摘" 要

大概念是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要支撐，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要工具。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于提煉大概念，建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)；聚焦大概念，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)；遷移大概念，優(yōu)化思維結(jié)構(gòu)；應(yīng)用大概念，完善素養(yǎng)結(jié)構(gòu)。

關(guān)鍵詞" 小學(xué)數(shù)學(xué)；大概念；結(jié)構(gòu)化教學(xué)

中圖分類號(hào)" G623.5

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼" A

文章編號(hào)" 2095-5995（2023）10-0051-03

數(shù)學(xué)是一門結(jié)構(gòu)化課程。實(shí)踐證明，只有“教的結(jié)構(gòu)化”，才能實(shí)現(xiàn)學(xué)生“學(xué)的結(jié)構(gòu)化”。為此，教師要積極提煉大概念，將相關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)串接起來，使之縱橫勾連，讓學(xué)生“學(xué)一點(diǎn)”“見一片”“習(xí)一題”“悟一類”[1]；要通過結(jié)構(gòu)化教學(xué)，將散點(diǎn)狀的數(shù)學(xué)教材知識(shí)串點(diǎn)成線、織線成網(wǎng)，從而建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，進(jìn)而優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、完善學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)化教學(xué)，不僅有助于學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)體系，更有助于學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)思想的感悟。

一、提煉大概念，建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)

美國(guó)著名教育家布魯納認(rèn)為，“學(xué)習(xí)任何一門學(xué)科，關(guān)鍵就是要掌握該學(xué)科的基本知識(shí)結(jié)構(gòu)”。在數(shù)學(xué)課程中，有現(xiàn)成存在著的“大概念”，但更多的是需要教師通過比較、抽象、概括而得出的“大概念”。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)中，教師首先要提煉大概念，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)。同時(shí)，教師要善于將多個(gè)大概念組成一個(gè)“大概念網(wǎng)”，讓大概念不再孤立、單一，形成整體性知識(shí)結(jié)構(gòu)。大概念包括基礎(chǔ)性概念、核心性概念，它具有“少兒精”“少而重要”的特質(zhì)。在數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)中，大概念往往發(fā)揮著關(guān)鍵性、核心性功能和作用。相較于一般性的概念，大概念的解釋性更強(qiáng)、抽象度更高，概括性也更強(qiáng)。開展大概念教學(xué)不僅有助于學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，還有助于學(xué)生遷移應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)。

提煉大概念，要求教師深入研究教材，把握數(shù)學(xué)課程的相關(guān)知識(shí)。教師不僅要研究小學(xué)數(shù)學(xué)教材，還要研究初中乃至高中的數(shù)學(xué)教材。只有這樣，教師才能深入了解數(shù)學(xué)知識(shí)的來龍去脈，明晰數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，從而有效地提煉大概念。一般來說，數(shù)學(xué)課程中的大概念來源有多種可能性，既可能是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，又可能是數(shù)學(xué)教材，還可能是學(xué)生的學(xué)習(xí)需要等。比如，“加減乘除”是小學(xué)階段的主要運(yùn)算類型，其中，“減法”是“加法”的逆運(yùn)算，“乘法”是相同加數(shù)相加的“加法”的簡(jiǎn)便運(yùn)算，“除法”是“乘法”的逆運(yùn)算。由此，在這一部分內(nèi)容的教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)以“加法”作為核心。而我們知道，“整數(shù)加法”的法則是“末位對(duì)齊”，“小數(shù)加法”的法則是“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”，“分?jǐn)?shù)加法”的法則是“分?jǐn)?shù)單位相同”，“百分?jǐn)?shù)加法”的法則是“計(jì)數(shù)單位相同”。由此，在整個(gè)加法運(yùn)算中（無論是整數(shù)加法、小數(shù)加法還是分?jǐn)?shù)加法），教師就可以提煉出“計(jì)數(shù)單位”這樣的大概念，并引導(dǎo)學(xué)生整合法則，形成一種關(guān)于“加法計(jì)算法則”的上位認(rèn)知，即“只有計(jì)數(shù)單位相同才能直接相加或相減”。有了這樣的上位認(rèn)知，學(xué)生就能從上位知識(shí)的視角來認(rèn)識(shí)“整數(shù)的加減法”“小數(shù)的加減法”“分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)的加減法”等，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就會(huì)變得輕松、自然。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，大概念不僅是學(xué)生認(rèn)知的附著點(diǎn)，學(xué)生數(shù)學(xué)思維提升、核心素養(yǎng)生成點(diǎn)的“錨點(diǎn)”，還是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與未來生活的“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”。[2]通過提煉大概念，讓概念不再處于一種散點(diǎn)、孤立的狀態(tài)，就能讓概念學(xué)習(xí)發(fā)揮提綱挈領(lǐng)的作用。教師要自覺樹立提煉數(shù)學(xué)課程大概念的意識(shí)，提升自我提煉數(shù)學(xué)課程大概念的能力。通過提煉大概念、組織大概念教學(xué)，幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)框架。

