郭嵐

摘 要：高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生需要通過(guò)大量的解題來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的有效掌握，所以解題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要的一部分.新課標(biāo)對(duì)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)也有著明確的要求，需要通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維品質(zhì)的優(yōu)化，從而提升學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng).所以在解題教學(xué)中如何實(shí)現(xiàn)優(yōu)化思維品質(zhì)，提升科學(xué)素養(yǎng)是非常關(guān)鍵的內(nèi)容.本文將通過(guò)相關(guān)例題來(lái)對(duì)高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中如何有效優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)從而提升學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)進(jìn)行說(shuō)明.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)；思維品質(zhì)；科學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程包括理論知識(shí)的學(xué)習(xí)和通過(guò)解題對(duì)理論知識(shí)進(jìn)行應(yīng)用這兩個(gè)過(guò)程，解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的重要途徑，所以在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中解題教學(xué)是非常重要的組成部分.在解題教學(xué)的過(guò)程中需要教師通過(guò)解題訓(xùn)練來(lái)對(duì)學(xué)生的思維品質(zhì)進(jìn)行優(yōu)化，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)的提升.但是在解題教學(xué)的過(guò)程中，部分教師更加關(guān)注學(xué)生的解題結(jié)果，關(guān)注學(xué)生程式化經(jīng)驗(yàn)性的解題方法而忽視了對(duì)學(xué)生審題和反思以及解題過(guò)程中的規(guī)范性和邏輯性的重視.這樣的填鴨式解題教學(xué)方式導(dǎo)致學(xué)生在進(jìn)行解題學(xué)習(xí)的過(guò)程中出現(xiàn)“一聽就懂，一做就卡”的情況，進(jìn)而導(dǎo)致學(xué)生的解題思維僵化，無(wú)法實(shí)現(xiàn)對(duì)試題的有效解答.所以如何有效優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，提升學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)是解題教學(xué)的關(guān)鍵.

1 原題再現(xiàn)

【例題】 （2022年全國(guó)新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)第22題）已知函數(shù)f（x）=ex-ax和g（x）=ax-lnx有相同的最小值.

（1） 求a；

（2） 證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f（x）和y=g（x）共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

2 教會(huì)學(xué)生對(duì)試題的思考是解題教學(xué)的首要任務(wù)

學(xué)生永遠(yuǎn)是學(xué)習(xí)的主體，教學(xué)的過(guò)程就是教會(huì)學(xué)生如何去學(xué)習(xí)的過(guò)程，而不是將知識(shí)與方法通過(guò)硬性的方式傳遞給學(xué)生.所謂授人以魚不如授人以漁.教師需要通過(guò)正確的方式來(lái)對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生去尋找解題的思路，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)這類問(wèn)題的掌握.所以在解題教學(xué)的過(guò)程中需要教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行解題思路的引導(dǎo)，通過(guò)對(duì)例題進(jìn)行分析，幫助學(xué)生理解知識(shí)是如何應(yīng)用的，例如在這個(gè)例題中第一個(gè)小問(wèn)題就是對(duì)函數(shù)的最值問(wèn)題的考查，只不過(guò)將具體的函數(shù)轉(zhuǎn)化成抽象函數(shù).那么接下來(lái)解決抽象函數(shù)的最值問(wèn)題最好的方法就是對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)來(lái)對(duì)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行判定，從而確定函數(shù)的最小值.而在第二個(gè)問(wèn)題中則需要通過(guò)假設(shè)存在這樣的一條直線，對(duì)直線存在的條件進(jìn)行分析判定，從而證明問(wèn)題.

3 尋找解題思路是解題教學(xué)的核心

對(duì)試題進(jìn)行閱讀了解之后需要尋找具體的解題思路.數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的是對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的優(yōu)化.

