劉章全
“試誤論”是美國(guó)著名心理學(xué)家桑代克提出的人類學(xué)習(xí)過程理論,他認(rèn)為人類學(xué)習(xí)的過程就是一種漸進(jìn)嘗試錯(cuò)誤的過程,在學(xué)習(xí)中與知識(shí)無關(guān)的錯(cuò)誤反應(yīng)逐漸減少,正確的反應(yīng)逐漸形成,最終,在不斷的出錯(cuò)和嘗試中知識(shí)得以構(gòu)建。在“冪的乘方”教學(xué)中,需要教師重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力,為學(xué)生數(shù)學(xué)建模等方面的發(fā)展奠定好基礎(chǔ)。教師采取“試誤論”教學(xué)思想,能使學(xué)生突破自身局限,有助于取得更好的教學(xué)效果。
一、加強(qiáng)學(xué)情分析,做好教學(xué)準(zhǔn)備
“冪的乘方”是華師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第12章中的內(nèi)容,基于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》中提出的要求,教師要注重從整體上推進(jìn)教學(xué)活動(dòng),促使學(xué)生獲得結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。因此在“冪的乘方”教學(xué)中,教師應(yīng)加強(qiáng)學(xué)情分析,明確教學(xué)目標(biāo)和重點(diǎn)。
在之前的教學(xué)中,學(xué)生已經(jīng)掌握了有理數(shù)乘方運(yùn)算的意義、同底數(shù)冪的乘法等基礎(chǔ)知識(shí),為學(xué)生學(xué)習(xí)這節(jié)課的內(nèi)容奠定了基礎(chǔ)。學(xué)生有較強(qiáng)的好奇心和求知欲,喜歡探索未知的事物,也樂于自主展開探究,不喜歡“灌輸式”的教學(xué)手段。因此在這次的教學(xué)中,教師可以采取“試誤論”的教育思想,增強(qiáng)學(xué)生在教學(xué)中的自主性,促使學(xué)生在試誤、糾錯(cuò)等學(xué)習(xí)過程中獲得學(xué)習(xí)能力上的提升,增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的成就感?;趯?duì)學(xué)情的認(rèn)識(shí),將教學(xué)目標(biāo)設(shè)置為:
1.數(shù)學(xué)語言:學(xué)生可以通過觀察、歸納等學(xué)習(xí)活動(dòng),總結(jié)出“冪的乘方”的運(yùn)算性質(zhì),能夠使用適合的語言符號(hào)來表示“冪的乘方”。
2.數(shù)學(xué)眼光:學(xué)生可以使用“冪的乘方”的相關(guān)知識(shí)靈活運(yùn)算,并且能夠正確理解每一步運(yùn)算的意義。
3.數(shù)學(xué)思維:學(xué)生可以經(jīng)歷完整的“冪的乘方”的探索過程,正確理解冪的意義,在探索中實(shí)現(xiàn)從特殊到一般、從具體到抽象的思維過程,掌握探索數(shù)學(xué)知識(shí)的有效方法,提升學(xué)習(xí)能力。
此外,基于對(duì)學(xué)情的認(rèn)識(shí),在這節(jié)課的教學(xué)中,教師將教學(xué)重點(diǎn)設(shè)置為:學(xué)生可以正確理解“冪的乘方”的法則,并且靈活使用“冪的乘方”知識(shí)去解決生活中的簡(jiǎn)單問題。由于學(xué)生的抽象思維、邏輯思維發(fā)展還存在一定限制,因此教學(xué)難點(diǎn)為:學(xué)生可以靈活使用“冪的乘方”知識(shí)去解決生活中的實(shí)際問題。如此,在這節(jié)課的教學(xué)中,教師需要基于“試誤論”思想,注重將“試誤論”滲透學(xué)生學(xué)習(xí)的整個(gè)過程中,引起學(xué)生對(duì)“冪的乘方”探索過程的思考,幫助學(xué)生在犯錯(cuò)、糾錯(cuò)中真正理解知識(shí)形成的過程,進(jìn)而讓學(xué)生更好地突破學(xué)習(xí)難點(diǎn),促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用。
二、創(chuàng)設(shè)試誤情境,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣
影響學(xué)生學(xué)習(xí)效果的因素有很多,興趣則是關(guān)鍵所在?!皟绲某朔健鄙婕暗闹R(shí)具有較強(qiáng)的抽象性和邏輯性,如果直接告訴學(xué)生結(jié)論,讓學(xué)生以大量運(yùn)算的方式來獲得結(jié)論,則難以加深學(xué)生的印象。教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)試誤情境,引發(fā)學(xué)生對(duì)問題的思考。
基于教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn),教師采取如下方式來創(chuàng)設(shè)試誤情境。
教師提出問題:在之前的學(xué)習(xí)中,我們學(xué)習(xí)過整數(shù)加減乘除的知識(shí),大家回憶一下,如果是兩個(gè)整數(shù)相乘,那么可以怎樣計(jì)算?乘法是什么意思?借助問題能夠有效激活學(xué)生的已有知識(shí),促使學(xué)生回顧自己的學(xué)習(xí)經(jīng)歷。
經(jīng)過充分的交流、討論,學(xué)生獲得了以下認(rèn)識(shí):乘法實(shí)際上就是計(jì)算一個(gè)數(shù)的倍數(shù),4×5就是計(jì)算4的5倍是多少,3×0.7就是計(jì)算3的0.7倍是多少;乘法實(shí)際上也是加法,將相應(yīng)數(shù)量的某個(gè)數(shù)加在一起得到的結(jié)果就是乘法要計(jì)算的結(jié)果。
經(jīng)過以上分析,學(xué)生對(duì)乘法的本質(zhì)有了深刻的認(rèn)識(shí)。教師繼續(xù)提問:有一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)是a3,那么這個(gè)正方體的體積是多少?
