金云濤

摘 要：在平面幾何的開始階段，學(xué)生存在著入門難的問題，主要原因有概念模糊、視角單一和語言薄弱.本文以實踐的角度，將“說”作為幾何直觀的方式，通過以說識圖、以說明理、以說鍛寫、以說促解，幫助學(xué)生打破困局，為幾何的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ).

關(guān)鍵詞：平面幾何；核心素養(yǎng)；直觀

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出了以“三會”為內(nèi)涵的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，尤其提出了增強(qiáng)幾何直觀的理念，這對于把握初中平面幾何教學(xué)提供了一個重要立足點.事實上，平面幾何教學(xué)作為初中數(shù)學(xué)不可回避的話題，其發(fā)展過程一直都是數(shù)學(xué)教學(xué)的焦點，然而從學(xué)生角度而言，平面幾何入門難的聲音也從未停止.

實踐表明，學(xué)生對平面幾何方面接受起來比較困難主要在于以下幾點：一是概念模糊，學(xué)生簡化了對概念的識記，導(dǎo)致其對概念的本質(zhì)不理解，對概念仍然停留在模糊的認(rèn)知階段；二是視角單一，學(xué)生習(xí)慣于采用靜態(tài)的、具象的視角觀察，從而導(dǎo)致動態(tài)的、抽象的幾何視角難以形成，使得在正確建構(gòu)圖形模型或是分析圖形特征時顯得束手無策；三是語言薄弱，幾何語言、文字語言、圖形語言和符號語言的傳遞和轉(zhuǎn)化能力不足加大了學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的實踐難度，因此往往會出現(xiàn)面對圖形無話可說，面對求證無從論證的情況.

看圖說話，“說”作為一種更加深入的直觀的方式，串聯(lián)著圖形、思維、表達(dá)和再思考，旨在拉近學(xué)生與圖形的距離，完成幾何間的理解與表達(dá)的雙向奔赴，這為學(xué)生突圍概念模糊、視角單一和語言薄弱的幾何困局提供了靈感.

1?以說識圖，塑造動態(tài)概念的直觀性

概念是幾何的細(xì)胞，厘清基本概念是解剖幾何圖形的基礎(chǔ)，“說”是培養(yǎng)學(xué)生明晰幾何基本概念的有效途徑.有計劃地訓(xùn)練學(xué)生“說”可以從以下三個方面入手：說概念，即要先找準(zhǔn)基本概念及其表示；說動詞，在借助圖形表達(dá)數(shù)學(xué)對象時，在形的基礎(chǔ)上發(fā)展動態(tài)視角，抓住關(guān)鍵性動詞；說關(guān)聯(lián)，一切幾何圖形的建構(gòu)都需要基本概念作為支撐，要學(xué)會將不同的基本概念緊密聯(lián)系起來.

以線的學(xué)習(xí)為例，點是幾何圖形最簡單的組成部分，從點到線正是幾何開枝散葉的第一步.

觀察圖1，請談?wù)勀銓υ搱D形的認(rèn)識.

顯然，學(xué)生在判斷時首先要對點和線的概念進(jìn)行區(qū)分，在“說”點和直線的概念時，就會產(chǎn)生如何表示的困惑.以“說”為探索激勵的形式強(qiáng)化概念的直觀性教學(xué)，符號語言慢慢在學(xué)生說概念的過程中生長.

這是由點與線構(gòu)成的圖形，這些基本要素靜態(tài)地呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，教師需要以引導(dǎo)者的身份帶領(lǐng)學(xué)生用動詞說出要素概念，鍛煉學(xué)生用動態(tài)的眼光分析圖形的形成.例如：該圖形可以首先由一條直線l展開，在直線l上取一點O，則點O將直線l分成了兩個部分，分別是兩條射線，在點O的左右兩側(cè)各取點P、Q，就能表示出射線OP和射線OQ，其中O、P、Q三點之間又形成了三條線段，分別是線段OP，線段OQ和線段PQ.從一條直線開始，說出完整的圖形的形成過程，一方面把圖形說活了，另一方面是對于線段、射線和直線三者聯(lián)系的深入理解.誠然，一個靜態(tài)的圖形的形成會有多種方式，學(xué)生在以說識圖的過程中，首先要判斷好圖形的基本要素，然后正確選擇一個起始要素，恰當(dāng)使用關(guān)鍵性動詞串聯(lián)起整個過程，在平時的訓(xùn)練中，教師尤其要重視幾何常用語句的訓(xùn)練，如“延長”“在? ? ? ? ? ? ? ? ? ?取點? ? ? ? ? ? ? ? ? ?”“連接”“過點? ? ? ? ? ? ? ? ? ?作? ? ? ? ? ? ? ? ? ?”等，讓學(xué)生敢說、能說、會說和勤說.

