林厚棟

摘 要：以三角形為載體的最值（或范圍）問題，其形式多樣、靈活多變、思維量大、知識交匯點豐富，一直是歷年高考與各地模擬考的熱點考查對象之一，對學生的數(shù)學建模能力既有較高的要求，又有較強的選拔功能.

關鍵詞：解三角形；最值；數(shù)學建模；核心素養(yǎng)

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2023）34-0059-03

解三角形中的最值（范圍）問題往往與平面解析幾何、三角函數(shù)、導數(shù)、基本不等式等相關知識加以交匯與融合，充分體現(xiàn)了新課標中“在知識的交匯處命題”的指導思想.此類問題較全面地考查學生的識別模型的能力、化歸與轉(zhuǎn)化能力以及運算求解能力等.破解此類問題的關鍵是要基于問題情境，依托圖形特征或目標問題導向，樹立模型意識，并以模型為導向，結合正余弦定理實施合理轉(zhuǎn)化，進而構建出具體的模型實現(xiàn)問題的求解.

1 策略剖析

解三角形本質(zhì)上是在三角形內(nèi)蘊方程（三角形的正弦定理、余弦定理、三角形內(nèi)角和定理以及三角形兩邊之和大于第三邊）的基礎上，把試題設定的條件（方程）與內(nèi)蘊方程建立起聯(lián)系，從而得到三角形的全部或者部分度量關系.而度量關系的形成，就需要對已知條件進行深度加工或?qū)D形中隱藏的內(nèi)蘊特征進行挖掘，把情境問題模型化，以利于順利求解問題.

解三角形中有關的最值（范圍）問題常見的解題路徑是： 直觀感知（直觀數(shù)式和直觀幾何圖形特征）、識別模式（建立已知和未知之間的聯(lián)系）、引入變量（邊或角）、建立模型、問題求解.

解三角形中的最值（范圍）問題，最根本的落腳點是樹立模型化思想，模型化思想的內(nèi)涵包含函數(shù)模型的建立或者隱形的軌跡方程模型的確認，軌跡模型常有圓、橢圓、雙曲線等.在運用動點的軌跡方程模型中，首先要通過觀察發(fā)現(xiàn)三角形的邊與邊之間的數(shù)量關系，進而借助平面幾何的相關知識以及圖形的直觀意識，利用數(shù)形結合思想，直觀感知其軌跡方程中的圖形特征，借助化歸轉(zhuǎn)化等思想快速地實現(xiàn)問題的求解.

評注 例3涉及的最值問題求解是基于構建以角為變量的函數(shù)模型，依托二倍角公式，并結合正弦定理的轉(zhuǎn)化，巧妙而簡明地利用基本不等式來確定對應的最值問題，回歸解三角形本質(zhì)，使問題的求解變得自然順暢.

例4問題中呈現(xiàn)的三角形給出了一條邊上一個三等分點到頂點的長度和一個特殊角，但這些條件是無法確定原三角形的大小和形狀的.因此就要求在理解三角形變化的過程中，依托已知條件CD=2BD，并結合問題目標，選取邊BD作為基本變量，以兩個三角形為載體，運用余弦定理，把問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題.

正如波利亞在《怎樣解題》中所提到的：沒有任何一道題是徹底完成了的，總會有些事情可以做［1］.只有將立足模型與立意思想兩者交相融合，才能使問題的解決和素養(yǎng)的發(fā)展齊頭并進，才能將數(shù)學問題解答得更加“揮灑自如、甄于完美”，使學生對數(shù)學問題的本質(zhì)理解得更加透徹，對問題中所蘊含的數(shù)學思想領悟得更加深刻，學生的思維品質(zhì)亦能得到更好的發(fā)展，基礎知識得以進一步夯實，關鍵能力從中也得到顯著提高，最終促使學生數(shù)學核心素養(yǎng)真正落地.

參考文獻：

［1］ 波利亞.怎樣解題［M］.涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2020.

［責任編輯：李 璟］