安徽省合肥市合肥一六八玫瑰園學(xué)校東校區(qū)(230601) 蔡志永 汪文龍

作為初中數(shù)學(xué)教師,筆者有幸參加了2022年安徽省某高中高一入學(xué)選拔測試試卷的命制.對于如何選擇命題材料、控制試題難度、確定考查內(nèi)容等有了切身體會.現(xiàn)與大家分享與探討,不妥之處敬請批評指正.

1 命題立意

根據(jù)本次測試的性質(zhì),學(xué)校命題組要求,本次試卷考查的內(nèi)容、方法和數(shù)學(xué)思想等都是初中階段所學(xué),不涉及高中特別是高一的知識和解題技巧.防止部分學(xué)生暑假提前學(xué)習(xí),無法保證公平性.同時,又需要考查出高中階段對學(xué)生所需的部分能力.

基于以上要求,考慮到初高中在知識方法等方面的銜接、本題在整張試卷的地位,數(shù)學(xué)命題組決定以二次函數(shù)為載體.二次函數(shù)的圖形與性質(zhì)是初中的重點也是難點,它與一元二次方程、韋達定理、因式分解以及簡單的一元二次不等式等都有密切聯(lián)系.同時,二次函數(shù)還可以提供平面直角坐標系的解題環(huán)境,進而與兩點間距離公式關(guān)聯(lián).

為了考查高中階段所需的部分能力,命題組決定加入三角形和圓的知識,特別是三角形的外接圓和內(nèi)切圓等知識,通過數(shù)形結(jié)合的思想,考查學(xué)生的計算能力.為步入高中以后,學(xué)習(xí)數(shù)列和解析幾何等內(nèi)容做好準備.同時增加題目的難度,提高區(qū)分度.

2 命制過程

初稿1若n為正整數(shù),二次函數(shù)y=x2?nx+1的圖像與x,y軸分別交于點A(x1,0),B(x2,0)、P三點,如圖所示.記?PAB的外接圓半徑為Rn.

(1)求n的最小值;

(2)求Rn;

此題以二次函數(shù)為背景,以圖像與坐標軸的三個交點為頂點構(gòu)造三角形,借助平面直角坐標系,重點考查了二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系,簡單二次不等式的解法,三角形外接圓的性質(zhì),兩點間距離公式等知識.側(cè)重考查學(xué)生的邏輯思維能力和運算能力.

但此題考查高中數(shù)列知識的“味道”太濃,特別是第(3)問還考查了數(shù)列放縮、裂項等處理技巧.不能有效考查學(xué)生的現(xiàn)有水平,與命題立意相悖.于是命題組重新考慮,將第(3)問刪掉,在保留(1)(2)的前提下,加入?PAB的內(nèi)切圓,完成初稿2.

初稿2若n為正整數(shù),二次函數(shù)y=x2?nx+1的圖像與x,y軸分別交于點A(x1,0),B(x2,0)、P三點,如圖所示(圖形不變).記?PAB的外接圓半徑為Rn.

(1)求n的最小值;

(2)求Rn;

(3)求?PAB的內(nèi)切圓半徑rn.

1.發(fā)展經(jīng)濟，盡可能地滿足人民群眾的物質(zhì)生活需要。生產(chǎn)力的發(fā)展是解決民生問題的前提條件?？箲?zhàn)時期人民生活異常困苦，在改善民生問題上，毛澤東更為關(guān)注的是物質(zhì)生活的關(guān)照方面。他說：“要不要民生呢？使老百姓有點飯吃有點衣穿?！保?］125改善民生，“一句話，使人人有衣穿，有飯吃，有書讀，有事做”［2］133；民生問題，“只有從切切實實的有效的經(jīng)濟發(fā)展上才能解決”［4］892；組織人民發(fā)展生產(chǎn)，“就是我們黨的根本路線，根本政策”［5］468。

此題在初稿1的基礎(chǔ)上,減少數(shù)列技巧的考查.通過求解三角形內(nèi)切圓的半徑,增加了運算的復(fù)雜性.對學(xué)生的計算能力和方法有了更高的要求,為高中解析幾何等內(nèi)容的運算作準備.除此之外,本題還考查了三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)、韋達定理、分母有理化、因式分解、約分以及整體代入等知識和技能.

