[摘? 要] “自學(xué)·議論·引導(dǎo)”教學(xué)理念，歷經(jīng)四十載的實(shí)踐與研究，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中獲得了豐碩的成果. 隨著新課改的推進(jìn)與“雙減政策”的落地，該理念對(duì)如今的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)更具指導(dǎo)意義. 文章以“同底數(shù)冪的乘法”教學(xué)為例，具體從“三學(xué)”的角度來(lái)闡述學(xué)材再建構(gòu)，自然切入主題;學(xué)程重生成，巧妙揭示新知;學(xué)法三結(jié)合，建構(gòu)鞏固新知;課堂總提煉，提升思維能力.

[關(guān)鍵詞] “自學(xué)·議論·引導(dǎo)”;學(xué)材;學(xué)程;學(xué)法;課堂教學(xué)

作者簡(jiǎn)介：盧波意（1983—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)與研究工作，曾獲無(wú)錫市青年數(shù)學(xué)教師基本功大賽三等獎(jiǎng).

李庾南老師提出的學(xué)法三結(jié)合、學(xué)材再建構(gòu)與學(xué)程重生成（簡(jiǎn)稱“三學(xué)”）是“自學(xué)·議論·引導(dǎo)”教學(xué)的核心[1]，尤其是在“雙減”的背景下，對(duì)師生的教與學(xué)提出了更高的要求. 想要師生在有限的時(shí)間內(nèi)最大限度地達(dá)到效益最大化，必然離不開各種先進(jìn)的教學(xué)理念與手段的輔助. 事實(shí)證明，“三學(xué)”法的應(yīng)用，是賦能數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的催化劑.

“同底數(shù)冪的乘法”作為冪運(yùn)算的基礎(chǔ)，不僅是后繼學(xué)習(xí)的基石，還是物理、化學(xué)等學(xué)科的基本運(yùn)算方法. 因此，本章節(jié)的教學(xué)，對(duì)學(xué)生的發(fā)展具有重要意義. 基于以上認(rèn)識(shí)，筆者在“自學(xué)·議論·引導(dǎo)”理念的指導(dǎo)下，踐行“三學(xué)”思想，呈現(xiàn)以下形態(tài)的教學(xué)過程.

<D：＼Jzianhi＼龍?jiān)矗?.13＼數(shù)學(xué)教學(xué)通訊·初中版202303＼aa-1.jpg> 學(xué)材再建構(gòu)，自然切入主題

“三學(xué)”中的學(xué)材再建構(gòu)是指在教學(xué)過程中，教師結(jié)合學(xué)情，將教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行重組、整合，如將一些學(xué)法相近或內(nèi)容互通、互逆的一些知識(shí)整合在一起，實(shí)施單元教學(xué)[2]. 這種教學(xué)方式，不僅是將知識(shí)的結(jié)論呈現(xiàn)給學(xué)生，更注重知識(shí)的形成過程. 學(xué)材再建構(gòu)也可以理解為將一些零碎的知識(shí)點(diǎn)有機(jī)地聯(lián)系到一起，讓學(xué)生能更加清晰地明確知識(shí)間的聯(lián)系，幫助學(xué)生建構(gòu)完整的認(rèn)知體系. 實(shí)踐證明，這種教學(xué)方式對(duì)促進(jìn)學(xué)生思維的成長(zhǎng)具有直接影響.

本節(jié)課中，不少教師會(huì)選擇將“同底數(shù)冪的乘法”與“冪的乘方和積的乘方”等內(nèi)容整合到一起實(shí)施教學(xué). 一般安排為：課時(shí)一，從乘方的意義與乘法運(yùn)算律的應(yīng)用出發(fā)，獲得同底數(shù)冪的乘法，再?gòu)某朔降囊饬x和同底數(shù)冪的乘法中，獲得冪的乘方和積的乘方;課時(shí)二和課時(shí)三，一般安排學(xué)生進(jìn)行運(yùn)算性質(zhì)相關(guān)的練習(xí). 這種單元化的教學(xué)設(shè)計(jì)，能讓學(xué)生對(duì)三條性質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系形成較為深刻的印象，同時(shí)也能充分感知知識(shí)的發(fā)展過程.

實(shí)踐中，筆者也應(yīng)用了以上整合方式對(duì)這部分內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)，收效尚可. 為了踐行“雙減政策”，在原有基礎(chǔ)上獲得更進(jìn)一步的突破，以提高教學(xué)效益，筆者又進(jìn)行了新的學(xué)材整合的嘗試，具體如下：

第一課時(shí)，師生一起探討同底數(shù)冪乘法的相關(guān)知識(shí);第二課時(shí)，要求學(xué)生結(jié)合以上研究方法和經(jīng)驗(yàn)，探索“冪的乘方與積的乘方”的內(nèi)容;第三課時(shí)，安排運(yùn)算性質(zhì)的相關(guān)練習(xí).