針對(duì)上述問題,教師給予學(xué)生充足的時(shí)間來分析。學(xué)生利用正方體體積計(jì)算公式,給出一個(gè)計(jì)算式子:(a3)3,同時(shí)也遇到一個(gè)問題:這個(gè)式子應(yīng)該如何計(jì)算?
在引起學(xué)生質(zhì)疑之后,教師應(yīng)給予學(xué)生時(shí)間思考:剛剛我們回憶了乘法的概念,大家認(rèn)為應(yīng)該如何來計(jì)算這個(gè)式子?
學(xué)生思考后,教師應(yīng)對(duì)學(xué)生的觀點(diǎn)進(jìn)行歸納總結(jié),發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在如下認(rèn)識(shí):有的學(xué)生認(rèn)為這個(gè)式子的計(jì)算結(jié)果是a9,需要底數(shù)不變,指數(shù)和對(duì)應(yīng)的數(shù)字相乘;有的學(xué)生認(rèn)為最終的結(jié)果是3a27;認(rèn)為需要底數(shù)相加,指數(shù)相乘,也就是(a+a+a)3×3×3,有的學(xué)生得到的結(jié)論是a6,認(rèn)為在這個(gè)式子的計(jì)算中,應(yīng)該底數(shù)不變,指數(shù)3和對(duì)應(yīng)的數(shù)字相加,也就是3+3=6,因此結(jié)果是a6……
在學(xué)生說出自己的各種想法之后,教師給學(xué)生展示正確的結(jié)果:a9,并使學(xué)生對(duì)中間的推導(dǎo)過程產(chǎn)生好奇心,為學(xué)生開展深入探究奠定好基礎(chǔ)。
三、借助試誤手段,傳授基礎(chǔ)知識(shí)
在學(xué)生產(chǎn)生了錯(cuò)誤之后,教師應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生使用多種方式來探索自己錯(cuò)誤的原因,讓學(xué)生正確認(rèn)識(shí)自己的問題。教師要為學(xué)生提供試誤手段上的支持,幫助學(xué)生展開深入的探索。在“冪的乘方”教學(xué)中,學(xué)生由于認(rèn)知有限,在運(yùn)算方式上會(huì)出現(xiàn)較多錯(cuò)誤的理解,教師應(yīng)將危機(jī)轉(zhuǎn)化為教育契機(jī),引導(dǎo)學(xué)生展開深入探索?;趯?duì)學(xué)情的了解,教師采取了如下手段引導(dǎo)學(xué)生去試誤。
針對(duì)學(xué)生提出的各種(a3)3結(jié)論,教師提出問題:大家給出了各種可能的運(yùn)算結(jié)果,那么如何來驗(yàn)證自己的想法呢?教師通過提問引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合自身的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),針對(duì)此問題,可以用具體的數(shù)字來代替式子中的字母a,看看自己的猜想和真實(shí)的結(jié)果是否一致。
在學(xué)生產(chǎn)生了正確的驗(yàn)證思路之后,教師應(yīng)給予學(xué)生足夠的時(shí)間來進(jìn)行思考、驗(yàn)證,讓他們?nèi)グl(fā)現(xiàn)自己的猜想為何會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。有的學(xué)生認(rèn)為這個(gè)式子的最終結(jié)果是a9,從這一猜想出發(fā),學(xué)生使用計(jì)算器將數(shù)字2代入,發(fā)現(xiàn)自己的猜想是正確的。有的學(xué)生認(rèn)為正確的結(jié)果是a6,同樣通過代入數(shù)字的方式,證明了這一猜想是錯(cuò)誤的,卻不能理解為什么這個(gè)結(jié)果是錯(cuò)誤的。
通過代入數(shù)字的方式,學(xué)生認(rèn)識(shí)到正確的結(jié)果是a9,同時(shí)引出新的問題:在計(jì)算(a3)3這個(gè)式子時(shí),是不是要保持底數(shù)不變,指數(shù)相乘?為了讓學(xué)生正確理解其中的原理,教師將學(xué)生分成幾個(gè)小組,讓學(xué)生試著對(duì)這個(gè)式子進(jìn)行變形,嘗試用變形的方式鍛煉學(xué)生的計(jì)算思維。
通過觀察(a3)3這個(gè)式子,學(xué)生可以結(jié)合過去的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),將這個(gè)式子轉(zhuǎn)化為a3×a3×a3,而在之前的學(xué)習(xí)中,學(xué)生已經(jīng)掌握了同底數(shù)冪的乘法,因此可以對(duì)這個(gè)式子進(jìn)行進(jìn)一步的轉(zhuǎn)化。首先,計(jì)算出a3×a3,可得結(jié)果是a (3+3),因此這個(gè)式子就可以轉(zhuǎn)化為a6×a3,繼續(xù)運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法知識(shí),則可以得到最終的結(jié)果是a9,從而讓學(xué)生在一步步的推理中得到這個(gè)式子的正確結(jié)果。