二、聚焦大概念，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)

實(shí)施結(jié)構(gòu)化教學(xué)，不僅要求教師提煉大概念，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，還要求教師引導(dǎo)學(xué)生聚焦大概念，完善自我的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。教師聚焦大概念可以減少不必要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有層次性、針對(duì)性、結(jié)構(gòu)性和實(shí)效性，有助于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)化，即讓外在的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)融入、內(nèi)化為學(xué)生的內(nèi)在數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)化教學(xué)的目的在于讓外在的知識(shí)結(jié)構(gòu)與學(xué)生內(nèi)在的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間建立一種相互“映射”關(guān)系。[3]

學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成主要經(jīng)歷以下過程：首先，學(xué)生將習(xí)得的數(shù)學(xué)知識(shí)建立聯(lián)結(jié)，從而形成知識(shí)結(jié)構(gòu)、系統(tǒng)等；其次，學(xué)生將這些知識(shí)聯(lián)結(jié)、結(jié)構(gòu)、系統(tǒng)等納入已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中，從而建構(gòu)起知識(shí)網(wǎng)絡(luò)更加龐大的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。從某種意義上說，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是自我認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷擴(kuò)大、發(fā)展的一個(gè)過程。最后，學(xué)生應(yīng)用自我的認(rèn)知心理圖式、結(jié)構(gòu)等進(jìn)行主動(dòng)識(shí)別，并進(jìn)行反省完善，從而實(shí)現(xiàn)自我的認(rèn)知結(jié)構(gòu)從模糊走向清晰、從不穩(wěn)定走向相對(duì)穩(wěn)定、從不平衡走向相對(duì)平衡。比如，教學(xué)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（二）”（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)教材）這一部分內(nèi)容，教師就應(yīng)當(dāng)喚醒、激活學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，即“將一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位等平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)”。在這里，教師應(yīng)聚焦概念——平均分、平均分的份數(shù)、表示的份數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)新知，即“將許多物體組成的整體平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)”。教師在教學(xué)中聚焦“平均分”等大概念，能引導(dǎo)學(xué)生將“一個(gè)物體”“一個(gè)計(jì)量單位”的平均分的過程和“許多物體組成的整體”平均分的過程統(tǒng)整起來，進(jìn)而建構(gòu)包攝力更強(qiáng)、更廣的“分?jǐn)?shù)”概念。這樣建構(gòu)的“分?jǐn)?shù)”概念不僅具有對(duì)象性的意義，即將分?jǐn)?shù)看成一個(gè)數(shù)，還具有過程性的意義，即將分?jǐn)?shù)看成平均分的過程和結(jié)果等的表征。有了這樣的雙重表征，學(xué)生在學(xué)習(xí)五年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”時(shí)，就能將一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位、許多物體組成的整體統(tǒng)合起來，進(jìn)而建構(gòu)單位“1”的量的概念，會(huì)舍棄在對(duì)一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位或許多物體組成的整體進(jìn)行平均分的過程中所體現(xiàn)出來的知識(shí)的非本質(zhì)屬性，進(jìn)而提煉出知識(shí)的本質(zhì)屬性，自主建構(gòu)起“分?jǐn)?shù)的意義”知識(shí)。