在動態(tài)的視角中，點和線作為構(gòu)成圖形的基本要素會展現(xiàn)其在該圖形中的特征以及變化的可能，學(xué)生在說形成過程時，教師可以適當(dāng)進(jìn)行追問：

師：將“延長”換個動詞試試？

考慮圖形可能的變化，如使用動詞“旋轉(zhuǎn)”，將射線OQ繞著點O旋轉(zhuǎn)到OQ₁的位置，就構(gòu)成了∠QOQ₁，這也是關(guān)于角的動態(tài)定義，即角可以看成是一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形（如圖2）.

在射線OQ旋轉(zhuǎn)的過程中，角的大小也會發(fā)生著變化.變化一個動詞會使原有圖形轉(zhuǎn)化為新的圖形，將兩類概念以說動詞的形式聯(lián)系起來記憶，使學(xué)生做到識有所依，在幾何動態(tài)視角中感受從一般到特殊的過程.

2?以說明理，培養(yǎng)命題推理的邏輯性

圖形是幾何的基礎(chǔ)，命題則是幾何的框架，學(xué)生在建立說圖慣性的基礎(chǔ)上，要培養(yǎng)直觀描述的本能.以說明理，教師需要鍛煉學(xué)生說命題的能力，以說條件鏈接關(guān)鍵圖形結(jié)構(gòu)，以說結(jié)論架構(gòu)目標(biāo)命題邏輯，以領(lǐng)說和示范打通語言屏障，從二段論到多段論，達(dá)到命題間的不同組合.

在“探索平行”中，學(xué)生需從諸多條件中找到適當(dāng)條件進(jìn)行圖形的簡化.在這過程中，教師可以通過示范或給出一定條件幫助學(xué)生找到適用條件，以一組同位角為例（圖3）.

受圖形特征影響，“說”是促進(jìn)學(xué)生直觀分析和解釋能力發(fā)展的高效措施，通過改變條件或結(jié)論，可以達(dá)到“一圖多說、各理互明”的效果，幫助學(xué)生從二段論發(fā)展到多段論.

觀察圖4，已知四邊形ABCD

師：（1） 如果? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，那么AD∥BC；

（2） 如果? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，那么AB∥CD；

以填空式的發(fā)問，在說理的過程中，有針對性地幫助學(xué)生建立命題的完整性和適用性格局.學(xué)生可以選擇合適的角度分析平行，需要注意的是，條件和結(jié)論的一一對應(yīng)，不可混雜在一起，教師最后還應(yīng)強(qiáng)調(diào)符號語言的完整表述.

師：（3） 如果AD∥BC，那么? ? ? ? ? ? ? ? ? ?；

（4） 如果AB∥CD，那么? ? ? ? ? ? ? ? ? ?；

（5） 思考在（3）（4）的條件下，∠A和∠C相等嗎？

有意識地引導(dǎo)學(xué)生選擇和組合條件，實現(xiàn)從二段論到多段論的邏輯飛躍.逐漸增加圖形的復(fù)雜度，這對于學(xué)生進(jìn)行條件和結(jié)論的匹配要求更細(xì)致，不同的組合方向以及方式是學(xué)生體悟以說明理的靈感所在.

3?以說鍛寫，提高語言表達(dá)的準(zhǔn)確性

識圖明理驅(qū)動著幾何語言的溝通，促進(jìn)著幾何思維的發(fā)展，學(xué)生的書寫展示著其幾何能力逐漸走向成熟的過程.幾何題的講解有時面面俱到反而會顯得時間緊迫，這時教師可以要求學(xué)生口述分析過程，用幾何語言表達(dá)應(yīng)該書寫的全過程^［1］，以說鍛寫，用說的方式對書寫查漏補(bǔ)缺.教師應(yīng)當(dāng)要利用好鍛寫素材，做好三項工作：說推理，指導(dǎo)學(xué)生理清正確流暢的推理邏輯；說書寫，強(qiáng)化學(xué)生書寫規(guī)范化；說重點，帶領(lǐng)學(xué)生多回顧，探究思路的核心與多樣性.入門訓(xùn)練時仍是可以借助填空題的形式進(jìn)行逐步疏導(dǎo).

如圖5，點B、E分別在線段AC、DF上，AF分別交BD、CE于點M、N，∠1=∠2，∠A=∠F，求證∠C=∠D.

證明：∵∠1=∠? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（理由），

又∵∠1=∠2，

∴∠? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=∠? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，

∴? ? ? ? ? ? ? ? ? ?∥? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（理由），

∴∠C+∠? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=180°（理由）.

∵∠A=∠F，

∴? ? ? ? ? ? ? ? ? ?∥? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（理由），

∴∠D+∠? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=180°（理由），

∴∠C=∠D（理由）.

以完善填空的形式首先幫助學(xué)生從無到有打開思路，厘清證明的邏輯，起到一個引領(lǐng)和示范的作用.填空的標(biāo)準(zhǔn)化幾何語言能夠指導(dǎo)學(xué)生在完善過程中語言趨于規(guī)范化，使得其有樣可學(xué).