四、開展試誤探究,全面構(gòu)建內(nèi)容
在“冪的乘方”教學(xué)中,經(jīng)過上述探究,學(xué)生可以認(rèn)識(shí)到如何使用問題拆解的方式來解決問題,但是還沒有建立起關(guān)于“冪的乘方”的完整認(rèn)識(shí)。對(duì)此,教師可以采取試誤探究的方式,引導(dǎo)學(xué)生全面構(gòu)建內(nèi)容,加深學(xué)生的印象。
教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)探索經(jīng)歷,讓學(xué)生說說應(yīng)當(dāng)如何計(jì)算“冪的乘方”。經(jīng)過前面的分析,學(xué)生認(rèn)為(a3)3=a9,因此可以得到(an)m=amn,也就是在“冪的乘方”運(yùn)算過程中,底數(shù)保持不變,指數(shù)相乘。
對(duì)于學(xué)生總結(jié)的結(jié)論,教師繼續(xù)提出問題:大家推導(dǎo)出的這一法則是否適用于所有的情況?教師給學(xué)生一定的時(shí)間,讓學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行深入的思考。部分學(xué)生認(rèn)為這一法則適合所有的情況,有的學(xué)生則表示了質(zhì)疑。如此,引起了學(xué)生新一輪的探索,促使學(xué)生展開試錯(cuò)、糾錯(cuò)。
教師展示式子:(-xy3z2)3。在了解了式子之后,學(xué)生嘗試結(jié)合自己所學(xué)的知識(shí),采取適合的方式來解決問題。有的學(xué)生采取了驗(yàn)證“冪的乘方”過程中所使用的方法,將這個(gè)式子寫成了(-xy3z2)×(-xy3z2)×(-xy3z2),接著再使用分布的方式解決問題,逐步得到最終的結(jié)論。有的學(xué)生嘗試直接按照推導(dǎo)出的規(guī)則來解決問題,也就是按照(an)m=amn的思路,將這個(gè)式子寫成(-1)3×(x)3×(y3)3×(z2)3,快速解決了問題。
教師選擇部分學(xué)生上講臺(tái)介紹自己的解題過程及結(jié)果,要求講臺(tái)下的學(xué)生認(rèn)真傾聽,如發(fā)現(xiàn)講臺(tái)上的學(xué)生在運(yùn)算中存在錯(cuò)誤,要提出改進(jìn)的方式。
最后,教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)探究的過程,讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到(an)m=amn這一結(jié)論適用于所有“冪的乘方”,促使學(xué)生建立全面的認(rèn)識(shí),學(xué)會(huì)按照從特殊到一般的思路來探索數(shù)學(xué)問題。
五、設(shè)計(jì)試誤作業(yè),優(yōu)化學(xué)生的課后體驗(yàn)
作業(yè)是課堂教學(xué)的延伸,能夠幫助學(xué)生檢驗(yàn)學(xué)習(xí)成果。教師通過對(duì)學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的了解,給學(xué)生布置試誤作業(yè),促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己在認(rèn)知上的不足,進(jìn)而強(qiáng)化學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。所以,在“冪的乘方”教學(xué)中,學(xué)生在解題時(shí)容易出現(xiàn)以下問題:一是難以從整體角度使用“冪的乘方”運(yùn)算規(guī)則;二是學(xué)生在運(yùn)算過程中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)態(tài)度不端正、思維不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)葐栴}。針對(duì)學(xué)生的這些問題,教師提供了以下課后訓(xùn)練。
1.計(jì)算式子:(p-q)3×[(q-p)3]2
