廣東省深圳市深圳科學高中(518129) 朱小亮

在最新高考評價體系中,作為學科素養(yǎng)指導體系,強調了“知識整合”,根據應對問題情境的需要,合理地組織相關知識和能力,注重發(fā)散性,提出新視角、新方法[1].因此對于一類經典問題,不應該淺嘗輒止,而應當引導學生多角度,多方位分析,拓展學生的思維空間,提升學生的思維能力.

雙變量問題靈活多變,綜合性強,蘊含著豐富的解題技巧和思想方法,因此是高考的熱點,也是難點.本文以一道雙變量不等式問題解法教學為例,引導學生自主解法探究,并做了變式練習和應用,期待對學生的思維能力有所提升.

題目已知f(x)=xex?mx2,m∈R.若函數f(x)在(0,+∞)上有兩個零點x1,x2,證明:x1+x2>2.

法一:差值換元

令xex?mx2=0,因為x>0,所以ex=mx,所以ex2=mx2,ex1=mx1,兩式相除,得

評注這是答案給出的解析,令t=x2?x1,通過差值換元,把雙變量問題轉化為單變量問題,然后再構造函數,從而轉化為證明單變量不等式.然而這道題解法豐富,教師不能就題講題,淺嘗輒止,而應引導學生探究更多解法,以提升學生思維能力.

法二:比值換元

評注法二用比值換元的方法,把雙變量問題轉化為單變量問題,然后再構造函數,從而轉化為證明單變量不等式,這也是很重要的類比思想.在解題過程中,引導學生解題的方法有:1.取對數.2.對數分開走.

法三:對數均值不等式

評注法三,根據對數不等式,快速找到轉化思路,運算更加簡潔,但是要能構造出對數不等式的形式,有解題條件限制.

師問:以上三種方法均從條件的結構式子出發(fā),經過整體換元或者結構變形進行轉化,從而證明x1+x2>2.如果我們從結果x1+x2>2出發(fā),用分析法找x1+x2>2成立的充分條件呢?

這個問題想引導學生向極值點偏移方向思考,但學生之前沒有學過極值點偏移,學生一時沒有思路,因此老師應做一些鋪墊.

師問:f(x)=0有兩個零點,可以轉化為什么問題?

師問:我們再考察x1+x2>2,如果把x1移到右邊,會出現什么結果?

學生開始自己探究,發(fā)現x1+x2>2,轉化為x2>2?x1,而x2,2?x1都在極值點1的右邊,在一個單調增區(qū)間上,從而證明x1+x2>2,可以轉化為證明g(x2)>g(2?x1),又g(x1)=g(x2),又可以轉化為證g(x1)>g(2?x1),從而轉化為單變量問題,再構造對稱函數F(x)=g(x)?g(2?x)證明,具體證明如下:

法四:極值點偏移

令f(x)=xex?mx2=0,因為x>0,所以ex=mx,得記x∈(0,1),g′(x)<0,g(x)遞減,x∈(1,+∞),g′(x)>0,g(x)遞增,g(1)=e,x→0+,g(x)→+∞,x→+∞,g(x)→+∞,所以m>e時,g(x)有兩個零點x1,x2,且01.

要證x1+x2>2,需證x2>2?x1,又g(x)在(1,+∞)上遞增,所以等價證明g(x2)>g(2?x1),又g(x1)=g(x2),所以等價證明g(x1)>g(2?x1).記F(x)=g(x)?g(2?x)(0

記φ(x)=ex?ex(2?x)(00,即證g(x1)>g(2?x1),從而證明x1+x2>2.

師問:x1+x2>2,可以轉化為>1,x=1是函數g(x)的極值點,如果函數圖形關于x=1對稱,那么應該有現在說明極值點相對向左偏移,這就是極值點偏移問題.大家回顧一下法四,總結一下極值點偏移問題題型和解答步驟.

學生開始自己探究總結,相互討論補充,得到極值點偏移題型和解答步驟:

極值點偏移題型:若函數f(x)有極值點x=a,f(x)有兩個零點x1,x2,且兩個零點分布在極值點x=a兩側,證明:x1+x2>2a(或者x1+x2<2a).

極值點偏移題型解答步驟:(1)移項,將x1或者x2移到右邊(一般移范圍較小的),(2)轉化,利用單調性,轉化為函數值的不等式,(3)構造對稱函數.

師問:法四涉及到指數運算和指數不等式放縮,計算量較大,那有什么方法可以優(yōu)化運算呢?

于是有了下面法五.

法五:兩邊取對數,極值點偏移

令f(x)=xex?mx2=0,因為x>0,所以ex=mx,得易知m>0,兩邊取對數得lnm=x?lnx,記g(x)=x?lnx,g′(x)=1?x∈(0,1),g′(x)<0,g(x)遞減,x∈(1,+∞),g′(x)>0,g(x)遞增,g(1)=1,x→0+,g(x)→+∞,x→+∞,g(x)→+∞,所以lnm>1,即m>e時,g(x)有兩個零點x1,x2,且01.

要證x1+x2>2,需證x2>2?x1,又g(x)在(1,+∞)上遞增,所以等價證明g(x2)>g(2?x1),又g(x1)=g(x2),所以等價證明g(x1)>g(2?x1).記F(x)=g(x)?g(2?x)(01,00,即證g(x1)>g(2?x1),從而證明x1+x2>2.

評注法四,法五,都是極值點偏移,構造對稱函數.但法五兩邊取對數后,對稱函數的導函數形式較簡單,運算量比法四少很多,指對互化,也是解題的常用技巧.

以上對一道例題進行了5種解法,總結了處理雙變量問題的一些策略.當然遇到具體例題,還要根據例題的結構特點,選擇恰當的方法,例如以下的變式練習:

變式一已知f(x)=xex?mx2,m∈R.若函數f(x)在(0,+∞)上有兩個零點x1,x2,x1

學生都能想到差值換元和比值換元,但用比值換元,采用對數分開走的技巧,運算量較少.解答過程如下:

變式二已知f(x)=xex?mx2,m∈R.若函數f(x)在(0,+∞)上有兩個零點x1,x2,x1

學生通過解法對比,選擇極值點偏移方法解答,但法四的極值點偏移解答,會涉及到復雜的指數運算,所以選擇法五,取對數之后,再用極值點偏移解答.

解析如圖,

總結一道經典題,就是一個寶藏,蘊含著豐富的研究價值.本道題蘊含的解題技巧:整體換元,指對互換,對數分開走,構造對稱函數,參數分離,指數不等式放縮等;蘊含的思想方法:數形結合,類比思想,等價轉化,包括:通過差值換元或者比值換元,把兩元問題轉化為一元問題;將函數的零點問題轉為兩個函數交點問題;將指數問題轉化為對數問題;將自變量大小問題轉化為函數值大小問題.培養(yǎng)了學生綜合分析,數學運算的能力.

教師應當經常帶領學生挖掘經典題,以問題為驅動,由點到面,由淺入深,循序漸進引導學生深度思考,自主探究,同時可以變式練習,加深對解題方法的理解和應用,從而促進學生思維發(fā)展,提升學生的分析能力.