【評析】此題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用. 需要構(gòu)造函數(shù),對學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力、邏輯推理能力和綜合應(yīng)用知識解決實際問題的能力有較高要求,屬于應(yīng)用性、創(chuàng)新性問題. 解決該問題時,學(xué)生需要從陌生、具體的問題情境中,抽象出隱含的函數(shù)構(gòu)造的信息,并把已有導(dǎo)數(shù)知識遷移、拓展到新情境中,進(jìn)行探究性思考. 此題考查的學(xué)科知識內(nèi)容和能力要求,需要學(xué)生具有較強(qiáng)的歸納、演繹、抽象、思維發(fā)散和創(chuàng)新能力. 因此,可以歸屬于SOLO結(jié)構(gòu)水平層次中的較高抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)水平,屬于高階思維等級.
3. 學(xué)生答題SOLO結(jié)構(gòu)水平層次分析范例
例5 (第21題)已知函數(shù)[fx=ex-ax]和[gx=ax-][lnx]有相同的最小值.
(1)求[a;]
(2)證明:存在直線[y=b,] 其與兩條曲線[y=fx]和[y=gx]共有三個不同的交點,并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.
【評析】此題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)(含參數(shù))的性質(zhì),主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)內(nèi)容知識:單調(diào)性、最值及零點問題等,涉及函數(shù)零點存在定理等知識;考查分類討論和轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)及創(chuàng)新意識,屬于應(yīng)用性、創(chuàng)新性問題中的難題. 試題主要以復(fù)雜、探究性問題情境為載體,測量與評價學(xué)生主動思考、探究的意識,考查學(xué)生的“四能”和創(chuàng)新思維能力. 此題考查的學(xué)科知識內(nèi)容和能力要求呈現(xiàn)抽象、遷移、歸納與演繹等思維操作. 因此,可以劃分為SOLO結(jié)構(gòu)水平層次中的抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)水平,屬于高階思維等級.
對于該問題,學(xué)生一般有以下6類典型答題情況.
情況1:完全不會,無法作答;或者求[fx=ex-][a,gx=a-1x]時,全部或部分出現(xiàn)錯誤.
此類學(xué)生存在的問題是知識儲備不足,不會利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、最值等. 按照SOLO分類理論,這是一種前結(jié)構(gòu)水平.
情況2:(1)求出[fx=ex-a,gx=a-1x,] 從而求得[fx]在[-∞,ln a]單調(diào)遞減,在[ln a,+∞]單調(diào)遞增;[gx]在[0, 1a]單調(diào)遞減,在[1a,+∞]單調(diào)遞增. 故[fxmin=fln a=a-aln a,gxmin=g1a=1-ln1a.]依題設(shè)有[a-alna=1-ln1a.]
此類學(xué)生關(guān)注問題中的有效信息“最小值相等”,并能夠回答問題,但快速收斂回答,忽視了解答過程中出現(xiàn)的“思維不嚴(yán)密”的矛盾,即需要分類討論、補(bǔ)充完善“當(dāng)[a>0]時”和“當(dāng)[a≤0]時(不合題意)”的情形,體現(xiàn)了學(xué)生對分類討論思想掌握不牢. 按照SOLO分類理論,這是一種單點結(jié)構(gòu)水平.
情況3:據(jù)上正解,觀察[a-alna=1-ln1a,] 可得[a=1.] 學(xué)生快速收斂回答,但不知道如何判斷并證明該方程解的唯一性.
此類學(xué)生能夠使用試題中包含的幾個獨立的信息(對參數(shù)分類討論,并觀察方程特征,求其解)解決問題,但對問題的整體結(jié)構(gòu)缺乏整合能力. 按照SOLO分類理論,這是一種多點結(jié)構(gòu)水平.
情況4:據(jù)上正解,依題設(shè)有[a-alna=1-ln1a,] 即[lna-a-1a+1=0.] 令[pa=lna-a-1a+1,] 利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性,從而判斷其零點的唯一性:[p′a=1a-][2a+12=a2+1aa+12>0,] 則[pa]在[0,+∞]上單調(diào)遞增. 因為[p1=0,] 所以[a=1.]
此類學(xué)生能夠綜合地、聯(lián)系地使用試題中的信息(注意知識的橫向聯(lián)系,零點問題,構(gòu)造函數(shù)且利用導(dǎo)數(shù)判斷)解決較復(fù)雜的問題. 按照SOLO分類理論,這是一種關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平.
情況5:據(jù)上正解,由(1)知,[fxmin=gxmin=1,] 得到函數(shù)圖象,如圖1所示.