借助課后作業(yè),能讓學(xué)生在解題的過程中形成良好的整體意識(shí),學(xué)會(huì)從整體上分析“冪的乘方”的運(yùn)算過程。學(xué)生通過仔細(xì)觀察式子可以發(fā)現(xiàn),兩個(gè)底數(shù)是互為相反數(shù)的,因此通過改變兩個(gè)底數(shù)中的一個(gè)底數(shù)的符號(hào),就可以將這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的運(yùn)算,進(jìn)而使用更簡(jiǎn)便的方式來解題。
2.假設(shè)2n+3m-7=0,那么是否能求出5n×6m的值?
初中生對(duì)知識(shí)的遷移能力較弱,無法較好地將零散的信息整合在一起。在這個(gè)問題中,則需要學(xué)生將兩個(gè)看似不關(guān)聯(lián)的信息整合在一起,促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己在認(rèn)知框架搭建上的不足,探索使用“冪的乘方”知識(shí)靈活解題的有效方法。
在學(xué)生完成作業(yè)之后,教師可以組織學(xué)生開展成果交流展示活動(dòng),重點(diǎn)將學(xué)生產(chǎn)生的錯(cuò)誤整合在一起,引導(dǎo)學(xué)生討論產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因、糾正錯(cuò)誤的方法,促使學(xué)生在糾錯(cuò)中掌握解題的方法,提升學(xué)生解題的水平。在這個(gè)過程中,教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑,鼓勵(lì)學(xué)生說出真實(shí)想法,利用開放的討論氛圍暴露出學(xué)生在認(rèn)知上的問題。
六、培養(yǎng)學(xué)生的反思意識(shí),增強(qiáng)學(xué)生的試誤意識(shí)
教師應(yīng)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生反思意識(shí)的培養(yǎng),有助于調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,讓學(xué)生感受到不斷解決自己錯(cuò)誤的樂趣,增強(qiáng)試誤意識(shí)。
在“冪的乘方”歸納總結(jié)環(huán)節(jié),教師可以組織學(xué)生展開交流討論,并思考如下問題。
1.在這次教學(xué)中,你學(xué)到了哪些知識(shí)?
2.在剛開始探索“冪的乘方”知識(shí)時(shí),你認(rèn)為應(yīng)該如何解決?你的想法是正確的嗎?為什么會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤?正確解題的方法是什么?
3.在掌握了“冪的乘方”基本知識(shí)之后,在運(yùn)用知識(shí)解題時(shí),你是否出現(xiàn)了錯(cuò)誤?為什么還會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤?現(xiàn)在你又有哪些新的認(rèn)識(shí)?
認(rèn)知是一個(gè)不斷完善的過程,學(xué)生應(yīng)對(duì)自己在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的問題進(jìn)行深入的分析,進(jìn)而形成良好的糾錯(cuò)意識(shí)。同時(shí),教師也應(yīng)注重從學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)表現(xiàn)等角度來評(píng)價(jià)學(xué)生,要培養(yǎng)學(xué)生的反思意識(shí),增強(qiáng)學(xué)生的糾錯(cuò)意識(shí)。
在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中采取“試誤論”的教育思想,有助于增強(qiáng)學(xué)生在教學(xué)中的自主性,強(qiáng)化學(xué)生的學(xué)習(xí)能力,實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的有效培養(yǎng)。因此教師應(yīng)加強(qiáng)對(duì)學(xué)情的分析,了解學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,進(jìn)而基于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要選擇適合的教學(xué)手段,引導(dǎo)學(xué)生暴露出自己的錯(cuò)誤并探索解題的方法,促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。
(作者單位:福建省泉州市安溪恒興中學(xué))
編輯:趙文靜