閆海波,彭鳳嬌

(新疆財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院,新疆 烏魯木齊 830012)

“十四五”規(guī)劃中提出構(gòu)建系列期貨品種體系,豐富機(jī)構(gòu)投資者種類,推動期貨市場和現(xiàn)貨市場更加密切聯(lián)系。在經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展時代,金融衍生品和市場監(jiān)管體制顯得格外重要,金融衍生品的增加對個人、機(jī)構(gòu)甚至是國家都會帶來益處,但金融衍生品中的波動率對股票市場會產(chǎn)生不同影響。

波動率的預(yù)測和建模有很多方法。1982年Engle[1]提出自回歸條件異方差模型(ARCH模型)以解決方差恒定所產(chǎn)生的問題,但在實(shí)際應(yīng)用中會出現(xiàn)自由的滯后分布，故1986年Bollerslev[2]在ARCH模型的基礎(chǔ)上提出了廣義自回歸條件異方差模型(GARCH模型),此模型的優(yōu)點(diǎn)在于能獲取滯后信息,很大程度上解決滯后效應(yīng)。從此國內(nèi)外許多學(xué)者將GARCH模型與Black-Scholes期權(quán)定價模型(BS模型)結(jié)合起來開展相關(guān)研究。Black-Scholes期權(quán)定價模型[3]的提出使得金融衍生工具得到擴(kuò)展,從而國際金融市場更富有效率。以期貨股票市場為研究對象,將GARCH模型運(yùn)用到BS模型中的文獻(xiàn)有:瞿慧等[4-5]使用高頻收盤價格建立GARCH模型,同時區(qū)分連續(xù)波動和跳躍波動,多重考慮跳躍波動和高頻數(shù)據(jù)能獲得最佳期權(quán)定價;周亮[6]利用動態(tài)條件相關(guān)自回歸條件異方差模型(DCC-GARCH模型)計(jì)算各類股票行業(yè)指數(shù),利用協(xié)方差矩陣的預(yù)測能力進(jìn)行投資組合的動態(tài)變化,結(jié)果是協(xié)方差預(yù)測效果要比最小化方差風(fēng)險預(yù)測好;鄭尊信等[7]將含跳躍過程的模型運(yùn)用進(jìn)BS模型中,最后從多個方面論證了上證50ETF杠桿效應(yīng)不顯著;方艷等[8]利用蒙特卡羅模擬方式計(jì)算參數(shù),證明方差無窮自回歸條件異方差模型(IGARCH模型)比GARCH模型能更好地?cái)M合波動率;張啟文等[9]將中國平安股票數(shù)據(jù)應(yīng)用GARCH模型預(yù)測的波動率和股票分紅去修正BS模型,得到修正的BS模型具有實(shí)用價值;Liu等[10]將GARCH模型應(yīng)用到BS模型的換手率應(yīng)用到上市公司的股權(quán)激勵,結(jié)果顯示的換手率優(yōu)于GARCH模型的換手率。在國內(nèi)，對于GARCH模型對市場風(fēng)險的影響也采取了不同的研究方法。張昱城等[11]利用GARCH模型和在尾部運(yùn)用極值理論探究尾部風(fēng)險影響,將斜率變點(diǎn)理論引入傳統(tǒng)閾值,結(jié)果是產(chǎn)生的尾部風(fēng)險與流動性風(fēng)險呈現(xiàn)反比;楊驀等[12]利用連接函數(shù)(Copula函數(shù))和誤差修正自回歸條件異方差模型(ECM-GARCH模型)對3類農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)行了套期研究,結(jié)果顯示大豆產(chǎn)品更能體現(xiàn)該模型的優(yōu)勢,從而降低了市場的價格風(fēng)險。