但此題第(3)問與第(1)(2)問之間聯(lián)系不大,且與初中知識聯(lián)系也不緊密.數(shù)學(xué)思想的考查又過于單一.如果作為壓軸題的話,不僅難度不夠,三個小題的難度梯度設(shè)置也不合理.因此,為了增加初中知識的考查和數(shù)學(xué)思想的滲透,提高壓軸題的考查區(qū)分度,命題組參考近幾年安徽中考關(guān)于二次函數(shù)的考查方式,對初稿1和初稿2的試題結(jié)構(gòu)及設(shè)問重新調(diào)整、構(gòu)思與優(yōu)化,最終定稿如下:

定稿若n為正整數(shù),二次函數(shù)y=x2?nx+1的圖像與x,y軸分別交于點A(x1,0),B(x2,0)、P三點.過點P作x軸的平行線,交二次函數(shù)圖像于點C,如圖所示.記?PAB的外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為R、r.

(1)求P、C兩點的坐標(可以用含n的式子表示)及n的最小值;

(2)(i)求證:PA2+PB2=PC2

(ii)求?PAB的外接圓半徑R;

解(1)當x=0時,y=1,∴P(0,1);∵PC//x軸,∴點C的縱坐標為1,當y=1時,x2?nx+1=1,解得x1=0,x2=n,∴C(n,1);∵二次函數(shù)圖像與x軸交于不同的兩點,∴一元二次方程x2?nx+1=0的判別式?>0,即n2?4>0,解得n>2或n

此題在初稿1和初稿2的基礎(chǔ)上,將部分問題進一步優(yōu)化.其中第(1)問增加了求P、C兩點坐標,一方面是降低題目的著手點,讓該題的難度梯度設(shè)置的更合理;另一方面也可以幫助學(xué)生熟悉題目背景.該問還考查了二次函數(shù)的圖形與性質(zhì),一元二次方程的解,二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系以及解簡單的一元二次不等式.不管是從難度上還是知識方法上,都為后面做了鋪墊.第(2)(i)問是命題組成員在研究了PA,PB,PC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系以后新增加的.三者除了滿足PA2+PB2=PC2這一關(guān)系之外,還滿足PA·PB=PC.但由于平方的關(guān)系學(xué)生更熟悉,能減輕做題時的畏難情緒,同時平方的形式也更能引導(dǎo)學(xué)生采用兩點之間距離公式,進而利用韋達定理以及一元二次方程根的意義化簡求解.這一計算技巧的滲透也為第(3)問打下了基礎(chǔ),體現(xiàn)了解題方法考查的連續(xù)性.第(2)(ii)在前兩稿的基礎(chǔ)上將Rn改為R,目的是為了弱化高中的表達方式,讓學(xué)生在更熟悉的表述中做題,以此提高做題正確率.本小問考查了三角形外接圓的性質(zhì)、兩點間距離公式,一元二次方程根的意義.同時,在求解過程中,考查了學(xué)生的計算能力.最后一問除了考查以上知識和技能,三角形內(nèi)切圓,還著重考查了學(xué)生函數(shù)思想、換元思想的運用.利用一些計算技巧和換元變化,將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)表達式,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值.可以說,該題相較于前面兩題,考查的方式學(xué)生更熟悉,考查的知識和技能更全面,同時還滲透了數(shù)形結(jié)合、換元以及函數(shù)等數(shù)學(xué)思想.

3 命題感悟

通過該題的命制,筆者對于命制一道壓軸題時,命題材料的選擇、考查內(nèi)容的確定、試題難度的控制有了更多的思考和感悟.