師：還有其他的證法嗎？

一題多證，舉一反三，帶領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的證法.在填空式的模板下，要求學(xué)生有中生變，回顧證法，推敲細(xì)節(jié)，形成自己的推理邏輯.

師：這道題證明的關(guān)鍵是什么？

雖然學(xué)生可以選擇的角度很多，但在“說”的過程中，平行的判定和性質(zhì)是繞不開的.在變中回歸本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生證明的核心意識，在之后的問題中，能夠抓住關(guān)鍵，那么整體的邏輯推理和書寫就會水到渠成.

在以說鍛寫的入門訓(xùn)練中，一個有思考的模板十分關(guān)鍵，而填空恰是最好的載體，學(xué)生能從說中體悟幾何語言中的理與據(jù)，感悟幾何語言書寫的法與度.

4?以說促解，發(fā)展問題解決的整體性

問題解決是學(xué)生識圖明理鍛寫的最終目標(biāo)，以說促解要求學(xué)生說建構(gòu)、說可能、說后續(xù).說建構(gòu)是指在學(xué)生了解問題條件后能夠抓住關(guān)鍵邏輯模塊進(jìn)行模型的推導(dǎo)和建構(gòu)；

說可能是指學(xué)生聯(lián)系相關(guān)條件或結(jié)論，尋找解決問題的突破口，創(chuàng)設(shè)認(rèn)知橋梁是教師的重要任務(wù)；說后續(xù)是指學(xué)生由一道題的解決領(lǐng)悟一類題的方法，主動說變式說延伸.

如圖6，已知AB∥DE，求∠B+∠C+∠D的度數(shù).

4.1?說建構(gòu)

從條件可知，模型建構(gòu)的核心在于兩直線的平行關(guān)系，圍繞平行完成建構(gòu)有多種支線可供選擇.

4.2?說可能

本題的難點在于同旁內(nèi)角的構(gòu)造及角的分割.若沒有點C，那么∠B和∠D是一組同旁內(nèi)角，點C的出現(xiàn)使得角的個數(shù)變?yōu)榱巳齻€，可能考慮對角進(jìn)行分割配對，則輔助線的添加必不可少.

可能一：

如圖7，連接BD，將∠B分為∠1和∠2，∠D分為∠3和∠4，則原本三個角被分割配對成一組同旁內(nèi)角（∠1和∠3）與一組三角形內(nèi)角（∠2、∠4和∠C），故∠B+∠C+∠D就可以轉(zhuǎn)化成∠1+∠3+∠2+∠4+∠C，其和為360°.

可能二：

如圖8，過點C作PC∥AB，點P取在點C左側(cè)，將∠C分為∠1和∠2，因為平行于同一條直線的兩直線互相平行，可得AB∥PC、DE∥PC，則對應(yīng)有兩組同旁內(nèi)角（∠B和∠1、∠D和∠2），故∠B+∠C+∠D就可以轉(zhuǎn)化成∠B+∠1+∠D+∠2，其和為360°.

4.3?說后續(xù)

深挖問題價值，以說延伸和說變式豐富學(xué)生對問題的理解.

后續(xù)1：

學(xué)生較多想到的是縱向的拓展，將點C再細(xì)分為點C₁和C₂，求∠B+∠C₁+∠C₂+∠D的度數(shù)，以此類推，將點C分為C₁、C₂至C_n個點，求B+∠C₁+∠C₂+…+∠C_n+∠D的度數(shù).

后續(xù)2：

也有部分同學(xué)將點C的位置進(jìn)行改變，可以放在線段BD的右側(cè)，也可以放在線段BD 的左側(cè)，探索∠B、∠C和∠D的關(guān)系.

后續(xù)3：

發(fā)展逆向思維，將條件和結(jié)論互換，已知∠B+∠C+∠D=180°，求證AB∥DE.

以說促解的訓(xùn)練中，問題的靈活性影響著學(xué)生說的積極性，教師要創(chuàng)設(shè)認(rèn)知階梯，突出問題重點，分散問題難點.在不同后續(xù)中，學(xué)生可以繼續(xù)探索原有方法的適用性，或是尋找具有普適性的一般方法，完善自身認(rèn)知體系.

把說幾何看成是一場演講，有概念精細(xì)的開篇，有語言嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男顒?，有邏輯靈動的高潮，有回味無窮的后續(xù)，如畫卷鋪開般呈現(xiàn)數(shù)學(xué)的脈絡(luò).直觀不是“教”出來的，而是自己“悟”出來的，學(xué)生以直觀之說，感悟概念之深，思悟語言之精，體悟邏輯之序，打破平面幾何入門難的困局.如此以往，能使學(xué)生對幾何認(rèn)知窺之深、察之遠(yuǎn)，形成以圖形、概念、邏輯和書寫四位一體的幾何思維，從而促進(jìn)學(xué)生推理能力和分析問題、解決問題能力的發(fā)展和提升.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 包永卿.談幾何的入門教學(xué)［J］.知識經(jīng)濟(jì)，2009（14）：135.