例題解析：通過(guò)對(duì)這個(gè)試題的閱讀可知，第一個(gè)問(wèn)題是需要求a的值.那么根據(jù)題目中的已知條件可以發(fā)現(xiàn)給定的兩個(gè)函數(shù)有相同的最小值，所以在解題的過(guò)程中就需要對(duì)這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷，從而得到函數(shù)的最小值.所以在這個(gè)問(wèn)題的解答過(guò)程中就需要通過(guò)合理的方式來(lái)對(duì)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷.而判斷函數(shù)單調(diào)性的方式就是對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo).首先f(wàn)（x）=ex-ax的定義域是R，所以其導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=ex-a，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)可以知道當(dāng)a≤0的情況下f′（x）＞0，這樣的結(jié)果就是函數(shù)f（x）沒有最小值，所以a＞0.然后再對(duì)函數(shù)g（x）=ax-lnx進(jìn)行求導(dǎo).首先還是需要對(duì)函數(shù)進(jìn)行定義域的判定，可以知道g（x）=ax-lnx的定義域是（0，+∞），所以其導(dǎo)函數(shù)是g′（x）=a-1x=ax-1x.然后就需要通過(guò)導(dǎo)函數(shù)來(lái)對(duì)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行判定.首先是對(duì)函數(shù)f（x）=ex-ax的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行判定.通過(guò)導(dǎo)函數(shù)f′（x）=ex-a可以知道當(dāng)x＜lna時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞lna時(shí)，f′（x）＞0，所以就可以知道函數(shù)f（x）=ex-ax在（-∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，所以就可以得到函數(shù)f（x）=ex-ax的最小值是f（x）min=f（lna）=a-alna.然后需要對(duì)函數(shù)g（x）=ax-lnx的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行判斷.根據(jù)導(dǎo)函數(shù)g′（x）=ax-1x可以知道當(dāng)0＜x＜1a時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)x＞1a時(shí)，g′（x）＞0，所以函數(shù)g（x）=ax-lnx在0，1a上單調(diào)遞減，在1a，+∞上單調(diào)遞增.從而就能夠得到函數(shù)g（x）=ax-lnx的最小值是g（x）min=g1a=1-ln1a.結(jié)合題意就能夠得到a-alna=1-ln1a這樣的一個(gè)等量關(guān)系.同時(shí)結(jié)合前邊所得到的a＞0，就能夠得到這個(gè)式子與lna-a-1a+1=0等價(jià).令h（a）=lna-a-1a+1（a＞0），通過(guò)對(duì)這個(gè)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)來(lái)對(duì)其單調(diào)性進(jìn)行判定，從而就能夠得到h（a）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增的，所以得到a=1.

對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題，通過(guò)（1）的計(jì)算得到a=1，這樣就可以得到兩個(gè)函數(shù)的最小值都是1.因?yàn)楹瘮?shù)y=b與兩條函數(shù)相交，所以就需要根據(jù)b的取值進(jìn)行判定.當(dāng)b＜1時(shí)，函數(shù)y=b與兩個(gè)函數(shù)沒有交點(diǎn)；當(dāng)b=1時(shí)，y=b與兩個(gè)函數(shù)分別有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b＞1時(shí)，則y=b與兩個(gè)函數(shù)分別有兩個(gè)交點(diǎn).這樣就能夠得到直線y=b，其與兩條曲線y=f（x）和y=g（x）共有三個(gè)不同的交點(diǎn)的情況的條件是b＞1，那么要存在三個(gè)不同的交點(diǎn)的情況就需要證明在b＞1的情況下存在y=b使其中的兩個(gè)交點(diǎn)重合.這樣剛好有三個(gè)交點(diǎn)，然后再對(duì)出現(xiàn)三個(gè)交點(diǎn)的情況下是否呈等差數(shù)列的情況進(jìn)行判斷.

4 解題過(guò)程是解題教學(xué)的細(xì)節(jié)

對(duì)試題進(jìn)行閱讀和分析后，需要通過(guò)解題過(guò)程來(lái)對(duì)解題分析進(jìn)行體現(xiàn).在數(shù)學(xué)解題教學(xué)的過(guò)程中教師需要教會(huì)學(xué)生如何將解題思路轉(zhuǎn)化為正確的解題答案.在這過(guò)程中需要學(xué)生通過(guò)相應(yīng)的解題步驟來(lái)對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行體現(xiàn).下邊將通過(guò)例題的解答來(lái)對(duì)解題的過(guò)程進(jìn)行展現(xiàn).