為了將教材有機(jī)地融合到實(shí)際教學(xué)中，筆者經(jīng)過反復(fù)揣摩、分析與思考，設(shè)計(jì)了如下教學(xué)過程，以帶領(lǐng)學(xué)生自然而然地進(jìn)入“同底數(shù)冪的乘法”的研究中去.

情境創(chuàng)設(shè)：為了提高生活質(zhì)量，相關(guān)部門準(zhǔn)備將街心花園一塊長(zhǎng)、寬分別為p，b米的長(zhǎng)方形花圃往兩邊分別加寬a，c米.

問題1：若想求出擴(kuò)大后的花園面積，你能想到幾種方法？

問題2：觀察不同的表示方法，說(shuō)說(shuō)它們之間的聯(lián)系.

問題3：怎樣從數(shù)學(xué)的角度來(lái)辨析不同表示方法之間的關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖? 教材中提到與“街心花園”相關(guān)的內(nèi)容，教師結(jié)合這個(gè)點(diǎn)，提出三個(gè)問題，成功地吸引了學(xué)生的注意力，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)產(chǎn)生了探究欲，并初步感知整式運(yùn)算學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)意義. 此情境，不僅揭示了整式乘法與因式分解之間的互逆運(yùn)算，而且“積化和”也是后繼將會(huì)涉及的整式乘法，而“和化積”則為因式分解.

此過程中，利用教材所呈現(xiàn)的內(nèi)容，經(jīng)過重組，順利引出本堂課的教學(xué)主題，學(xué)生通過對(duì)這三個(gè)問題的分析，自然而然地過渡到“同底數(shù)冪的乘法”的研究中去.

問題4：若加寬后的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬分別是33，32，能否用式子來(lái)表示加寬后的長(zhǎng)方形的面積？

學(xué)生列式為33×32.

問題5：這個(gè)式子屬于什么運(yùn)算（乘法）？式子中的乘數(shù)具備什么特征（冪）？?jī)蓚€(gè)冪之間有什么聯(lián)系？

教師若基于初始的三個(gè)問題，直接提出“我們?cè)谥耙呀?jīng)研究了整式的加減法，今天我們一起來(lái)學(xué)習(xí)整式的乘法以及與之關(guān)系密切的因式分解，并一起來(lái)探討同底數(shù)冪的乘法”或向?qū)W生直接呈現(xiàn)33×32這個(gè)式子，而后切入本節(jié)課的研究主題，這種教學(xué)方式顯然有點(diǎn)生硬.

為了讓學(xué)生從心理上更加流暢地接受本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，教師可在原有問題的基礎(chǔ)上進(jìn)行改編，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)產(chǎn)生親切感. 如將長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)p與a+b+c改成32與33，引導(dǎo)學(xué)生感知“長(zhǎng)方形的面積可以從一個(gè)同底數(shù)冪的乘法式子”中獲得.

當(dāng)學(xué)生對(duì)本節(jié)課的教學(xué)主題有了一定的了解與認(rèn)識(shí)后，教師也無(wú)須著急帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)式子進(jìn)行運(yùn)算，可以從進(jìn)一步了解同底數(shù)冪的運(yùn)算具備怎樣的特點(diǎn)的角度去分析，引導(dǎo)學(xué)生從以下三個(gè)問題著手探究：①這個(gè)式子是什么運(yùn)算？②式子中的乘數(shù)是什么形式？③式子中乘數(shù)之間兩個(gè)冪具備怎樣的關(guān)系？

隨著問題的探究，學(xué)生逐步弄清該式為一種乘法運(yùn)算，是冪的乘法運(yùn)算，是同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，由此抽象出此類運(yùn)算的特征，提煉出運(yùn)算名稱——同底數(shù)冪的乘法.

學(xué)程重生成，巧妙揭示新知

“自學(xué)·議論·引導(dǎo)”教學(xué)法指導(dǎo)下的“三學(xué)”課堂，主張開放、互動(dòng)的形態(tài). 其實(shí)，課堂教學(xué)本就是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程，隨著教學(xué)的推進(jìn)，常會(huì)出現(xiàn)預(yù)設(shè)之外的情況，此時(shí)也是課堂動(dòng)態(tài)生成的契機(jī). 因此，教師應(yīng)注重課堂教學(xué)的動(dòng)態(tài)，注重知識(shí)的生成，以彰顯數(shù)學(xué)教學(xué)的生機(jī)與活力.