但是波動率中有不同的趨勢,用GARCH模型提取的波動率中存在時滯效應(yīng),進(jìn)而會區(qū)分不同狀態(tài),在不同波動情形下解決方案不同。對于不同狀態(tài),Stephen[13]提出馬爾可夫結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換GARCH模型(MS-GARCH模型)用概率積分消除條件方差對路徑的依賴,但是由于積分難以計(jì)算而很難推廣。Klaassen[14]改進(jìn)了Gray的方法,給出預(yù)測的迭代公式,促使MS-GARCH理論得到快速發(fā)展。

國內(nèi)外學(xué)者將理論應(yīng)用到實(shí)證分析中,如Torre-Torres等[15]、Mozumder等[16]運(yùn)用蒙特卡洛模型估計(jì)馬爾可夫轉(zhuǎn)換模型進(jìn)行轉(zhuǎn)換;Yoo等[17]利用跳躍的GARCH模型進(jìn)行期權(quán)定價,結(jié)果顯示含跳躍模型優(yōu)于GARCH模型;魏立佳[18]利用MS-GARCH模型在T分布下,運(yùn)用馬爾可夫鏈蒙特卡洛算法(MCMC法)對該模型進(jìn)行估計(jì),結(jié)果顯示MS-GARCH模型的擬合度優(yōu)于單狀態(tài)GARCH模型;Xiao[19]運(yùn)用MS-GARCH、極值理論(EVT)和COPULA函數(shù)對中國股市進(jìn)行研究,結(jié)果表明中國股市對東南亞有一定程度的影響;Ding等[20]運(yùn)用GARCH模型和MS-GARCH模型與BS模型相結(jié)合,得到在穩(wěn)定狀態(tài)GARCH模型比MS-GARCH模型擬合要好,反之在波動狀態(tài)下MS-GARCH模型比GARCH模型擬合要好;黃曉芝等[21]基于改進(jìn)馬爾可夫轉(zhuǎn)換的GARCH模型即動態(tài)多維的條件修正波動率進(jìn)而去預(yù)測;陳靜思等[22]、華仁海等[23]等運(yùn)用MS-GARCH模型研究了期權(quán)市場與現(xiàn)貨市場之間的影響;MS-GARCH模型還可運(yùn)用到石油[24]、人民幣匯率[25-26]等中。

綜上國內(nèi)外學(xué)者運(yùn)用MS-GARCH模型分別在石油、人民幣匯率等方面展開研究,雖然Ding等[20]也運(yùn)用MS-GARCH模型,但并沒有分成3個狀態(tài)。故在3種不同狀態(tài)下進(jìn)行回測并預(yù)測未來的期權(quán)價格,判斷在不同時間狀態(tài)下MS-GARCH模型是否優(yōu)于GARCH模型。

1 模型介紹

1.1 GARCH模型

GARCH模型是對ARCH模型的重要拓展,它比ARCH模型需要更小的滯后階數(shù),并與ARCH模型有相類似的結(jié)構(gòu)。GARCH模型定義為

yt=μt+εt,

(1)

εt=etσt,et～i.i.N(0,1)

(2)

(3)

其中:p≥0,q≥0,a0>0,ai≥0 (i=1,…,q),βi≥0(i=1,…,p)。

滿足上述條件的模型稱為GARCH(p,q)模型,而稱{εt}服從GARCH(p,q)過程。當(dāng)p=0時,GARCH(p,q)過程就稱為ARCH(q)過程,當(dāng)p=q=0時,{εt}為白噪聲過程。

GARCH(1,1)是最簡單的GARCH過程,它的條件方差函數(shù)為

(4)

其中:α0>0,α≥0,β≥0,當(dāng)α+β<1時GARCH(1,1)就是平穩(wěn)的。

1.2 MS-GARCH模型

(1) Markov-switching GARCH模型設(shè)定 假設(shè)GARCH模型的參數(shù)依賴于一組離散的狀態(tài)變量St(St=1,2,…,k,代表過程所處的狀態(tài))。這一狀態(tài)變量是不可觀測的,狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移服從馬爾可夫鏈,{St}滿足無后效性,即

