廣東省中山市濠頭中學(xué) (528437) 李 方 楊沛娟

一、試題呈現(xiàn)及分析

分析：(1) 首先確定函數(shù)的定義域，然后求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性.

二、試題解答

第(1)小題解法如下：f(x)的定義域為(0,+∞)．由f(x)=x(1-lnx)得f′(x)=-lnx，當(dāng)x=1時，f′(x)=0；當(dāng)x∈(0,1)時f′(x)>0；當(dāng)x∈(1,+∞)時，f′(x)<0．故f(x)在區(qū)間(0,1]內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間[1,+∞)內(nèi)為減函數(shù).

本文主要分析第(2)小題的解法.

先證x1+x2>2.若x2≥2，x1+x2>2必成立.若x2<2， 要證x1+x2>2，即證x1>2-x2，而0<2-x2<1，故即證f(x1)>f(2-x2)，即證f(x2)>f(2-x2)，其中10，所以g′(x)>0，故g(x)在(1,2)為增函數(shù)，所以g(x)>g(1)=0，故f(x)>f(2-x)，即f(x2)>f(2-x2)成立，所以x1+x2>2成立.綜上，x1+x2>2成立.

設(shè)x2=tx1，則t>1，結(jié)合

評注：極值點偏移問題，一般利用通過原函數(shù)的單調(diào)性，把與自變量有關(guān)的不等式問題轉(zhuǎn)化與原函數(shù)的函數(shù)值有關(guān)的不等式問題，也可以引入第三個變量，把不等式的問題轉(zhuǎn)化為與新引入變量有關(guān)的不等式問題.

[2]雍照章.開發(fā)中職專業(yè)技能課程標(biāo)準(zhǔn)的基本問題分析 [J].職業(yè)技術(shù)教育,2017,38(10):24-29.

評注：等價轉(zhuǎn)化是處理導(dǎo)數(shù)問題的常見方法，其中利用的對稱差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想，這些都是導(dǎo)數(shù)問題必備的知識和技能.

令f(x)=x(1-lnx)，則f(m)=f(n)，不妨設(shè)m2．要證m+n>2?n>2-m?f(n)2．

再證m+nm，所以需證n(1-lnn)+n0，故h(x)在(1,e)內(nèi)單調(diào)遞增．所以h(x)

評注：等價轉(zhuǎn)化是常見的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造對稱差函數(shù)是最基本的極值點偏移問題的處理策略.

點評：解法4用到了比值代換，這是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.

評注：解法5用到的是構(gòu)造函數(shù)法，構(gòu)造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關(guān)于x1+x2-e<0的式子，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵思想所在.