解：（1）對(duì)函數(shù)f（x）=ex-ax和g（x）=ax-lnx進(jìn)行函數(shù)求導(dǎo)可得：

f′（x）=ex-a，g（x）=a-1x，

當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，g′（x）＜0，這時(shí)兩個(gè)原函數(shù)均無(wú)最小值，與題意不符；

當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=ex-ax在（-∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)f（x）=ex-ax的最小值是f（x）min=f（lna）=a-alna.

函數(shù)g（x）=ax-lnx在0，1a上單調(diào)遞減，在1a，+∞上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)g（x）=ax-lnx的最小值g（x）min=g1a=1-ln1a.

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）與函數(shù)g（x）有相同的最小值，

所以有a-alna=1-ln1a，即lna-a-1a+1=0，

令h（a）=lna-a-1a+1（a＞0），則h′（a）=1a-2（a+1）2=a2+1a（a+1）2，

所以函數(shù)h（a）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且h（1）=0，故a=1.

（2） 由（1）可知，f（x）=ex-x，g（x）=x-lnx，且兩個(gè)函數(shù)的最小值為1.

假設(shè)結(jié)論成立，則y=b與兩個(gè)函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn).

當(dāng)b＜1時(shí)，函數(shù)y=b在f（x）=ex-x，g（x）=x-lnx的下方，不存在交點(diǎn)；

當(dāng)b=1時(shí)，函數(shù)y=b與函數(shù)f（x）=ex-x，g（x）=x-lnx各交于最小值點(diǎn)，則直線與兩個(gè)函數(shù)各有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)b＞1時(shí)，考慮ex-x=b的解的數(shù)量以及x-lnx=b解的數(shù)量.

設(shè)F（x）=ex-x-b，則其導(dǎo)函數(shù)為F′（x）=ex-1，

可知函數(shù)F（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上是單調(diào)遞增，

所以F（x）min=F（0）=1-b＜0，而F（-b）=e-b＞0，F(xiàn)（b）=eb-2b，

設(shè)u（b）=eb-2b，其中b＞1，則其導(dǎo)函數(shù)為u′（b）=eb-2＞0，

所以u(píng)（b）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，故u（b）＞u（1）=e-2＞0，所以F（b）=eb-2b＞0，故F（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即ex-x=b的解的個(gè)數(shù)是2.

設(shè)G（x）=x-lnx-b，其導(dǎo)函數(shù)為G′（x）=x-1x，

可知函數(shù)G（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，

所以G（x）min=G（1）=1-b＜0，G（e-b）=e-b＞0，G（eb）=eb-2b＞0，

故G（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即x-lnx=b的解的個(gè)數(shù)是2.

所以如果存在直線y=b與曲線y=f（x），y=g（x）有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則b＞1.

設(shè)h（x）=ex+lnx-2x（x＞0），其導(dǎo)函數(shù)為h′（x）=ex+1x-2.

設(shè)s（x）=ex-x-1（x＞0），其導(dǎo)函數(shù)為s′（x）=ex-1＞0，

所以s（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以s（x）＞s（0）=0，所以ex＞x+1，

所以h′（x）=ex+1x-2＞x+1x-1＞0，故h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

同時(shí)h（1）=e-2＞0，h1e3=e1e3-3-2e3＜e-3-2e3＜0，

故h（x）在（0，+∞）有且僅有1個(gè)零點(diǎn)x0，1e3＜x0＜1，

同時(shí)當(dāng)0＜x＜x0時(shí)，h（x）＜0，即f（x）＜g（x），

當(dāng)x＞x0時(shí)，h（x）＞0，即f（x）＞g（x）.

因此如果存在直線y=b與曲線y=f（x），y=g（x）有三個(gè)不同的交點(diǎn)，故b=f（x0）=g（x0）＞1，

這樣就有ex-x=b有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，分別是x1，x0（x1＜0＜x0），

x-lnx=b有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，分別是x0，x4（0＜x0＜1＜x4），

故有ex1-x1=b，ex0-x0=b，x0-lnx0=b，x4-lnx4=b，

所以x4-b=lnx4，即ex4-b=x4，

所以ex4-b-（x4-b）-b=0，

故x4-b是方程ex-x=b的解，同理x0-b也是ex-x=b的解.