P(St=j|St-1=i,St-2=k,…)=P(St=

j|St-1=i)=pij。

(5)

對于i,j=1,2,…,k可得轉(zhuǎn)移概率矩陣

(6)

這樣,通過轉(zhuǎn)移概率pij,使過程在t時刻所處的狀態(tài)信息體現(xiàn)在t-1時刻的信息集It-1中。

對于過程{yt}取作

(7)

(8)

因此,模型結(jié)構(gòu)變化通過誤差項(xiàng)εst來實(shí)現(xiàn),即

(9)

(10)

其中:p≥0,q≥0,a0>0,ai≥0(i=1,…,q),βi≥0(i=1,…,p)。

(2) 似然函數(shù)的計(jì)算 MS-GARCH-L(1,1)模型的待估參數(shù)為

θ=(α0,α1,ε,β1,v,p11,p12,…,pkk,

g1,g2,…,gk)T,

(11)

要進(jìn)行循環(huán)計(jì)算。

(3) 基于全樣本的平滑概率 “平滑”指在樣本內(nèi)所有觀測值的基礎(chǔ)上,對于包括t時刻以后的觀測值的估計(jì)。基于全樣本的平滑概率P(St=st|yτ,yτ-1,…,y1)和f(yτ|yτ-1,yτ-2,…,y1)。

(12)

1.3 BS模型

在二叉樹的期權(quán)定價模型中,如果標(biāo)的證券期末價格的可能性無限增多時,其價格的樹狀結(jié)構(gòu)將無限延伸,從每個結(jié)點(diǎn)變化到下一個結(jié)點(diǎn)(上漲或下跌)的時間將不斷縮短。如果價格隨著時間周期的縮短,其調(diào)整的幅度也逐漸縮小的話,在極限的情況下,二叉樹模型對歐式權(quán)證的定價就演變?yōu)殛P(guān)于權(quán)證定價理論的經(jīng)典模型——BS模型。

設(shè)金融資產(chǎn)價格為隨機(jī)過程{S(t),t∈[0,T]},該金融資產(chǎn)價格模型為

(13)

則有

(14)

該金融資產(chǎn)的期望與方差為

E[S(t)]=S0eut,

(15)

(16)

歐式看漲期權(quán)定價公式為

C=s0N(d1)-Ke-rtN(d2)。

(17)

同理可得,歐式看跌期權(quán)定價公式為

P=Ke-rtN(-d2)-s0N(-d1),

(18)

2 實(shí)證分析

采用BS模型與GARCH模型和MS-GARCH模型實(shí)現(xiàn)對上證50ETF期權(quán)定價的實(shí)證檢驗(yàn)。利用不同模型下和不同狀態(tài)下的條件方差代入BS模型后觀察估計(jì)價格和期權(quán)價格之間的誤差對比。

2.1 統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)

收集上證50ETF從2015年2月9日到2021年12月31號的收益價進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，包括正態(tài)性檢驗(yàn)、平穩(wěn)性檢驗(yàn)、自相關(guān)偏自相關(guān)檢驗(yàn)、異方差檢驗(yàn)等。

(1) 描述統(tǒng)計(jì)圖 上證50ETF從2015—2021年整個收盤價的線性圖如圖1所示,查看整個收盤價的漲幅情況,同時計(jì)算出每日對數(shù)收盤率。

圖1 收益序列時序圖Fig.1 Revenue series sequence

圖1(a)為收盤價在不同年限的漲幅趨勢；圖1(b)為對數(shù)收益率波動情況,在[0,300]、[750,1 200]之間對數(shù)收益率波動情況較大,在[500,700]、[1 200,1 500]對數(shù)收益率波動情況較小，這種現(xiàn)象稱為波動現(xiàn)象且具有連續(xù)現(xiàn)象。

