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        初中數(shù)學非標準題型解題思路研究
        ——以“換元法”為例

        2023-04-15 04:46:02福建省南安市僑光中學
        中學數(shù)學 2023年4期
        關(guān)鍵詞:換元法非標準換元

        福建省南安市僑光中學

        鄭海萍

        學生在日常解題中,一旦遇到非標準、非典型的題目,如果按照傳統(tǒng)解題思路和模式進行解題,就會處處碰壁,出現(xiàn)甚至解題錯誤等情況.教師應指導學生另辟蹊徑,引入一個或若干個新元素替代問題中的“元”,借助變量代換的方式,通過化繁為簡、化難為易,逐漸降低解題難度.同時,鑒于換元法的特點,學生在學習和應用中,也逐漸拓展了自身的解題思路,培養(yǎng)了創(chuàng)新意識,促進了數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展.

        1 換元法概述

        換元法又稱為“輔助元素法”“變量代換法”,主要是運用一個新的變量,代替原本題目中的某一個元素,即運用一個新的元素,代替問題中原來的“元素”,進而使得原本非標準、非典型的數(shù)學問題變得更加標準、典型,有效降低學生的解題難度.從本質(zhì)內(nèi)涵上來說,換元法就是變量代換、轉(zhuǎn)化,其關(guān)鍵就在于合理選擇出“新元”,并將其代入到數(shù)學問題中,進行適當?shù)拇鷵Q,促進數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化,以便于快速找到解題思路,順利解決數(shù)學問題.

        縱觀初中數(shù)學解題現(xiàn)狀,在實施“換元法”時,基本上都是遵循“換元—求解—檢驗”步驟進行的.常用的換元方法主要包括局部換元、三角換元、均值換元三種.其中,局部換元就是指在數(shù)學解題中,某一個代數(shù)式反復出現(xiàn)了幾次,可采用一個字母進行代替,促使繁雜問題簡單化.通常,這一換元方式應用于不等式問題的求解中;三角換元則是在解決去根號、變換為三角形的問題中,運用已知代數(shù)式和三角知識間的內(nèi)在連接點進行換元,常常將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為學生熟悉的三角函數(shù)進行解答;均值換元則常常應用于“兩個未知量的和是已知”的情況,借助均值換元的模式,運用新的變量將兩個未知量表示出來,進而完成數(shù)學問題的解答[1].

        2 換元法在初中數(shù)學非標準題型解題中的具體運用

        2.1 運用換元法解決方程問題

        在初中數(shù)學解題中,換元是一種常用的解題方法.尤其是解決一些復雜的方程問題時,如果按照常規(guī)的解題方式,問題就會變得非常復雜,甚至超出學生的能力范圍,致使學生難以解答.其實,這些題目中常常蘊含著換元的條件,如果對其仔細分析,找出可替換的“元”,并運用新的未知數(shù)進行代替,那么,原本復雜的方程問題會變得簡單,以便于學生快速解出正確答案.

        例1解方程(x2+5x+4)(x2+5x+6)=1.

        如此一來,例1通過換元法的應用,避免了高次方程的出現(xiàn),排除了學生無法解決問題的困擾,真正提升了學生的解題效率.學生經(jīng)過一段時間訓練之后,也能從換元解題中,感受到換元法的內(nèi)涵,喚醒學生的數(shù)學解題動機[2].

        2.2 運用換元法解決方程組問題

        在初中數(shù)學解題中,如果方程組求解的難度相對比較高,學生無法按照常規(guī)的方式解決時,就可引導學生借助換元法,將原本復雜的方程組進行轉(zhuǎn)化,比如將高次方程組轉(zhuǎn)化為低次方程組.另外,在解方程組的過程中,有的方程組雖然可運用傳統(tǒng)的方式解答,但計算量比較大,學生在繁瑣的計算中,常常會出現(xiàn)各種各樣的錯誤.鑒于此,也可借助換元法解題,減少計算量,避免解題錯誤.

        分析:如果按照傳統(tǒng)的方法解方程組,學生就會面臨著復雜的計算,進而在繁雜的計算中,出現(xiàn)各種各樣的錯誤,嚴重制約了學生的解題效率.鑒于此,例2可借助單參數(shù)換元的方法,設2(x+1)=3(y-1)=6k,對其進行化簡,得出x=3k-1,y=2k+1,并將其代入到第二個方程中,得到5(3k-2)=3(2k+2)-7,解出k=1.所以x=3k-1=2,y=2k+1=3.

        例2借助了換元法,將原來方程中比較復雜的代數(shù)式,運用一個簡單的字母進行代替,使得原本的方程變得簡單.需要說明的是,在借助這一方法解方程組時,應按照“設元—換元—求新元—回代—求解—驗根”的步驟進行,真正提升數(shù)學問題解決的效率[3].

        2.3 運用換元法解決因式分解問題

        在初中數(shù)學學習中,多項式的因式分解是考查的重點,也是學生學習的難點.學生在因式分解時,需明確因式分解和整式乘法的關(guān)系,并在新舊知識對比中,掌握因式分解的方法.在諸多的因式分解方法中,換元法尤為常用,并以其獨特的優(yōu)勢,深受教師和學生的青睞.

        例3分解因式(x2+3x+2)(x2+7x+12)-120.

        分析:在解答這一問題時,如果按照常規(guī)的解題思路,先利用乘法公式展開再分解,問題就會變得非常困難,而直接運用換元法似乎也不太可能.此時,學生必須要認真分析題目的結(jié)構(gòu),將其初步變形,得到(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120,之后對其重新組合,變形成為[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]-120,并化簡為(x2+5x+4)(x2+5x+6)-120;之后,就可借助換元法,設x2+5x+4=y,則原式就等于y(y+2)-120=y2+2y-120=(y+12)(y-10),之后再代回原來的表達式,得(x2+5x+4+12)·(x2+5x+4-10),經(jīng)過化簡得出最終結(jié)果,即(x+6)(x-1)(x2+5x+16).

        在例3的解答中,如何找到替換的“元”是關(guān)鍵.學生在解答該題之前,應對原式進行仔細觀察和分析,將其適當變形,通過分解和重新組合,找到替換的“元”.之后,再借助換元法完成問題的解答.

        2.4 運用換元法加強整式運算

        在初中數(shù)學學習中,一些非標準型的整式運算相對比較復雜,學生在解決問題時,常常面臨著無法下手、不知道如何解決的現(xiàn)象.鑒于此,可借助換元法,將整式中相同的部分視為一個整體,并借助新元進行代換,進而將復雜的整式運算轉(zhuǎn)化為簡單的數(shù)學問題.

        例4計算:

        (1-2-3-……-998)(2+3+4……+999)-(1-2-3-……-999)(2+3+4+……+998).

        分析:在計算這一整式時,常規(guī)方法根本無法解決,唯有借助換元法的思想內(nèi)涵,比如將(2+3+4+……+999)設為a,將(2+3+4+……+998)設為b,則原來的整式就可變?yōu)?1-b)a-(1-a)b,并據(jù)此進行求解.如此,通過換元法的應用,使得原本復雜的整式計算變得非常簡單,真正提升了學生的解題效率[4].

        綜上所述,在初中數(shù)學解題中,學生常常會遇到非標準、非典型的問題,無法按照傳統(tǒng)的方式進行解題,甚至在解題中頻頻出現(xiàn)錯誤.鑒于此,可基于換元法的特點,采用新“元”替換的方式,將原本復雜的數(shù)學問題簡單化,以便于學生順利解決這些問題.

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