由圖1易知:
① 當(dāng)[b<1]時,此時[fxmin=gxmin=1>b.] 顯然,[y=b]與兩條曲線[y=fx]和[y=gx]共有0個交點,不符合題意;
② 當(dāng)[b=1]時,此時[fxmin=gxmin=1=b.] 故[y=b]與兩條曲線[y=fx]和[y=gx]共有2個不同的交點,交點的橫坐標(biāo)分別為0和1;
③ 當(dāng)[b>1]時,[y=b]經(jīng)過點[Mx0,y0]才符合題意,[b=y0=fx0=gx0=fx1=gx4.] 只需證[x1+x4=2x0,] 即從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列. 其中,[b=ex1-x1=ex0-x0=x0-lnx0=x4-lnx4.]
此類學(xué)生有求解阻力或瑕疵,對于如下問題均不會求,或者部分不會求解:(1)證明[y=b]與曲線[y=fx]有2個交點,即證明[Fx=ex-x-b]有2個零點;(2)證明[y=b]與曲線[y=gx]有2個交點,即證明[Gx=x-lnx-b]有2個零點;(3)證明存在[b,] 使得[x2=][x3=x0,] 即證[φx=ex-2x+lnx]在[0,1]上有零點;(4)證明[x1+x4=2x0,] 即從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列(構(gòu)造“同構(gòu)”特征,據(jù)此構(gòu)造新函數(shù),并證明[x1=lnx0,x4=ex0;] 結(jié)合[ex0-x0=x0-lnx0]等量代換即可獲證). 進(jìn)階到此的學(xué)生,已屬于介于關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平與抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)水平之間的過渡性回答思維水平層次.
情況6:據(jù)上正解,能順利解決上述四個問題. 此類學(xué)生能夠通過整合試題中的信息,對知識進(jìn)行遷移運用,并能抽象、歸納出一般化的問題解決規(guī)律及原理,并且能夠擴(kuò)展問題本身的意義(如建立“同構(gòu)”關(guān)系等),呈現(xiàn)出一定的創(chuàng)新意識. 按照SOLO分類理論,這是一種抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)水平.
上述回答,質(zhì)量依次更優(yōu),涉及的知識點依次更多,思維層次和結(jié)構(gòu)依次更復(fù)雜,學(xué)生學(xué)業(yè)水平依次更高.
4. 試題SOLO結(jié)構(gòu)水平層次分布統(tǒng)計及分析
依據(jù)表1,對2022年全國新高考Ⅰ卷,從SOLO結(jié)構(gòu)水平層次、題號、分值及占比等維度進(jìn)行統(tǒng)計、分析,如表2所示.
為了更加直觀地分析2022年全國新高考Ⅰ卷的能力結(jié)構(gòu),將表2中的SOLO結(jié)構(gòu)水平層次占比數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為圖2.
根據(jù)圖2可以看出,從基礎(chǔ)的單點結(jié)構(gòu)水平層次到相對高階思維水平的抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)水平層次,2022年全國新高考Ⅰ卷的SOLO結(jié)構(gòu)水平層次均有所涵蓋,且分布梯度合理:① 以關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平(R)作為主要考查的能力結(jié)構(gòu)水平,試題分值占全卷總分值的42.00%,凸顯了高考試題的綜合性,強(qiáng)調(diào)知識的結(jié)構(gòu)化和聯(lián)系性;② 單點結(jié)構(gòu)水平(U)和多點結(jié)構(gòu)水平(M)層次試題,分值合計占全卷總分值的43.33%,凸顯了高考試題深化基礎(chǔ)性考查,強(qiáng)調(diào)關(guān)注學(xué)科主干知識、學(xué)生必備知識和“雙基”;③ 抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)水平(Ea)試題,分值占全卷總分值的14.67%,體現(xiàn)了高考試題注重數(shù)學(xué)的本質(zhì)與創(chuàng)造性思維,深入考查了學(xué)生的關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng),強(qiáng)調(diào)問題解決中的知識遷移應(yīng)用能力和思維品質(zhì),凸顯試題的選拔功能.
綜上可知,2022年全國新高考Ⅰ卷關(guān)注新課標(biāo)、新教材、新高考要求的一致性,落實高考“一核”“四層”“四翼”的考查要求,注重教考銜接及高考對教學(xué)改革的導(dǎo)向和推動作用.
5. 試題知識領(lǐng)域SOLO結(jié)構(gòu)水平層次分布統(tǒng)計及分析
依據(jù)表1,對2022年全國新高考Ⅰ卷,按照《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》)課程設(shè)置的四大主要內(nèi)容領(lǐng)域進(jìn)行分類統(tǒng)計,如表3和表4所示.
