宋曉杰

摘 要：高中新課標(biāo)建議教師整體把握教學(xué)內(nèi)容，關(guān)注主題單元教學(xué).初高中同為中學(xué)階段，相互聯(lián)系，教師可以對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行整合，幫助學(xué)生系統(tǒng)地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué).本文通過(guò)研究課標(biāo)與教材，尋找知識(shí)相關(guān)點(diǎn)，提出了“通過(guò)類(lèi)比溫故知新、通過(guò)對(duì)比加深理解、通過(guò)整合促進(jìn)生長(zhǎng)”的整合策略.

關(guān)鍵詞：初高中數(shù)學(xué)；課標(biāo)與教材；主題教學(xué)；整合

1 問(wèn)題的提出

初高中新課程標(biāo)準(zhǔn)中都突出強(qiáng)調(diào)了學(xué)科核心素養(yǎng)，而“學(xué)生核心素養(yǎng)的養(yǎng)成不是一蹴而就的，具有階段性、連續(xù)性、整合性等特點(diǎn)”［1］.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》教學(xué)建議：教師需要“整體把握教學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展”［1］，注重聯(lián)系，改善教學(xué)方式，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)整體的認(rèn)識(shí).一線教師要跟上新課改的步伐做好教學(xué)上的調(diào)整，“不僅僅關(guān)注每一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，更關(guān)注主題單元的教學(xué)”［1］.從整體的視角，按照知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系對(duì)教材進(jìn)行整合，使教學(xué)內(nèi)容更加連貫和完整，幫助學(xué)生更系統(tǒng)地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，更好地培養(yǎng)學(xué)生的綜合素養(yǎng)和學(xué)習(xí)能力.

2 初高中數(shù)學(xué)課程知識(shí)結(jié)構(gòu)編排順序分析

依據(jù)皮亞杰認(rèn)知發(fā)展論“學(xué)習(xí)從屬于發(fā)展，學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展制約著他所能學(xué)習(xí)的范圍”，教材知識(shí)結(jié)構(gòu)所包含的知識(shí)必須在學(xué)生認(rèn)知范圍內(nèi)，知識(shí)結(jié)構(gòu)的編排順序必須依照學(xué)生的認(rèn)知順序才能有利于教學(xué).因此，現(xiàn)行教材在初高中對(duì)一些概念的介紹會(huì)有不同，比如，在初中階段，將有理數(shù)分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，而高中階段就可以告訴學(xué)生：分?jǐn)?shù)就是有理數(shù)，小數(shù)就是實(shí)數(shù).一般來(lái)說(shuō)，同一主題初高中課程的變化特點(diǎn)：一是“從特殊到一般”，二是“從具象到抽象”，三是“從初步認(rèn)識(shí)到綜合運(yùn)用”.

站在課標(biāo)的高度，高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅僅需要大單元教學(xué)的整合，也應(yīng)考慮到整個(gè)中學(xué)階段的整合.因此，考慮到學(xué)生進(jìn)入高中后知識(shí)內(nèi)容陡增、學(xué)習(xí)內(nèi)容斷層、思想方法突變，高中數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)增設(shè)了“預(yù)備知識(shí)”主題.這里的“預(yù)備知識(shí)”“以義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容為載體承前啟后，為學(xué)生高中階段的數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備，幫助學(xué)生順利過(guò)渡”［1］.

除此之外，在教學(xué)中還需一線教師根據(jù)實(shí)際情況做好整合.

3 做好初高中數(shù)學(xué)課程對(duì)比與整合研究

3.1 初高中數(shù)學(xué)課程對(duì)比研究

初高中同屬于中學(xué)階段，是一個(gè)系統(tǒng)的不同階段，它們的基本理念相同、核心素養(yǎng)相關(guān)而遞進(jìn)、課程目標(biāo)相同、課程內(nèi)容相互聯(lián)系.

課標(biāo)與教材是教學(xué)的抓手，分析初高中課標(biāo)與教材找尋內(nèi)容的結(jié)合點(diǎn)，對(duì)做好中學(xué)數(shù)學(xué)的整合有重要作用.下面是相關(guān)知識(shí)對(duì)照表.