又ex1-x1=b可以轉(zhuǎn)化為ex1=x1+b，即（x1+b）-ln（x1+b）-b=0，

故x1+b是方程x-lnx=b的解，同理x0+b也是方程x-lnx=b的解，

所以{x1，x0}={x0-b，x4-b}，而b＞1，

所以x0=x4-b，

x1=x0-b，即x1+x4=2x0，

所以x1，x0，x4是公差為b的等差數(shù)列.

故原關(guān)系得證.

5 試題總結(jié)延伸是解題教學(xué)的關(guān)鍵

在進(jìn)行相應(yīng)試題的解題教學(xué)后，需要對(duì)這個(gè)試題的知識(shí)點(diǎn)以及相關(guān)的解題過(guò)程進(jìn)行總結(jié)和對(duì)類似問(wèn)題進(jìn)行有效的延伸.例如在這個(gè)試題中，主要考查的就是關(guān)于抽象連續(xù)函數(shù)的最值問(wèn)題.而對(duì)于這類問(wèn)題的解題方法通常就通過(guò)利用函數(shù)求導(dǎo)來(lái)對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行討論，從而判定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定函數(shù)的最值.在本題中由于在兩個(gè)函數(shù)關(guān)系中都存在所求的未知數(shù)a，所以在進(jìn)行函數(shù)單調(diào)性判斷的過(guò)程中需要注意的是這個(gè)未知數(shù)的取值范圍是否會(huì)對(duì)函數(shù)的單調(diào)性產(chǎn)生影響.例如在本試題中，當(dāng)a≤0時(shí)，就會(huì)使兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求f′（x）＞0，g′（x）＜0，從而導(dǎo)致原函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)或者單調(diào)增函數(shù)的情況，導(dǎo)致函數(shù)沒有最小值.這樣的情況就與題意矛盾，所以需要舍棄a≤0的情況.然后再通過(guò)對(duì)a＞0的情況進(jìn)行分析，實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題的求解.當(dāng)然在第二個(gè)問(wèn)題的解題過(guò)程中也需要對(duì)b的取值范圍進(jìn)行分析，從而來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題的解決.總結(jié)完成之后還需要通過(guò)對(duì)試題進(jìn)行有效的延伸，讓學(xué)生對(duì)這類試題能夠有一個(gè)更加深入的了解.

6 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，本文通過(guò)一道高考原題來(lái)對(duì)高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)科學(xué)素養(yǎng)的有效提升進(jìn)行了分析.在解題教學(xué)的過(guò)程中，教師需要掌握解題教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，讓學(xué)生能夠根據(jù)試題來(lái)對(duì)解題思路進(jìn)行分析，結(jié)合所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)找到問(wèn)題解決的關(guān)鍵，從而再根據(jù)解題思路實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題的有效解答.最后再通過(guò)對(duì)問(wèn)題的拓展來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)的有效培養(yǎng)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)的提升.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 郝文華.優(yōu)化思維品質(zhì)提升學(xué)科素養(yǎng)——以高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)為例［J］.福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2021（2）：19-22.

［2］ 秦泗偉.高中數(shù)學(xué)變式教學(xué)實(shí)踐研究——以“導(dǎo)數(shù)法求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”教學(xué)為例［J］.延邊教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2022，36（3）：188-189.

［3］ 楊紅利.高中數(shù)學(xué)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的實(shí)踐研究［J］.數(shù)理化解題研究，2022（3）：35-37.

［4］ 王云龍.淺談高中數(shù)學(xué)中抽象函數(shù)的解題策略［J］.新教育時(shí)代電子雜志（學(xué)生版），2022（19）：82-84.

［5］ 陳禹姍.基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的高中函數(shù)性質(zhì)課堂教學(xué)［D］.哈爾濱師范大學(xué)，2020.