根據(jù)表3,可以看出:宏觀上,2022年全國新高考Ⅰ卷重點考查函數(shù)和幾何代數(shù)主干領(lǐng)域知識,且其主干知識的SOLO結(jié)構(gòu)水平層次以關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平和抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)水平層次為主,反映出試題突出對學(xué)生核心知識及其綜合應(yīng)用、解決問題的能力的考查.
根據(jù)表4,可以看出:微觀上,數(shù)列、一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、立體幾何初步、平面解析幾何著眼于學(xué)生的思維能力進(jìn)行考查,其他知識領(lǐng)域相對著眼于基礎(chǔ)性考查. 在一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用重點知識板塊,著眼于創(chuàng)新思維的考查.
三、SOLO分類理論視閾下的學(xué)業(yè)述評
基于高考試題SOLO結(jié)構(gòu)水平層次分析及其教學(xué)導(dǎo)向,教師提煉并開展基于SOLO分類理論視閾下的學(xué)業(yè)述評. 任務(wù)指向四個方面,以促進(jìn)學(xué)生進(jìn)階學(xué)習(xí).(1)確定SOLO層次. 首先,從知識儲備、思維操作、結(jié)果一致性和回答結(jié)構(gòu)等維度,將學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果劃分為5個SOLO結(jié)構(gòu)水平層次;然后,依據(jù)學(xué)生個體學(xué)習(xí)結(jié)果,確定學(xué)生學(xué)業(yè)能力所處的層次水平.(2)解析學(xué)生問題. 根據(jù)學(xué)生所處水平層次,從“四基”“四能”等方面對無法進(jìn)階高一級SOLO結(jié)構(gòu)水平層次的學(xué)生進(jìn)行歸因分析.(3)提出改進(jìn)建議. 依據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)中的具體問題,給予明確具體、可操作的學(xué)習(xí)建議,同時在學(xué)生落實建議的過程中對其進(jìn)行糾偏和跟蹤輔導(dǎo),促使學(xué)生能夠有目的、有計劃地逐步解決學(xué)習(xí)障礙并進(jìn)階學(xué)習(xí).(4)明確進(jìn)階路徑. 指導(dǎo)學(xué)生從當(dāng)前自身所處的SOLO結(jié)構(gòu)水平層次出發(fā),循序漸進(jìn),明確措施和方法,進(jìn)階更高層次SOLO結(jié)構(gòu)水平,如表5所示(以例5為例進(jìn)行說明).
四、啟示
基于上述過程,可知SOLO分類理論視閾下的高考試卷分析、學(xué)業(yè)述評分析,以及“教—學(xué)—評”一致性分析,是一個有機(jī)的整體,可以相互促進(jìn). 由此,筆者提出以下幾點思考.
1. 加強(qiáng)、豐富學(xué)業(yè)述評的內(nèi)涵
對照《標(biāo)準(zhǔn)》和新高考要求,統(tǒng)籌規(guī)劃教學(xué)的深度與廣度,可以強(qiáng)化學(xué)業(yè)述評的內(nèi)涵. 由前可知,2022年全國新高考Ⅰ卷對學(xué)生能力水平層次的考查,有注重關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平(R)和抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)水平(Ea)、突出單點結(jié)構(gòu)水平(U)的傾向. 因此,教學(xué)、命題需要強(qiáng)化內(nèi)容的深度與廣度,學(xué)業(yè)述評需要強(qiáng)化、合理控制關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平(R)、抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)水平(Ea)和突出單點結(jié)構(gòu)水平(U)層次試題的分布比例. 既要關(guān)注不同層次的學(xué)生,又要指導(dǎo)和促進(jìn)教、學(xué)與考的一致性,發(fā)揮高考的評價導(dǎo)向作用.
2. 凸顯學(xué)業(yè)述評的內(nèi)核
著眼關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)培養(yǎng),教學(xué)注重數(shù)學(xué)本質(zhì)與創(chuàng)造性思維,可凸顯學(xué)業(yè)述評的內(nèi)核. 質(zhì)性評價是學(xué)業(yè)述評的內(nèi)核,學(xué)業(yè)述評要從“學(xué)了多少”轉(zhuǎn)向側(cè)重“學(xué)得多好”. 教學(xué)和命題,著眼于發(fā)展學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)和學(xué)科能力,注重知識結(jié)構(gòu)化和橫縱聯(lián)系的問題解決. 教學(xué)述評、學(xué)業(yè)述評就可以縱向深入,更好地體現(xiàn)質(zhì)性評價的內(nèi)涵和巨大價值. 反之,學(xué)業(yè)述評可以更好服務(wù)于教學(xué)及試題的命制策略:合理融入基于問題解決的內(nèi)容、合理創(chuàng)設(shè)問題情境,重視引導(dǎo)學(xué)生運用所學(xué)知識進(jìn)行理解與辨析、分析與推測、歸納與論證,綜合解決問題等,可以進(jìn)一步明晰學(xué)習(xí)的進(jìn)階方向.