聚焦大概念開展教學(xué)，有助于精簡(jiǎn)容量、突出重點(diǎn)，因此教師要注重分析單元主題的知識(shí)結(jié)構(gòu)、概念體系，這樣才能有助于完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生掌握結(jié)構(gòu)性的方法、感悟結(jié)構(gòu)性的思想、形成結(jié)構(gòu)性的問題解決策略。有了結(jié)構(gòu)性的方法、思想、策略等，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中就會(huì)積極主動(dòng)地提出問題、分析問題、解決問題，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地認(rèn)知、數(shù)學(xué)地思維、數(shù)學(xué)地表達(dá)，從而實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新性、創(chuàng)造性地展開數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中，大概念猶如一只“看不見的手”，會(huì)始終在學(xué)生的意識(shí)或潛意識(shí)層面牽引著學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、認(rèn)知，成為促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的重要抓手。

三、遷移大概念，優(yōu)化思維結(jié)構(gòu)

在引導(dǎo)學(xué)生聚焦大概念、圍繞大概念建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)之后，教師就應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地遷移大概念，優(yōu)化學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)。思維結(jié)構(gòu)的優(yōu)劣往往會(huì)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維效能、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效能產(chǎn)生重要影響。遷移大概念，要求教師創(chuàng)設(shè)相似性、相像性的情境，讓學(xué)生的“一種知識(shí)”“一種方法”“一種學(xué)習(xí)方式”形成對(duì)“另一種知識(shí)”“另一種方法”“另一種學(xué)習(xí)方式”等的影響。遷移大概念，有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解。在相似性、相像性情境中遷移大概念，有助于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更具有良性啟發(fā)意義。

比如，教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)教材的“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”這一部分內(nèi)容時(shí)，筆者立足于“商”“分?jǐn)?shù)”“比”等的“倍比關(guān)系”這樣的數(shù)學(xué)大概念，首先引導(dǎo)學(xué)生比較“分?jǐn)?shù)”和“除法算式”，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“除法是一種運(yùn)算”、“分?jǐn)?shù)是一個(gè)數(shù)”。但“分?jǐn)?shù)”這個(gè)數(shù)的形成，是經(jīng)由運(yùn)算而生成的。其中，分?jǐn)?shù)的分子相當(dāng)于被除數(shù)，分?jǐn)?shù)的分母相當(dāng)于除數(shù)，分?jǐn)?shù)值相當(dāng)于商。如此，學(xué)生不僅能從“結(jié)果性意義”上來看待分?jǐn)?shù)、理解分?jǐn)?shù)，還能從“過程性意義”上來看待、理解分?jǐn)?shù)，這就為學(xué)生類比性遷移“商不變的規(guī)律”奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。在此基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)“商不變的規(guī)律”，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)遷移欲望，引導(dǎo)學(xué)生類比遷移，進(jìn)而建構(gòu)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”。又如在教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)教材的“比的基本性質(zhì)”這一部分內(nèi)容時(shí)，筆者同樣引導(dǎo)學(xué)生抓住“變與不變”的數(shù)學(xué)思想性大概念，引導(dǎo)學(xué)生類比遷移知識(shí)：“比”表示兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，比的前項(xiàng)相當(dāng)于被除數(shù)（分子），比的后項(xiàng)相當(dāng)于除數(shù)（分母），比值相當(dāng)于商（分?jǐn)?shù)值）。由此，學(xué)生就會(huì)積極主動(dòng)地類比遷移，由“商不變的規(guī)律”“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”，猜想并驗(yàn)證“比的基本性質(zhì)”。由于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性有了認(rèn)識(shí)，因而對(duì)于類似的問題情境便能主動(dòng)地遷移大概念，萌發(fā)猜想并積極驗(yàn)證，從而優(yōu)化了自我的思維結(jié)構(gòu)。在這個(gè)過程中，學(xué)生能深刻體會(huì)到基于大概念的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的內(nèi)在一致性。由此，學(xué)生會(huì)利用大概念對(duì)新舊知識(shí)進(jìn)行整合，從而形成對(duì)“商不變的規(guī)律”“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”“比的基本性質(zhì)”等知識(shí)的整體性、系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性的認(rèn)知。同時(shí)，學(xué)生也會(huì)形成對(duì)“約分”“化簡(jiǎn)比”“求比值”等相關(guān)數(shù)學(xué)計(jì)算等的整體性、系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性、一致性的認(rèn)知。