教學(xué)過程中，學(xué)生常會(huì)呈現(xiàn)出一些新穎的想法或有建設(shè)性的問題，教師應(yīng)抓住這些預(yù)設(shè)外的想法與問題作為教學(xué)的契機(jī)，沿著學(xué)生的思維進(jìn)入深層次的探究. 本節(jié)課中，為了帶領(lǐng)學(xué)生順利獲得同底數(shù)冪乘法的一般形式，教師可作如下處理：

問題1：請(qǐng)大家列舉一些與“同底數(shù)冪乘法”有關(guān)的例子.

若學(xué)生的列舉過于單一，毫無(wú)創(chuàng)意可言，教師還可適當(dāng)?shù)丶右宰穯柌⑦M(jìn)行啟發(fā).

問題2：剛剛大家所列舉的一些同底數(shù)冪乘法的例子，我觀察了一下，都是底數(shù)為整數(shù)的情況，有沒有同學(xué)能列舉出底數(shù)非整數(shù)的例子？

在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師還可順著學(xué)生的思維，繼續(xù)提出：

問題3：從以上例子來(lái)看，大家列舉的底數(shù)均為正數(shù)，有沒有哪位同學(xué)能列舉底數(shù)為非正數(shù)的例子呢？

問題4：同底數(shù)冪相乘的式子，底數(shù)一定是我們列舉的那些數(shù)嗎？是否存在其他情況呢？底數(shù)可以是哪些數(shù)？若想推廣底數(shù)的一般形式，該如何表示（引出字母a表示底數(shù)）？大家能列舉一些底數(shù)為a的例子嗎？

問題5：同底數(shù)冪相乘的指數(shù)一定是2，3，4，…嗎？指數(shù)可以是什么范圍的數(shù)（正整數(shù)范圍）？若要將指數(shù)推廣到一般，該如何表示？

當(dāng)學(xué)生使用同一個(gè)字母來(lái)表示兩個(gè)指數(shù)時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生探索指數(shù)是否一定相等，以及兩個(gè)指數(shù)能否使用不同的字母表示的問題.

問題6：底數(shù)與指數(shù)均推廣到一般狀態(tài)后，同底數(shù)冪相乘的情況又可以怎么表示呢？

設(shè)計(jì)意圖? 從乘法、冪的乘法與同底數(shù)冪的乘法三個(gè)層次出發(fā)，引出底數(shù)分別為整數(shù)、分?jǐn)?shù)、正負(fù)數(shù)的情況. 鑒于學(xué)生對(duì)“用字母表示數(shù)”的廣泛意義存在一定的認(rèn)識(shí)，此時(shí)再將底數(shù)從“特殊推廣到一般”就顯得更加合乎情理了.

對(duì)于學(xué)生而言，用字母表示指數(shù)冪比較陌生，因此會(huì)感到這部分知識(shí)較抽象、難理解. 若教師引導(dǎo)學(xué)生類比底數(shù)，找出指數(shù)具備怎樣的特征，則能讓教學(xué)變得更加流暢，學(xué)生很快就能獲得借用字母表示數(shù)的能力，順利解決將指數(shù)推廣到一般的問題，從而得到同底數(shù)冪乘法的一般形式，即am·an. 值得注意的是，探究過程中不可忽略底數(shù)a，以及指數(shù)m，n的實(shí)際意義.

練習(xí)設(shè)計(jì)：計(jì)算32×33，a2·a3，3m×3n（m，n為正整數(shù)），要求說(shuō)出每一步的計(jì)算依據(jù).

設(shè)計(jì)意圖? 當(dāng)學(xué)生獲得同底數(shù)冪乘法的一般形式后，會(huì)對(duì)其應(yīng)用產(chǎn)生更加深刻的理解，此練習(xí)設(shè)計(jì)則從學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，鼓勵(lì)學(xué)生自主探索幾個(gè)典型式子的運(yùn)算. 學(xué)生說(shuō)出每一步運(yùn)算依據(jù)的同時(shí)，就是深化理解知識(shí)的過程.

從冪的定義出發(fā)，32就是兩個(gè)3相乘;33就是三個(gè)3相乘，32×33是五個(gè)3相乘. 將底數(shù)3轉(zhuǎn)化為字母a，計(jì)算a2·a3，參照以上計(jì)算過程，則為五個(gè)a相乘.

隨著前三個(gè)練習(xí)的完成，教師可引導(dǎo)學(xué)生將運(yùn)算結(jié)果與式子中的底數(shù)和指數(shù)進(jìn)行比較，感知它們之間存在怎樣的聯(lián)系，并利用這種聯(lián)系充分發(fā)揮想象，猜想出am·an的結(jié)論.

問題7：猜想am·an的結(jié)論，并加以證明.

問題8：隨著兩個(gè)同底數(shù)冪相乘的研究，大家是否存在什么疑問或想法？

學(xué)生交流想法，并自主獲得其性質(zhì)為am·an·…·ap=am+n+…+p（m，n，p為正整數(shù)）.