3.1 命題材料的選擇

初中階段涉及的知識點很多,但適合作為壓軸題素材的內(nèi)容不多.一般具有以下三個特點的內(nèi)容較適合作為壓軸題素材:一是重點知識;二是與其他知識聯(lián)系點多;三是要服務(wù)于考試目的.

所謂重點知識,主要是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中占據(jù)重要位置的內(nèi)容,同時也是課標和教材強調(diào)的重點知識.比如二次函數(shù),在初高中函數(shù)思想的滲透中都占據(jù)著極其重要的位置,同時二次函數(shù)的學(xué)習(xí)也為學(xué)生以后學(xué)習(xí)其他高等函數(shù)在方法和知識上都打下了基礎(chǔ).

與其他知識聯(lián)系點多,這一特點保證了考查知識和方法的靈活性,同時便于控制題目的效度和區(qū)分度.與二次函數(shù)有關(guān)的聯(lián)系點有:一元二次方程、一元二次不等式、因式分解、韋達定理、配方法、整體思想、函數(shù)思想;由于坐標系的存在,為幾何知識的考查提供了背景,因此又與兩點間距離公式、三角形的面積和周長、三角形的內(nèi)心與外心等相聯(lián)系,在考查計算的同時,又滲透了數(shù)形結(jié)合思想和換元思想.而這些聯(lián)系點,將極大的方便命題者根據(jù)考查目的設(shè)置更合理的考查方式,同時也有利于控制考查難度,提高試題區(qū)分度.

一張試卷,特別是壓軸題,考試目的是首先要滿足的,也是這份試卷的意義所在.本次考試要求考查的內(nèi)容、方法和數(shù)學(xué)思想等都是初中階段所學(xué),同時又需要考查出高中階段對學(xué)生所需的部分能力.二次函數(shù)作為初高中都極其重要的知識,自然很容易達成考試目標.

3.2 考查內(nèi)容的確定

壓軸題,作為一份試卷的靈魂,要特別重視數(shù)學(xué)最核心的“四基”:基本知識、基本技能、基本思想方法和基本活動經(jīng)驗,而數(shù)學(xué)基本思想方法的考查更是數(shù)學(xué)的本質(zhì)所在.本題考查了與二次函數(shù)相關(guān)的眾多知識點、運算能力,同時還滲透了函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、整體思想、換元思想等,較為全面的考查了學(xué)生的綜合水平.

3.3 試題難度的控制

一道題目難度過高或過低都較容易達成,但如何通過難度的控制達到區(qū)分的效果就不那么簡單了.這其中問題的呈現(xiàn)方式和問題串之間的銜接至關(guān)重要.

問題的呈現(xiàn)方式包含兩個方面:問題串的設(shè)置和整道題目特別是每個小問題的表述方式.問題串的設(shè)置一般按照難度從低到高的方式,第一問突破口要寬,難度要低,主要幫助學(xué)生熟悉題意;后面幾問的難度依次增加,但跨度不宜過大.題目的表述方式也會影響學(xué)生的思考.題目中字詞的使用如果符合學(xué)生的習(xí)慣,便于學(xué)生理解,學(xué)生做起來也將更順暢,無形中也會降低題目的難度.

本題第一問主要是讓學(xué)生熟悉題目,通過求點P和點C,引導(dǎo)學(xué)生通過分析函數(shù)圖形與x軸交點情況求解n的最小值.第(2)(i)通過學(xué)生較熟悉的線段平方和的形式,引導(dǎo)學(xué)生利用兩點間距離公式、韋達定理、整體代換等知識和方法求解,難度中等.同時也是為后面兩問的求解提供計算方法的指引.而最后一問的換元思想則提高了對學(xué)生的要求,難度很大.本題雖然考查的角度不是初中生所熟悉的,但整道題目的表述都避免了高中的習(xí)慣,比較符合初中生的理解習(xí)慣.