李倩倩

(蘭州理工大學(xué)理學(xué)院,甘肅 蘭州 730050)

模糊數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)研究中的一個(gè)重要組成部分,它的應(yīng)用性也比較強(qiáng)?！澳：?概念最初是由Zadeh[1]于1965年提出來(lái)的,它表示一種不確定性。這個(gè)概念最初被引入是作為一種描述人類話語(yǔ)和思想中的不精確性和模糊性的方法。比如描述身高時(shí)規(guī)定超過(guò)190 cm描述為高,那么身高189 cm就不算高了嗎？他們只是高的程度不同,于是有了“模糊”的概念。后來(lái),Murali[2]定義了模糊劃分,進(jìn)而得到集合上的模糊劃分和模糊等價(jià)關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)的。在此基礎(chǔ)上,Marouf[3]定義了模糊同余,給出了集合上的模糊關(guān)系生成的模糊等價(jià)關(guān)系和模糊同余,并給出了模糊等價(jià)關(guān)系格和模糊同余格的部分性質(zhì)。1992年Kuroki[4]證明了群的模糊正規(guī)子群集合模糊同余集之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

在此之后,基于模糊同余概念的理論和實(shí)際應(yīng)用得到了迅速發(fā)展。特別是文獻(xiàn)[5-10]中在這一方面得到了一些很好的結(jié)果。2015年楊燕等[11]研究了畢竟正則半群上的模糊群同余。截至目前,關(guān)于模糊同余的研究成果已經(jīng)非常豐富,因此我們考慮推廣模糊關(guān)系,來(lái)豐富模糊數(shù)學(xué)的世界。研究將模糊關(guān)系的定義進(jìn)行推廣得到L-模糊的定義,并將模糊關(guān)系的部分結(jié)論推廣到L-模糊關(guān)系上。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)X是非空集合,稱映射f:X→[0,1]為X的模糊子集。對(duì)任意的x∈X稱f(x)為x對(duì)f的隸屬度,稱映射μ:X×X→[0,1]為X上的模糊關(guān)系。假設(shè)μ1、μ2、μ是X上的模糊關(guān)系,定義μ1與μ2的合成(記為μ1°μ2)如下:任意的x,y∈X有

(μ1°μ2)(x,y)=∨z∈X(μ1(x,z)∧μ2(z,y))。

若對(duì)任意的x∈X都有μ(x,x)=1,則稱μ是模糊自反的;若任意的x,y∈X都有μ(x,y)=μ(y,x),則稱μ是模糊對(duì)稱的;若μ°μ≤μ,則稱μ是模糊傳遞的。 如果μ是模糊自反的、模糊對(duì)稱的、模糊傳遞的,那么稱μ是模糊等價(jià)關(guān)系。設(shè)S是半群,μ是S上的模糊關(guān)系。如果對(duì)任意的a,b,x∈S,滿足:μ(ax,bx)≥μ(a,b)且μ(xa,xb)≥μ(a,b),那么稱半群S上的模糊關(guān)系μ在S上關(guān)于乘法是相容的。相容的模糊等價(jià)關(guān)系稱為模糊同余(關(guān)系)。

定理1設(shè)S是半群,μ是S上的模糊同余,任意的a,b∈S,都有以下結(jié)論成立:

(1)μa=μb?μ(a,b)=1;

(2)μ-1(1)={(a,b)∈S×S|μ(a,b)=1}是S上的同余[11]。

2 L-模糊關(guān)系

[0,1]區(qū)間是全序集,是特殊的格。假設(shè)(X,≤)是偏序集,且對(duì)X中任意一個(gè)非空子集Y均存在上確界和下確界,那么稱(X,≤)為完全格。后文出現(xiàn)的L均指完全格,0、1分別指L的最小元和最大元。

定義1設(shè)X是非空集合,稱映射f:X→L為S上的L-模糊子集。

定義2設(shè)S是半群,稱映射μ:S×S→L為S上的L-模糊關(guān)系。

設(shè)μ,ν是半群S上的L-模糊關(guān)系,任意的a,b∈S定義μ,ν之間的運(yùn)算如下:

(μ°ν)(a,b)=∨x∈S{μ(a,x)∧ν(x,b)};

μ?ν?μ(a,b)≤ν(a,b)。

定義3設(shè)S是半群,μ是半群S上的L-模糊關(guān)系,若對(duì)任意的x∈X都有μ(x,x)=1,則稱μ是L-模糊自反的;若任意的x,y∈X都有μ(x,y)=μ(y,x),則稱μ是L-模糊對(duì)稱的;若μ°μ≤μ,則稱μ是L-模糊傳遞的。 如果μ是L-模糊自反的、L-模糊對(duì)稱的、L-模糊傳遞的,那么稱μ是模糊等價(jià)關(guān)系。

定義4設(shè)S是半群,μ是半群S上的L-模糊關(guān)系,如果對(duì)任意的x,y,z∈S有

μ(x,y)≤μ(zx,zy)(μ(x,y)≤μ(xz,yz))，

那么稱μ是L-模糊左(右)相容的。如果對(duì)任意的x,y,z,t∈S有μ(x,y)∧μ(z,t)≤μ(xz,yt),那么稱μ是L-模糊相容的。

命題1設(shè)S是半群,μ是半群S上的L-模糊等價(jià)關(guān)系,則μ是S上的L-模糊同余當(dāng)且僅當(dāng)μ是L-模糊左、右相容的。