3. 嵌入述評任務(wù),促進(jìn)學(xué)習(xí)深度發(fā)生
提高SOLO理論素養(yǎng)和試題命制水平,落實嵌入式教學(xué)述評任務(wù),可以促進(jìn)學(xué)習(xí)深度發(fā)生. 提高SOLO理論素養(yǎng),可以精準(zhǔn)、科學(xué)地把握命題素材的評價功能和目的,提升命題和分析的能力. 根據(jù)SOLO理論可知:在單點結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上,多點結(jié)構(gòu)層次試題可以考查學(xué)生概括與總結(jié)多個孤立知識點的能力,其主要作用是增加知識點的覆蓋面,考查主干知識;關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次試題主要考查學(xué)生解答過程前階段所得結(jié)果與后續(xù)各階段知識、推理之間的聯(lián)系,考查學(xué)生利用特定的情境素材解決數(shù)學(xué)問題的能力,可以凸顯新課程的理念,體現(xiàn)新高考試卷的能力和素養(yǎng)立意,有利于選拔基礎(chǔ)扎實、綜合能力強(qiáng)的拔尖人才;抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)層次的試題,則會提高試卷難度,提升試卷的區(qū)分度,但此類試題數(shù)量較多時會導(dǎo)致學(xué)生答題時間緊張,且易降低學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性. 因此,試卷在滿足一定區(qū)分度的基礎(chǔ)上,可以適當(dāng)增加關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次試題,通過創(chuàng)設(shè)多樣的問題情境,考查學(xué)生抽象擴(kuò)展結(jié)構(gòu)思維能力和創(chuàng)新意識. 同時,在教學(xué)中切實落實SOLO分類理論視閾下的學(xué)業(yè)述評“四個任務(wù)指向”,可以有效促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生.
五、結(jié)束語
SOLO分類理論視閾下的學(xué)業(yè)述評側(cè)重于質(zhì)性評價(標(biāo)準(zhǔn)參照評價),強(qiáng)調(diào)個性化的因材施評、一人一案,即關(guān)注學(xué)生是否完成了既定目標(biāo)任務(wù)(量與質(zhì)),關(guān)注學(xué)生當(dāng)前存在的問題,同時關(guān)注改進(jìn)措施和進(jìn)階路徑. 在平時的教學(xué)過程中,教師秉承“三位一體”(情境創(chuàng)設(shè)、活動組織、問題解決)的整體設(shè)計原則,開展嵌入式SOLO分類理論視閾下的學(xué)業(yè)述評活動,可以充分發(fā)揮教育評價的檢驗、診斷、反饋和激勵作用,有效促進(jìn)“教—學(xué)—評”的一致性.
參考文獻(xiàn):
[1]劉綠芹. SOLO分類理論視閾下的學(xué)業(yè)述評路徑探索[J]. 基礎(chǔ)教育課程(上),2022(4):63-71.
[2]教育部考試中心. 中國高考評價體系[M]. 北京:人民教育出版社,2019.
[3]教育部考試中心. 中國高考評價體系說明[M]. 北京:人民教育出版社,2019.
[4]彼格斯,科利斯. 學(xué)習(xí)質(zhì)量評價:SOLO分類理論可觀察的學(xué)習(xí)成果結(jié)構(gòu)[M]. 高凌飚,張洪巖,譯. 北京:人民教育出版社,2010.
[5]劉斌,王濤耕,石一堅,等. 基于SOLO分類評價理論的高考地理試題的解構(gòu)與分析研究:以2015—2019年全國新課標(biāo)地理試卷Ⅱ卷分析為例[J]. 地理教學(xué),2019(19):53-57.
[6]王亞婷,周瑩. 新課標(biāo)背景下高考數(shù)學(xué)試題SOLO思維層次研究:以 2019年高考數(shù)學(xué)全國卷為例[J]. 教育測量與評價,2020(4):17-24.
作者簡介:吳光潮(1979— ),男,中學(xué)高級教師,主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.