3.2 中學(xué)數(shù)學(xué)課程整合研究

高中教師如何跨越初高中的界線，將中學(xué)數(shù)學(xué)主題教學(xué)從理論研究走向教學(xué)實(shí)踐呢？筆者整理了以下幾種方法：

3.2.1 類(lèi)比引入舊知，理解新知

如高中《解三角形》，可以回顧初中《解直角三角形》的方法：從角的關(guān)系，邊的關(guān)系以及邊和角的關(guān)系三個(gè)方面解三角形.

再如指、對(duì)數(shù)函數(shù)的類(lèi)比，還有二次函數(shù)y=x2與絕對(duì)值函數(shù)y=|x|的類(lèi)比：它們的圖象和性質(zhì)都有很多相似性.

3.2.2 對(duì)比研究舊知，鞏固新知

如初中平面幾何中，垂直于同一條直線的兩條直線平行，在高中立體幾何中就不一定成立.

再如函數(shù)概念，它貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)始終.在初中時(shí)，函數(shù)是從“變化關(guān)系”的角度下定義，教學(xué)重點(diǎn)是讓學(xué)生會(huì)用函數(shù)表達(dá)變化關(guān)系的實(shí)際意義，但因?qū)嶋H問(wèn)題中自變量的單位不同，兩個(gè)函數(shù)不能進(jìn)行有意義的四則運(yùn)算.而高中數(shù)學(xué)相對(duì)抽象，函數(shù)的定義融合黎曼“對(duì)應(yīng)說(shuō)”和布爾巴基學(xué)派“關(guān)系說(shuō)”，形成“對(duì)應(yīng)關(guān)系說(shuō)”，強(qiáng)調(diào)的是實(shí)數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，經(jīng)抽象后不同的函數(shù)之間可以進(jìn)行運(yùn)算.在函數(shù)概念中引入精確和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)募险Z(yǔ)言，也更好地描述了函數(shù)本質(zhì)，拓展了函數(shù)的研究和應(yīng)用范圍［1］.

3.2.3 整合新舊知識(shí)，深度研究

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以在新課結(jié)束后做拓展延伸，逐步提高學(xué)生對(duì)教材理解的深刻性.

如《數(shù)列的概念》，在第一課時(shí)了解數(shù)列后，筆者會(huì)做一個(gè)研究課《深入數(shù)列》，將數(shù)列和函數(shù)進(jìn)行對(duì)比教學(xué).進(jìn)一步了解“數(shù)列是一種特殊的函數(shù)”.

再如初中學(xué)習(xí)的三角形相似和全等似乎到了高中就沒(méi)有了用武之地.實(shí)際上對(duì)三角形的研究一直都沒(méi)有停止.初中階段是對(duì)三角形進(jìn)行定性的研究，高中階段是定量的研究.

因此，在學(xué)習(xí)《余弦定理》時(shí)，筆者會(huì)結(jié)合初中的《全等三角形》做一節(jié)解三角形的研究課，引導(dǎo)學(xué)生用發(fā)展的眼光看數(shù)學(xué).

為拋磚引玉，列出如下教學(xué)設(shè)計(jì)片段：

案例1：“函數(shù)與數(shù)列”

學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)；感悟特殊到一般的類(lèi)比思想以及函數(shù)思想.

復(fù)習(xí)概念：“一般地，我們把按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)”.

問(wèn)題1：數(shù)列的項(xiàng)與序號(hào)之間有確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系讓你想到了什么？

將橫向?qū)懗龅?，2，3，4，5…與a1，a2，a3，a4，a5，…對(duì)應(yīng)分別圈出后縱向排列，同學(xué)們立刻想起了函數(shù)概念的圖示.

同學(xué)們發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)概念是如此精煉的，在數(shù)列這個(gè)定義中，“次序”即“項(xiàng)數(shù)”，為自變量n，“數(shù)”即“項(xiàng)”，為函數(shù)an，數(shù)列表示的正是項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)之間的函數(shù)關(guān)系.

問(wèn)題2：數(shù)列的定義域是什么？值域是什么？

學(xué)生在討論中確定了數(shù)列的特殊之處在于定義域?yàn)檎麛?shù)集，注意到集合中元素的互異性，數(shù)列{an}不能直接記為值域.

問(wèn)題3：表示一個(gè)數(shù)列有哪些方法呢？表示數(shù)列：3，6，9，12，15.