對數(shù)收益率的描述統(tǒng)計(jì)以及概率密度分布見圖2。

圖2 對數(shù)收益率序列概率密度分布Fig.2 Probability density distribution of log return series

由圖2可見，該分布有明顯的尖峰,不是正態(tài)分布;通過計(jì)算得出對數(shù)收益率序列均值為0.000 205,偏度為-0.557 1< 0,峰度為10.197 9>3,比正態(tài)分布陡峭,說明對數(shù)收益率序列具有尖峰狀態(tài)。J-B統(tǒng)計(jì)量為 3 618.547,P值為 0,拒絕該分布為正態(tài)分布的假設(shè),該對數(shù)收益率序列具有尖峰厚尾的分布形態(tài)。接下來判斷數(shù)據(jù)是否平穩(wěn)。

采用平穩(wěn)性檢驗(yàn)對對數(shù)收益率序列(R)進(jìn)行ADF單位根檢驗(yàn),帶截距項(xiàng)而無趨勢項(xiàng)，結(jié)果見表1。

表1 對數(shù)收益序列單位根檢驗(yàn)

由表1可知,在 1%、5%、10% 3種置信水平下,臨界值分別為-3.434 1、-2.863 1、-2.567 6,T統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)值為-40.113 1,小于對應(yīng)臨界值,P值為0,表明上證50ETF對數(shù)收益率序列是平穩(wěn)的。

判斷數(shù)據(jù)平穩(wěn)后進(jìn)行對數(shù)收益率相關(guān)性檢驗(yàn),結(jié)果見表2。

表2 收益率自相關(guān)檢驗(yàn)

由表2可知,收益率滯后6階就顯著相關(guān),1階～5階的自相關(guān)和偏自相關(guān)的相關(guān)系數(shù)均落入?yún)^(qū)間范圍內(nèi),同時Q統(tǒng)計(jì)量的P值統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)均大于置信度0.05。故序列可能存在相關(guān)性,采用ARMA建立模型。因此收益率rt的均值方程為

rt=c+art-p+εt+βθt-q。

(19)

(2) 建立ARMA模型 根據(jù)殘差滯后階數(shù),建立ARMA模型,選取不同的P、Q值，結(jié)果見表3。

表3 不同ARMA模型下的判斷標(biāo)準(zhǔn)

由表3可知，ARMA(1,1)和ARMA(2,2)的各項(xiàng)系數(shù)均顯著,ARMA(2,2)的AIC系數(shù)和SC系數(shù)更優(yōu)于其他模型,所以采取ARMA(2,2)作為均值方程與GARCH模型結(jié)合。

(3) 自相關(guān)檢驗(yàn)、ARCH效應(yīng) 對數(shù)收益率的殘差和殘差平方相關(guān)性檢驗(yàn)見圖3,判斷是否有ARCH效應(yīng)。

圖3 自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖Fig.3 Autocorrelation diagram and partial autocorrelation diagram

由圖3可知,殘差的自相關(guān)圖(見圖3(a))和偏自相關(guān)圖(見圖3(b))的函數(shù)值都在置信區(qū)間內(nèi),即在藍(lán)色的虛線區(qū)域范圍波動。殘差的偏自相關(guān)圖在6階、14階、20階超出置信水平是種偶然性結(jié)果,所以殘差序列具有自相關(guān)弱相關(guān)性,即產(chǎn)生模型為AR(1)。而殘差平方的自相關(guān)圖(見圖3(c))卻不在置信區(qū)間內(nèi),故殘差平方具有強(qiáng)烈的自相關(guān)。

檢驗(yàn)對數(shù)收益率是否存在ARCH效應(yīng),對數(shù)收益率的ARCH-LM檢驗(yàn)見表4。

由表4可知,F統(tǒng)計(jì)量不顯著,該序列存在ARCH效應(yīng),故建立ARMA-GARCH模型消除ARCH效應(yīng)。

表4 對數(shù)收益率的ARCH-LM檢驗(yàn)

