+a2y2=a2(a2?c2)情況統(tǒng)計結果如圖6.

圖6

從學生相互的評價中大家都能感受到對稱式通過移項平方,可以相互抵消,化簡時計算量更小一些,沒有出現(xiàn)4次的情況,但直接平方的同學因為出現(xiàn)了4次式,計算量太大,學生心中有畏難情緒,所以難以化簡出最后的結果.

為了突破本節(jié)課的難點,結合圖形7,根據(jù)勾股定理,找出a與的幾何意義.2a>2c,即a>c,a2?c2>0兩邊同除以a2(a2?c2)得到=1由圖可知|OF2|=c,|OP|=|PF2|=a,勾股定理變形有b2=a2?c2,設b2=a2?c2(b>0).兩邊同除以a2b2得:=1(a>b>0)再用換元的思想得到標準方程,從而感受數(shù)學的簡潔、對稱、和諧之美.

圖7

4.5 課堂精練,突出知識的綜合應用

利用圖式,把橢圓的文字、幾何、代數(shù)表達書寫出來,有目的地讓學生深入探究并進行系統(tǒng)和全面的理解,全面掌握相關知識.明確他們之間相互聯(lián)系,構建知識網(wǎng)絡.同時為強化學生對標準方程的理解,可以適當加強用定義法和待定系數(shù)法求解橢圓的標準方程.歸納總結如下表6.

表6 三種語言表達相關定義

5 課后精準干預,推送個性化作業(yè)、學生翻轉課堂自主學

根據(jù)課堂測試及課堂表現(xiàn)情況,對學生的復習進行精準的干預,推送針對性的課后測試,學生根據(jù)測試情況,推送錯題解答和針對性的教學內容,學生進行反思和利用翻轉課堂進行自主學習.并針對測試內容精準推送個性化的輔助作業(yè)和拓展性作業(yè),根據(jù)學生的實際情況分層布置作業(yè).從當天推送小測題得分率如表7.

6 “深度教學”視域下的高中數(shù)學精準教學模式教學成效分析

通過表7的數(shù)據(jù)第1題與第2題的得分率達到了96.7%,說明學生對橢圓定義及方程掌握較理想,但第3題得分率只有46.7%,本題較為綜合,考查了新定義,過橢圓焦點三角形的幾何性質,這類題型學生十分的不適應,解題還是停留在剛學習的內容或教師完全教過的內容,對類比及拓展性知識的學習還有待加強.另外焦點三角形的性質為第二節(jié)課幾何性質講解的內容,在這最主要是為下節(jié)課做準備同時起到承上啟下的作用.

表7 高二(1)班課后測得分率

7 教學啟示

7.1 教學過程避免形式主義,應重數(shù)學教學的本質

現(xiàn)在很多公開課的教學中,教師為了迎合學校的評價指標,大家都是按評價的條條框框來組建課堂,教師平時卻從來不用,整個過程觀賞性、作秀的成分太濃,花費大量時間在形式上.PPT設計的動畫十分精美,視頻錄像很熱鬧,但與教學內容關系不大;答案展示十分完備,但黑板上沒有任何的板書過程;課堂熱鬧在游戲之中,而不在數(shù)學思維的形成過程中,教學中沒有體現(xiàn)出數(shù)學教學的核心思想.

7.2 教學內容避免淺層展示,應多維度體驗感悟

教師在處理教材和內容時,對整體的教學框架不清晰,教學前后沒有聯(lián)系,只是把概念、公式、定理、性質讀給學生聽,沒有充分的實例引導學生從概念的抽象生成及概念的內涵和外延進行剖析,學生只是進行了淺層次的記憶,沒有理解其本質,不會分析解決,更不會靈活應用.

7.3 大數(shù)據(jù)應用避免喧賓奪主,應為精準教學服務

在使用信息技術和大數(shù)據(jù)時教師一定注意一個原則,信息技術只是教學工具,并不是萬能的.大數(shù)據(jù)為我們提供了豐富的信息,我們要利用數(shù)據(jù)精準了解學情,并根據(jù)學情進行適當調整教學過程,讓學生與教師的思維進行充分的交流與碰撞,讓教學一直保持在學生的最近發(fā)展區(qū)進行,實施真正的精準教學.

8 結語

“深度教學”視域下的高中數(shù)學精準教學模式根據(jù)大數(shù)據(jù)伴隨式的實時掌握學情,對教學理論、教學目標、操作程序、實現(xiàn)條件和評價方式進行充分融合后,把課前、課中、課后的教學進行了精細的分解,并對教學內容進行深度的體驗式學習.解決了教師精準、科學地教,學生精準、高效地學,提升課堂教學效率,也提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).