南京市浦口區(qū)第三中學(xué)

滕宏蓮

在平時(shí)的教學(xué)中，經(jīng)常會遇到一些較難的習(xí)題.若直接讓學(xué)生做，學(xué)生往往一籌莫展，毫無思路；而若是教師單個(gè)逐題講解，雖然學(xué)生當(dāng)時(shí)掌握了，但由于是靠記憶去模仿，缺少了主動理解，過一段時(shí)間會很容易忘記.難題往往思維邏輯性強(qiáng)，考查的知識點(diǎn)多.而通過類比來講解，類比知識間的前后聯(lián)系和區(qū)別，將新學(xué)習(xí)的知識內(nèi)化到原有的知識結(jié)構(gòu)之中，找到新舊知識的連接點(diǎn)，就能夠使知識順其自然地呈現(xiàn)出來.這樣不僅可以減少教師的講解，還能增加學(xué)生的主動學(xué)習(xí)、主動思考，學(xué)生的記憶也會更加深刻.這樣由被動學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化為主動學(xué)習(xí)，可以大大提高課堂效率，這也是實(shí)現(xiàn)高效課堂的一種途徑.

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，怎樣運(yùn)用對比和類比呢？簡單地說就是對比兩者的不同，類比兩者的相同，通過歸納，獲得有關(guān)問題的結(jié)論或者解決問題的方法.類比時(shí)要注意兩者的不同，對比時(shí)要注意兩者的相同.

1 運(yùn)用類比法解決分式方程的增根和無解問題

分式方程中的增根問題、無解問題、解為正數(shù)(或非負(fù)數(shù)等)都是計(jì)算中的難點(diǎn).如果就題論題，孤立地求解，學(xué)生學(xué)起來會非常困難.教師若能夠運(yùn)用對比和類比法，知識的講授會更加自然.同時(shí)，能夠減少教師的講解，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生能夠獨(dú)立自主地解決問題.

1.1 運(yùn)用類比和對比解決增根問題

若直接把這個(gè)題拿出來讓學(xué)生做，大部分學(xué)生會無從入手.例1有兩個(gè)難點(diǎn)，第1個(gè)難點(diǎn)是學(xué)生不知道方程有增根這句話如何用，第2個(gè)難點(diǎn)是因?yàn)橛袃蓚€(gè)未知數(shù)x和a，不知如何解.

針對這個(gè)問題，教師先讓學(xué)生解一個(gè)有增根的方程.

解：方程兩邊同乘x-2，得1-x=-1-2(x-2)，解得x=2.

把x=2代入x-2中，得x-2=0，所以x=2是分式方程的增根，故方程無解.

這個(gè)題目是將例1中的a變?yōu)閿?shù)字1，求出x=2是方程的增根，分式方程無解.通過這個(gè)題讓學(xué)生感受增根是怎樣產(chǎn)生的.增根是由于解出來的x使分式方程中的分母為0,使得分式?jīng)]有意義而產(chǎn)生的.

例1解題過程如下：

解：方程兩邊同乘x-2,得1-x=-a-2(x-2)，解得x=-a+3.

因?yàn)榉匠逃性龈?，且增根為x=2，所以-a+3=2，求得a=1.

1.2 運(yùn)用對比和類比解決無解問題

初中階段學(xué)習(xí)的分式方程皆可轉(zhuǎn)化為一元一次方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程或其他方程的情況不在初中階段的學(xué)習(xí)范圍內(nèi).在此前提下，若分式方程有增根，則分式方程無解.但反過來并不成立，無解并不意味著分式方程只有增根，增根是無解的一種情況.但是要讓學(xué)生理解這一點(diǎn)并不容易.教學(xué)時(shí)，若讓學(xué)生將這兩種題型進(jìn)行對比，從中發(fā)現(xiàn)兩者的不同，無解與增根問題就會迎刃而解.

學(xué)生出現(xiàn)的問題是把無解等同于有增根.很多習(xí)題也確實(shí)屬于無解等同于有增根的情況.平時(shí)練習(xí)冊中的習(xí)題一般是先易后難，比較簡單的題目中方程無解就是方程有增根，所以學(xué)生先入為主認(rèn)為方程無解和方程有增根是同一種情況.當(dāng)遇到不止增根這種情況的習(xí)題時(shí)，出錯(cuò)率自然大大提高.

熟練地掌握無解不等同于有增根是解題的關(guān)鍵，我們可以類比例1解例2，可將例2與例1作對比，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同，主動尋找例2的問題所在，從而解決問題.

例2的解題過程如下：

2 運(yùn)用類比法解答分式的加減運(yùn)算

我們知道“分式與分式方程”這一章可以類比分?jǐn)?shù)來學(xué)習(xí)，其中分式有意義可以類比分?jǐn)?shù)的分母不能為零，分式的基本運(yùn)算可類比分?jǐn)?shù)的基本運(yùn)算，等等.但這一章最難莫過于“分式的加減”中異分母的加減.突破分式異分母的運(yùn)算，還是要類比分?jǐn)?shù)的運(yùn)算.

異分母的計(jì)算最終都要轉(zhuǎn)化為同分母的計(jì)算，找最簡公分母是解題的關(guān)鍵，也是學(xué)生最容易出錯(cuò)的地方.在平時(shí)教學(xué)中，結(jié)合課本例題以及練習(xí)題，筆者將異分母加減的習(xí)題進(jìn)行了歸類，歸為四類：一類是分母之間無公因式；二類是分母之間為倍數(shù)；三類是分母之間不是倍數(shù)關(guān)系，但有公因式；四類是整式與分式加減.這四類習(xí)題由易到難，學(xué)生更易掌握.下面通過四個(gè)例題來講述這四類題型.

例4、例5和例6的學(xué)習(xí)同樣都是類比分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，以問題為導(dǎo)向，引導(dǎo)學(xué)生主動主動探究，并總結(jié)這類題的運(yùn)算方法.

簡單的一個(gè)分類，就能使學(xué)生類比分?jǐn)?shù)來學(xué)習(xí)分式，不僅有利于理解，更是提高了學(xué)生主動探究的能力.這些例題層層遞進(jìn)，由易到難，由淺入深，在不經(jīng)意間就解決了異分母的加減這一難點(diǎn).通過類比來解答問題，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)由被動接受變?yōu)榱酥鲃犹骄?，課堂的效率大大提高.在平時(shí)的教學(xué)中，只要善于發(fā)現(xiàn)知識之間的聯(lián)系與規(guī)律，多一些引導(dǎo)，少一些灌輸，讓學(xué)生真正成為課堂的主人，那么我們的課堂就更加高效.

3 教學(xué)感悟

有關(guān)分式的教學(xué)，教師利用“類比”的手段組織教學(xué)活動，對比出新舊知識的關(guān)聯(lián)度，揭示出知識間的相同因素和不同因素，為學(xué)好分式有關(guān)概念、性質(zhì)、應(yīng)用做好鋪墊，實(shí)現(xiàn)從具體運(yùn)算到抽象運(yùn)算的升華，可以幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)由分?jǐn)?shù)到分式的遷移，平穩(wěn)過渡到分式的學(xué)習(xí)中.

波利亞曾說過：“類比是一個(gè)偉大的引路人.”通過類比和對比，可以幫助學(xué)生找到解決問題的方法和思路.在遇到難題或者陌生問題時(shí)，要善于聯(lián)想和類比平時(shí)所學(xué)的知識和方法，挖掘條件、深度思考、轉(zhuǎn)化結(jié)論，進(jìn)而找到解決問題的最佳途徑，提高學(xué)習(xí)效率.