2.2 聯(lián)立方程建模

(1) ARMA-GARCH模型建立 在消除ARCH效應(yīng)后,通過選擇不同的GARCH類型來選擇最優(yōu)模型。ARMA-GARCH(p,q)在不同分布下的AIC和SC值見表5。

表5 ARMA-GARCH(p,q)在不同分布下的AIC和SC值

根據(jù)表5可知，TGARCH模型和GARCH模型分別在正態(tài)分布和T分布為?=0.05置信度下系數(shù)均顯著,根據(jù)AIC和SC準(zhǔn)則要求越小越好,其中AIC值為-5.995 3,SC值為-5.965 6,故選擇ARMA(2,2)-GARCH(1,1)-t模型。

(2) 波動率分析 根據(jù)GARCH模型的條件波動率劃分狀態(tài)圖(見圖4)，根據(jù)設(shè)定的區(qū)間范圍畫出不同的狀態(tài)。

圖4 GARCH波動率Fig.4 GARCH volatility

由圖4可知,波動率0～0.000 2設(shè)為狀態(tài)3，即平穩(wěn)狀態(tài)(在圖4虛線以下);0.000 2～0.000 4設(shè)為狀態(tài)2，即震蕩狀態(tài);0.000 4～0.003設(shè)為狀態(tài)1，即高波動狀態(tài)(在圖4實(shí)線以上)。根據(jù)波動率的不同狀態(tài),利用馬爾可夫鏈進(jìn)行概率轉(zhuǎn)移,在不同情形的波動情況下與傳統(tǒng)的GARCH模型做比較,再運(yùn)用到BS模型中判斷擬合程度。

根據(jù)波動率的波動情形判別將其分為3個階段(見表6):S1為高波動狀態(tài)階段(2015年、2020年);S2為震蕩狀態(tài)階段(2016年、2018年、2021年);S3為平穩(wěn)狀態(tài)階段(2017年、2019年)。

表6 不同階段狀態(tài)劃分

(3) GARCH-BS模型

均值模型:

rt=0.000 5-0.65AR(1)-0.94AR(2)-

0.67MA(1)0.96MA(2)+εt。

條件模型:

GARCH=2.9×10-6+0.088 2×RESID(-1)2+

0.904 0×GARCH(-1)。

根據(jù)GARCH模型計(jì)算出條件波動率代入BS模型中,假定歷史波動率代入到BS模型為真實(shí)的期權(quán)價格,最后利用MSE、MAE等進(jìn)行誤差分析。

根據(jù)GARCH模型下殘差圖和殘差平方圖判斷在建立GARCH模型后是否還存在相關(guān)性、ARCH效應(yīng),結(jié)果見圖5。

圖5所示殘差的自相關(guān)圖(見圖5(a))和偏自相關(guān)圖(見圖5(b))的函數(shù)值都在置信區(qū)間內(nèi),即在藍(lán)色的虛線區(qū)域范圍波動。同理殘差平方的自相關(guān)圖(見圖5(c))和偏自相關(guān)圖(見圖5(d))都在置信區(qū)間內(nèi)不具備相關(guān)性。

圖5 GARCH模型的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖Fig.5 Autocorrelation diagram and partial autocorrelation diagram of GARCH

檢驗(yàn)GARCH模型是否存在ARCH效應(yīng),其結(jié)果見表7。

表7 GARCH模型下的ARCH-LM檢驗(yàn)

由表7可知,在置信度為0.05下,ARMA(2,2)-GARCH(1,1)模型能消除ARCH效應(yīng),F統(tǒng)計(jì)量顯著,表明GARCH模型能消除ARCH效應(yīng)。

(4) 擬合圖 每個階段有不同的擬合趨勢,假定行權(quán)價為3,利率為國債5年利率3.95%,到期時間按30天計(jì)算,即t=30/252=0.119 0。BS模型與GARCH-BS模型擬合性見圖6。