證明假設(shè)μ是S上的L-模糊同余,則對(duì)任意的x,y,z∈S有

μ(zx,zy)≥μ(z,z)∧μ(x,y)=

1∧μ(x,y)=μ(x,y)，

μ(xz,yz)≥μ(x,y)∧μ(z,z)=

μ(x,y)∧1=μ(x,y)，

即μ是L-模糊左、右相容的。

反之,設(shè)μ是L-模糊左、右相容的,則對(duì)任意的x,y,z,t∈S有μ(x,y)≤μ(xz,yz)且μ(z,t)≤μ(yz,yt),從而

μ(x,y)∧μ(z,t)≤μ(xz,yz)∧μ(yz,yt)≤

∨u∈S(μ(xz,u)∧μ(u,yt))=

μ°μ(xz,yt)≤μ(xz,yt)，

即μ是S上的L-模糊同余。

命題2設(shè)μ,ν是半群S上的L-模糊關(guān)系,若μ,ν在S上是L-模糊相容的,則μ°ν是L-模糊相容的。

證明因?yàn)棣?ν是L-模糊相容的,所以任意的x,y,z∈S,都有μ(x,y)≤μ(xz,yz),且μ(z,t)≤μ(yz,yt)。于是

μ°ν(xz,yz)=∨a∈S(μ(xz,a)∧ν(a,yz))≥

∨a∈S(μ(xz,az)∧ν(az,yz))≥

∨a∈S(μ(x,a)∧ν(a,y))，

而且

∨a∈S(μ(x,a)∧ν(a,y))=(μ°ν)(x,y),

所以

(μ°ν)(xz,yz)≥(μ°ν)(x,y)。

同理可證

(μ°ν)(zx,zy)≥(μ°ν)(x,y)。

綜上所述,μ°ν是L-模糊相容的。

定理2設(shè)μ,ν是半群S上的L-模糊同余,則下列敘述等價(jià):

(1)μ°ν是L-模糊同余;

(2)μ°ν是L-模糊等價(jià)關(guān)系;

(3)μ°ν是L-模糊對(duì)稱的;

(4)μ°ν=ν°μ。

證明顯然(1)?(2)?(3)，下證(3)?(4)。

由于μ°ν是L-模糊對(duì)稱的,所以任意的a,b∈S有μ(a,b)=μ(b,a),于是

μ°ν(a,b)=∨x∈S(μ(a,x)∧ν(x,b))≥

∨a∈S(ν(b,x)∧μ(x,a))≥

ν°μ(b,a)=ν°μ(a,b)。

“(4)?(1)”首先證明L-模糊自反性,任意的a∈S有

(μ°ν)(a,a)=∨x∈S(μ(a,x)∧ν(x,a))≥

μ(a,a)∧ν(a,a)=1。

其次證明L-模糊傳遞性,有

(μ°ν)°(μ°ν)=(μ°ν)°(ν°μ)?μ°ν°μ=

μ°μ°ν?μ°ν。

最后證明L-模糊對(duì)稱性,任意的a,b∈S有

μ°ν(a,b)=ν°μ(a,b)。

因此

μ°ν(a,b)=ν°μ(a,b)=∨z∈S(ν(a,z)∧μ(z,b))≥

∨z∈S(μ(b,z)∧ν(z,a))≥μ°ν(b,a)，

又因?yàn)棣?ν是半群S上的L-模糊同余,所以μ°ν是L-模糊同余。

定理3設(shè)μ是半群S上的L-模糊同余,任意的a,b∈S,都有以下結(jié)論:

(1)μa=μb?μ(a,b)=1;

(2)μ-1(1)={(a,b)∈S×S|μ(a,b)=1}是S上的同余。

證明(1)必要性,因?yàn)棣淌前肴篠上的L-模糊同余,又因?yàn)棣蘟=μb,所以

μ(a,b)=μa(b)=μb(b)=1。

充分性,設(shè)μ(a,b)=1,因?yàn)棣淌前肴篠上的L-模糊同余,所以任意的x∈S有

μa(x)=μ(a,x)≥(μ°μ)(a,x)=

∨y∈S(μ(a,y)∧μ(y,x))≥

μ(a,b)∧μ(b,x)=1∧μ(b,x)=μ(b,x)。

(2)μ-1(1)顯然是自反的、對(duì)稱的,下面證明傳遞性。?a,b,c∈S且(a,b),(b,c)∈μ-1(1)有

(μ°μ)(a,c)=∨x∈S(μ(a,x)∧μ(x,c))≥

μ(a,b)∧μ(b,c)=1。

由于μ是半群S上的L-模糊同余,所以(μ°μ)(a,c)≤μ(a,c),即μ(a,c)=1,即μ-1(1)是可傳遞的。故μ-1(1)是S上的等價(jià)關(guān)系。

任意的x∈S,(a,b)∈μ-1(1)。由于μ是半群S上的L-模糊同余,所以μ(ax,bx)≥μ(a,b)。又因?yàn)棣?a,b)=1,所以μ(ax,bx)=1,即(ax,bx)∈μ-1(1),同理(xa,xb)∈μ-1(1)。故μ-1(1)是S上的同余。