遷移大概念，要求學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)有一定的把握。教師要自覺地用大概念來組織實(shí)施教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中“左顧右盼、瞻前顧后、上串下連”[4]，借助大概念把握數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，找到數(shù)學(xué)新知建構(gòu)的生長(zhǎng)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)化建構(gòu)。如此，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就能從被動(dòng)走向自主，用結(jié)構(gòu)化的思維，去應(yīng)對(duì)復(fù)雜多變、充滿挑戰(zhàn)的世界。

四、應(yīng)用大概念，完善素養(yǎng)結(jié)構(gòu)

在把握了數(shù)學(xué)課程中的相關(guān)大概念后，教師就要積極主動(dòng)地予以應(yīng)用。實(shí)踐證明，教師引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用大概念，能完善學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)結(jié)構(gòu)。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，從某種意義上說，就是“學(xué)概念—用概念”的過程。概念貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的始終。作為教師，在引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用大概念的過程中，一方面要讓學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的新理解；另一方面要促使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行不斷地重塑、重構(gòu)，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷地得到完善。由此，學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知就會(huì)從不平衡走向平衡，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)結(jié)構(gòu)也會(huì)不斷得到完善。

比如，教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)教材的“平行四邊形的面積”這一部分內(nèi)容時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)很多教師就是簡(jiǎn)單地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“面積轉(zhuǎn)化”。學(xué)生“知其然”，而“不知其所以然”。為了深化學(xué)生的認(rèn)知，筆者在教學(xué)中立足于大概念——“度量”，來引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“轉(zhuǎn)化”。教學(xué)中，筆者這樣追問：在推導(dǎo)平行四邊形的面積時(shí)，為什么要將平行四邊形沿著高剪開？如此，學(xué)生就會(huì)從“推導(dǎo)過程”上進(jìn)行考量：長(zhǎng)方形的面積可以用單位面積的小正方形來拼擺，而平行四邊形不可以用單位面積的小正方形來拼擺，因而就難以度量。為了方便應(yīng)用單位面積的小正方形來度量，就需要沿著平行四邊形的高將平行四邊形剪開。這樣的一種追問，就是引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地思考、應(yīng)用大概念——“度量”的過程。有了這樣的本源性思考，學(xué)生在后續(xù)“三角形的面積”“梯形的面積”等相關(guān)知識(shí)學(xué)習(xí)中，就能積極主動(dòng)地應(yīng)用“剪拼法”來探索學(xué)習(xí)。同時(shí)，學(xué)生也會(huì)積極地應(yīng)用“轉(zhuǎn)化”的策略，將未知圖形的面積轉(zhuǎn)化成已知圖形的面積?；诖蟾拍顟?yīng)用的“平行四邊形的面積”推導(dǎo)過程，能讓學(xué)生從本源上建構(gòu)對(duì)“多邊形的面積”公式的理解。

應(yīng)用大概念，要求教師精準(zhǔn)把握大概念的內(nèi)涵和外延。只有把握大概念的內(nèi)涵和外延，教師才能精準(zhǔn)地、有效地應(yīng)用大概念。此外，應(yīng)用大概念，教師要聚焦于核心問題、關(guān)鍵問題，注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性，幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，從而讓學(xué)生能在變通的情境之中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)。在應(yīng)用大概念的過程中，學(xué)生能深刻地認(rèn)識(shí)、把握數(shù)學(xué)知識(shí)的“變與不變”，能促進(jìn)數(shù)學(xué)認(rèn)知水平的提升，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展、完善。

（楊柳，啟東市民主小學(xué)，江蘇" 南通" 226200）

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責(zé)任編輯：謝先成

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