圖6 BS模型與GARCH-BS模型擬合性Fig.6 Fit between BS and GARCH-BS

由圖6和圖1(b)對比可知,在高波動狀態(tài)[0，300]、[750，1 200],即2015—2016年這段時期,GARCH模型的期權(quán)價格與真實(shí)價格差距較大；在低波動狀態(tài)[500，700]、[1 200，1 500],即2016—2017年、2020—2021年這段時期GARCH模型的期權(quán)價格與真實(shí)價格差距較小。(S2)震蕩狀態(tài)和(S1)高波動狀態(tài)二者差距較大,(S3)平穩(wěn)狀態(tài)下GARCH模型的理論價格和真實(shí)價格差距較小。

3 Markov-switching GARCH模型

馬爾可夫結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換GARCH模型(Markov-switching GARCH模型，簡稱MS-GARCH模型)是將馬爾可夫模型與GARCH模型相結(jié)合，其具有很多優(yōu)點(diǎn):第一，經(jīng)濟(jì)波動趨勢本身就存在不同的狀態(tài)變化,相比傳統(tǒng)刻畫波動率其存在對稱性的特點(diǎn),這與實(shí)際的經(jīng)濟(jì)波動是不符的,馬爾可夫模型就可以刻畫經(jīng)濟(jì)波動的非對稱信息進(jìn)而提取更多的信息;第二,傳統(tǒng)的GARCH模型只能簡單將波動率提取出來,不能對未來產(chǎn)生預(yù)警作用,而馬爾可夫模型在不同狀態(tài)下有一定的轉(zhuǎn)移概率,能得到不同狀態(tài)下的個數(shù)和概率從而對未來的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測。

3.1 模型參數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率

采用極大似然估計(jì),對上證50ETF對數(shù)收益率序列運(yùn)用R軟件計(jì)算MS(3)-GARCH(1,1)在不同分布下的模型。模型估計(jì)結(jié)果見表8。

表8 MS-GARCH(1,1)模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果

由表8可以得出T分布下的上證50ETF期權(quán)對數(shù)收益率的狀態(tài)概率矩陣:

由表8亦可以得出正態(tài)分布下的上證50ETF期權(quán)對數(shù)收益率的狀態(tài)概率矩陣:

從上轉(zhuǎn)移概率可知,T分布下的p11=0.989 3說明在上期處于狀態(tài)1(高波動狀態(tài))且在下期仍處于狀態(tài)1的概率為98.93%;p22=0.971 6說明在上期處于狀態(tài)2(平穩(wěn)狀態(tài))且在下期仍處于狀態(tài)2的概率為97.16%;p33=0.979 7說明在上期處于狀態(tài)3(高波動狀態(tài))且在下期仍處于狀態(tài)3的概率為97.97%。說明平穩(wěn)狀態(tài)和低波動狀態(tài)是常態(tài),高波動狀態(tài)的概率小于平穩(wěn)狀態(tài)和低波動狀態(tài)。由T分布下的對數(shù)轉(zhuǎn)移概率矩陣可知,期權(quán)波動具有連續(xù)性，能很好地運(yùn)用MS-GARCH模型,同時AIC也最小,故選擇T分布下的MS-GARCH(1,1)模型。

3.2 GARCH模型與MS-GARCH模型比較

GARCH模型與MS-GARCH模型擬合狀態(tài)和真實(shí)理論期權(quán)價格對比見圖7。

由圖7可知,3種不同狀態(tài)下MS-GARCH模型的期權(quán)價格擬合要優(yōu)于GARCH模型的期權(quán)價格。根據(jù)圖6可知在S1高波動狀態(tài),即[0,300]時期內(nèi)MS-GARCH模型要優(yōu)于GARCH模型;在平穩(wěn)狀態(tài)S3下[1 200，1 500],從對數(shù)收益率圖發(fā)現(xiàn)波動幅度越大越體現(xiàn)出MS-GARCH模型的優(yōu)勢。