設(shè)計(jì)意圖? 學(xué)生在積極參與中，不僅體會(huì)到乘方的實(shí)際意義、逆運(yùn)算以及乘法結(jié)合律，還在探究過程中獲得了成就感，當(dāng)教師提出“加以證明”的要求時(shí)，不僅為學(xué)生指明了探索的方向，還有效培養(yǎng)了學(xué)生用文字語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行知識(shí)互譯的能力. 問題8的提出，讓學(xué)生從兩個(gè)同底數(shù)冪相乘的角度出發(fā)，進(jìn)一步推廣到同底數(shù)冪乘法運(yùn)算性質(zhì).

學(xué)法三結(jié)合，建構(gòu)鞏固新知

學(xué)法三結(jié)合需要將學(xué)生的個(gè)人學(xué)習(xí)、小組合作與班級(jí)交流有機(jī)地融合在一起，應(yīng)用到教學(xué)中. 學(xué)生通過自主觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納，能將知識(shí)內(nèi)化到自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，但每個(gè)學(xué)生都存在個(gè)體差異，在知識(shí)整理與消化的過程中存在顯著的差別，這就需要教師為學(xué)生提供合作交流的機(jī)會(huì)，讓每個(gè)學(xué)生都提出自己的想法，并在組員的相互交流中取長(zhǎng)補(bǔ)短、總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，深刻理解知識(shí).

練習(xí)訓(xùn)練：觀察下列式子，說(shuō)說(shuō)哪些式子可以用同底數(shù)冪相乘運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算.

（1）x6+x6;（2）x·x6;

（3）22×36;（4）xn·xn+1.

問題1：（2）（4）兩個(gè)式子為同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，它們的底數(shù)分別是什么？指數(shù)是什么？大家能直接說(shuō)出這兩個(gè)算式的結(jié)論嗎？獲得這個(gè)結(jié)論的依據(jù)是什么？

問題2：要求每個(gè)學(xué)生自主出一道類似（2）（4）兩個(gè)式子的題目，小組內(nèi)解答，并將解題中存在的問題羅列出來(lái).

問題3：同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算，需要注意些什么問題？

設(shè)計(jì)意圖? 讓學(xué)生在練習(xí)訓(xùn)練中理解同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算，弄清該運(yùn)算的性質(zhì)與特點(diǎn). 教師幾個(gè)問題的提出，不僅幫助學(xué)生回顧了同底數(shù)冪乘法的特點(diǎn)，還讓學(xué)生開動(dòng)腦筋自主出題，在合作交流中完成了計(jì)算. 這種帶著問題的練習(xí)訓(xùn)練，有效地揭示了底數(shù)為任意數(shù)，指數(shù)為正整數(shù)，底數(shù)與指數(shù)可以用字母或多項(xiàng)式表示等性質(zhì).

學(xué)生回答底數(shù)、指數(shù)分別是什么，結(jié)論是如何得到的過程，就是深化理解這種運(yùn)算性質(zhì)的過程. 在適當(dāng)時(shí)機(jī)，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生做一些補(bǔ)充填空的練習(xí)，如710=72×7 （? ），a7=a·a （? ）·a （? ），以此來(lái)訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維.

課堂總結(jié)提煉，提升思維能力

課堂小結(jié)是一節(jié)課的點(diǎn)睛之筆，是幫助學(xué)生理清知識(shí)結(jié)構(gòu)的主要環(huán)節(jié). 在課堂尾聲，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧一堂課的學(xué)習(xí)過程與方法，可對(duì)所學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生一個(gè)全局性的認(rèn)識(shí)，積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，為后繼學(xué)習(xí)提供研究方法[3]. 本節(jié)課中，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生從所學(xué)知識(shí)、方法等方面出發(fā)，總結(jié)如下：

學(xué)生通過總結(jié)，能更加清晰地認(rèn)識(shí)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，為今后的學(xué)習(xí)積累了研究經(jīng)驗(yàn).

總之，“自學(xué)·議論·引導(dǎo)”是一種集“教法”與“學(xué)法”于一體的理念，教師可結(jié)合學(xué)情與教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，因勢(shì)利導(dǎo)地將這種教學(xué)方法貫穿課堂教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在豐富的教學(xué)活動(dòng)中感知教材的再建構(gòu)、學(xué)程的生成以及學(xué)法三結(jié)合的優(yōu)勢(shì)，為思維能力的提升奠定基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

[1]馮衛(wèi)東. “自學(xué)·議論·引導(dǎo)”教學(xué)法的基本原理與操作要義[J]. 課程·教材·教法，2011（05）：43-48.

[2]李庾南，陳育彬. 構(gòu)建促進(jìn)學(xué)力發(fā)展的數(shù)學(xué)課堂[J]. 課程·教材·教法，2008（08）：46-48.

[3]李庾南. 自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)法[M].北京：人民教育出版社，2013.