問(wèn)題指向函數(shù)的表示方法：列表法、圖象法、解析法.強(qiáng)調(diào)數(shù)列的圖象是一系列離散的點(diǎn).最后要求學(xué)生用解析法表示這個(gè)數(shù)列，指出通項(xiàng)公式就是數(shù)列的函數(shù)解析式.

問(wèn)題4：（選單調(diào)性不同的數(shù)列，讓學(xué)生根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，寫(xiě)出前5項(xiàng)并畫(huà)出圖象.）觀察圖象，類(lèi)比函數(shù)，我們還可以把數(shù)列怎樣分類(lèi)？

類(lèi)比函數(shù)單調(diào)性，數(shù)列可分為：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列及擺動(dòng)數(shù)列.

問(wèn)題5：我們還可以利用函數(shù)的圖象研究數(shù)列的什么性質(zhì)呢？

學(xué)生回顧研究函數(shù)的一般方法，可以給出許多分析.

筆者在整個(gè)過(guò)程中時(shí)刻提醒學(xué)生把數(shù)列與函數(shù)對(duì)比.

案例2：“三角形再研究之定量研究工具《余弦定理》”

學(xué)習(xí)目標(biāo)：結(jié)合三角形全等分析解三角形的幾種情形及基本解法.

問(wèn)題1：本章名為《解三角形》，解三角形至少需要三個(gè)元素且其中至少有一條邊，那么有哪些情況呢？

兩角一邊（AAS，ASA），兩邊一角（SSA，SAS），三邊（SSS）

問(wèn)題2：初中有哪些證明三角形全等的方法？

AAS，ASA、HL、SAS、SSS.

但初中只是對(duì)三角形的邊和角做定性的研究，無(wú)法回答邊和角具體有多大.

問(wèn)題3：正弦定理可解兩角一邊（AAS，ASA）問(wèn)題，它可解兩邊一對(duì)角（SSA）問(wèn)題嗎？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)可能會(huì)出現(xiàn)不同結(jié)果（無(wú)解、一解、兩解），這樣的三角形是不穩(wěn)定的.而當(dāng)已知角是直角時(shí)答案會(huì)是唯一的，恰為HL.

問(wèn)題4：任意三角形，已知兩邊及夾角求對(duì)邊，用正弦定理可解嗎？

初中學(xué)習(xí)的是已知角為直角，那么可用“勾股定理”

問(wèn)題5：角不為直角，可以用勾股定理求出對(duì)邊嗎？

由特殊到一般，把斜三角形切割成兩個(gè)直角三角形，用幾何方法推導(dǎo)出了余弦定理.

問(wèn)題6：余弦定理的式子中共有幾個(gè)量？

四個(gè)量.從方程的角度知三求一，也可以已知三邊求角（SSS）得余弦定理推論.

問(wèn)題7：余弦定理及推論可解兩邊夾角（SAS）和三邊（SSS）問(wèn)題，它可以解SSA嗎？

通過(guò)例題，將數(shù)據(jù)代入余弦定理，借方程解三角形，可能無(wú)解、一解、兩解.

在這個(gè)教學(xué)片段中，筆者把初中的全等三角形與正余弦定理對(duì)照整合在一起，一是從量上解了初中疑慮：“為何SSA不能證明三角形全等”，二是讓學(xué)生深入理解了正余弦定理.

4 結(jié)語(yǔ)

貝塔朗菲系統(tǒng)論認(rèn)為：“所有的系統(tǒng)都具有整體性、關(guān)聯(lián)性、結(jié)構(gòu)相關(guān)性、動(dòng)態(tài)平衡性和目的性”“系統(tǒng)整體大于各孤立部分的總和”.

教師要努力做好中學(xué)數(shù)學(xué)的整合，發(fā)現(xiàn)初高中數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)合點(diǎn)并對(duì)比課標(biāo)要求，在“舊知新學(xué)”的教學(xué)過(guò)程中，把握知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和過(guò)渡［3］，讓學(xué)生不僅“知其然”還能“知其所以然”，用發(fā)展和聯(lián)系的眼光，將舊知在新知教學(xué)過(guò)程中重現(xiàn)，達(dá)到“溫故而知新”的效果.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.

［2］ 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［3］ 黃麗萍.把握新知與舊知的聯(lián)結(jié)點(diǎn)優(yōu)化課堂教學(xué)［J］.教育教學(xué)論壇，2017（26）：275276.