圖7 GARCH-BS模型與MS-GARCH-BS模型比較Fig.7 Comparison between GARCH-BS model andMS-GARCH-BS

根據(jù)圖7列出兩類模型的誤差分析見表9。

表9 兩類模型的誤差

由表9可知,MS-GARCH模型在擬合狀態(tài)下更優(yōu)于GARCH模型。平均絕對百分比誤差(MAPE)分母越小則計(jì)算的數(shù)值越大,故用對稱平均絕對百分比誤差(SMAPE)計(jì)算更能代表誤差結(jié)果,從而避免數(shù)值過大造成的影響。MS-GARCH模型的SMAPE為0.967 7;MS-GARCH模型的均方誤差(MSE)為0.011 5;GARCH、MS-GARCH模型的平均絕對誤差(MAE)分別為0.100 9和0.095 0。

根據(jù)表6中不同狀態(tài)劃分得到各個狀態(tài)的誤差見表10。

表10 兩類模型不同狀態(tài)的誤差

由表10可知,在平穩(wěn)狀態(tài)(S3)下T分布的MS-GARCH模型優(yōu)于T分布下的GARCH模型;在震蕩狀態(tài)(S2)時,T分布下的MS-GARCH模型均優(yōu)于GARCH模型;在高波動(S1)時,T分布下MS-GARCH模型MAE最高,表示高波動的誤差是大于震蕩波動和低波動的。當(dāng)MAPE數(shù)值過大時,用SMAPE判斷誤差分析,不同狀態(tài)下SMAPE的值分別為0.787 6、0.258 3、0.800 4。綜上所述在不同狀態(tài)下,MS-GARCH模型擬合優(yōu)于GARCH模型。

3.3 預(yù)測

通過移動平均法分別選取步長為7天、21天、60天預(yù)測期權(quán)價格，結(jié)果見圖8。

圖8 不同步長預(yù)測趨勢Fig.8 Prediction trend of different steps

由圖8可知,從步長分別為7天(見圖8(a))、21天(見圖8(b))、60天(見圖8(c))的趨勢來看,MS-GARCH模型在高波動趨勢時更接近真實(shí)期權(quán)價格,在轉(zhuǎn)化狀態(tài)后,MS-GARCH模型步長越長,預(yù)測越貼近真實(shí)期權(quán)價格。故通過誤差分析來判斷預(yù)測最好的條件。

根據(jù)不同步長得到兩個模型預(yù)測誤差見表11。

由表11可知,當(dāng)步長為21天和60天時,MS-GARCH模型SMAPE分別為0.971 6、0.867 9;MS-GARCH模型MSE分別為0.012 4、0.010 2。由此可見MS-GARCH模型的T分布在步長為60天時為預(yù)測效果最好的模型。

表11 兩個模型的預(yù)測誤差

4 結(jié)論

以上證50ETF期權(quán)為研究對象,選取2015年2月—2021年12月收盤價數(shù)據(jù),將GARCH模型在平穩(wěn)情形下劃分為3個狀態(tài),根據(jù)不同狀態(tài)分別進(jìn)行期權(quán)價格誤差分析,并且對樣本內(nèi)擬合和樣本外預(yù)測分別進(jìn)行誤差分析。結(jié)果發(fā)現(xiàn),在其他條件相同時,樣本內(nèi)擬合MS-GARCH模型優(yōu)于GARCH模型;步長越長時的樣本外預(yù)測MS-GARCH模型均優(yōu)于GARCH模型;MS-GARCH模型的T分布在步長為60天時為預(yù)測效果最好的模型。將兩種波動率與BS模型結(jié)合,采取滾動時間的方式,MS-GARCH模型在處于高波動時會優(yōu)于GARCH模型,同時在高波動狀態(tài)下進(jìn)行更好的預(yù)測,可為金融機(jī)構(gòu)和個人投資者提供參考。