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        概念是怎樣開花的
        ——以“一次函數(shù)”為例

        2023-03-23 00:00:21南京師范大學(xué)附屬中學(xué)樹人學(xué)校劉密貴
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2023年2期
        關(guān)鍵詞:一次函數(shù)正比例代數(shù)式

        南京師范大學(xué)附屬中學(xué)樹人學(xué)校 劉密貴

        概念是數(shù)學(xué)邏輯的基礎(chǔ),是學(xué)生認(rèn)知數(shù)學(xué)的起點(diǎn).在初中數(shù)學(xué)的課型中,概念教學(xué)往往難度較大.如何突破這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)呢?

        卜以樓老師指出,數(shù)學(xué)概念教學(xué),要重視概念的生長(zhǎng)過程,生長(zhǎng)過程源于概念產(chǎn)生的事實(shí)背景.所以,教師要選擇適切的問題情境,引導(dǎo)學(xué)生親歷建立數(shù)學(xué)概念的思維之路,領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念形成、生長(zhǎng)之魅力[1].

        受此啟迪,筆者以蘇科版八年級(jí)上冊(cè)“ 一次函數(shù)(第1課時(shí))”為例,進(jìn)行了實(shí)踐和思考.

        1定位與設(shè)計(jì)

        1.1 教學(xué)內(nèi)容

        在初中階段,學(xué)生會(huì)學(xué)習(xí)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù),這三種函數(shù)都是基于代數(shù)式的結(jié)構(gòu)來定義的.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出“教師應(yīng)把握數(shù)與式的整體性”[2],這個(gè)整體性完全可以延伸到函數(shù)的教學(xué)中.

        筆者將本節(jié)內(nèi)容設(shè)置為“舉出不同的函數(shù)實(shí)例,根據(jù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)初步認(rèn)識(shí)不同種類的函數(shù);初步認(rèn)識(shí)一次函數(shù)(正比例函數(shù))”,引導(dǎo)學(xué)生從宏觀的角度鳥瞰初中階段的函數(shù)全貌.

        1.2 主問題串設(shè)計(jì)

        (1)你能發(fā)現(xiàn)身邊的函數(shù)嗎?

        (2)你能找到結(jié)構(gòu)不同的函數(shù)嗎?

        (3)根據(jù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu),將以上函數(shù)分類.

        (4)哪些函數(shù)是一次函數(shù)(正比例函數(shù))?

        2 實(shí)踐與說明

        2.1 身邊的函數(shù)

        問題1我們班共29人,有1位同學(xué)缺勤,實(shí)到28人.這里其實(shí)就蘊(yùn)涵著函數(shù)關(guān)系,你發(fā)現(xiàn)了嗎?

        師生活動(dòng):

        生1:如果缺勤的同學(xué)有x人,實(shí)到y(tǒng)人,那么①y=29-x.

        師:y是x的函數(shù)嗎?為什么?

        生2:是的,因?yàn)閷?duì)x的每個(gè)值,y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng).

        師:很好!另外,該函數(shù)源于實(shí)際,還應(yīng)確定自變量的取值范圍,這里的x可以取哪些值呢?

        生3:x是一個(gè)正整數(shù),并且1≤x≤29.

        說明:該實(shí)例是貼近學(xué)生實(shí)際的一次函數(shù),學(xué)生容易理解和接受.一次函數(shù)是函數(shù)的外延,從實(shí)例出發(fā),感受實(shí)例中函數(shù)的特征是形成概念的必經(jīng)之路.

        問題2我們的身邊有形形色色的函數(shù),你能再舉出一個(gè)函數(shù)的實(shí)例嗎?

        師生活動(dòng):學(xué)生舉出函數(shù)的實(shí)例,并說出表達(dá)式,老師板書并引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考.

        生4:一個(gè)水池原來有水50 m3,如果放水速度是5 m3/h,且放水xh后還有ym3.那么②y=50-5x.

        生5:汽車油箱里有40 L汽油,行駛過程中每小時(shí)耗油2 L,如果行駛xh后油箱里剩余yL油,那么③y=40-2x.

        師:請(qǐng)看①~③式,怎么感覺它們非常像?

        生6:它們都是一個(gè)總量減去x的倍數(shù).

        師:難怪這么像,結(jié)構(gòu)都一樣!那么大家能舉出和它們結(jié)構(gòu)不同的函數(shù)嗎?

        說明:教師沒有給出材料而是讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn),這樣做是為了真實(shí)呈現(xiàn)學(xué)生的理解水平.看到學(xué)生舉例的辦法是換情境,教師指出以上函數(shù)的“同”,引發(fā)學(xué)生對(duì)“不同”的追索.

        2.2 不同的函數(shù)表達(dá)式

        問題3繼續(xù)舉出函數(shù)的實(shí)例,要求函數(shù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)與以上不同.

        師生活動(dòng):學(xué)生舉例,老師板書并引導(dǎo)生思考.

        生7:一顆小樹高60 cm,假設(shè)它每年長(zhǎng)高10 cm,如果x年后小樹高為ycm,那么④y=60+10x.

        師:哦,有變化了!從“減”到“加”了!不過它們的結(jié)構(gòu)仍可以看作是相同的,大家試著從代數(shù)式的類型來看一看.

        生8:29-x,50-25x,40-2x,60+10x都是多項(xiàng)式,并且都是一次二項(xiàng)式.

        師:有沒有函數(shù)的表達(dá)式不是一次二項(xiàng)式呢?

        (課堂陷入了沉默中.)

        師:想不出來不著急,我們一起來看個(gè)例子.(教師畫出兩個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方形.)

        師:第1個(gè)正方形,若y是它的周長(zhǎng),那么……

        生:⑤y=4x.

        師:在第2個(gè)正方形中,若y是它的……

        生:若y是它的面積,那么⑥y=x2.

        看到不同的代數(shù)式了嗎?再想一想,試一試.

        說明:什么是表達(dá)式的結(jié)構(gòu)?學(xué)生剛開始的認(rèn)識(shí)比較模糊,通過教師指明“代數(shù)式的類型”,學(xué)生對(duì)“結(jié)構(gòu)”的認(rèn)識(shí)開始明晰.由于生活經(jīng)驗(yàn)不足,學(xué)生很難想到不同的實(shí)例.教師的舉例讓學(xué)生轉(zhuǎn)變視角,從單薄的生活現(xiàn)實(shí)回歸到熟悉的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)中.

        生9:一個(gè)棱長(zhǎng)為x的正方體,它的體積是y,那么⑦y=x3.

        師:大家很棒!以上例子幾乎已經(jīng)涵蓋了初中階段所有可能出現(xiàn)的函數(shù).

        2.3 不同種類的函數(shù)

        問題4觀察我們剛才寫出的10個(gè)函數(shù),根據(jù)代數(shù)式的類型,你能給它們分類并命名嗎?

        ①y=29-x; ②y=50-25x;

        ③y=40-2x; ④y=60+10x;

        ⑤y=4x; ⑥y=x2;

        師生活動(dòng):教師請(qǐng)學(xué)生在黑板上寫出代數(shù)式的分類圖(圖1),學(xué)生自行嘗試.教師巡視發(fā)現(xiàn)多數(shù)學(xué)生能依據(jù)代數(shù)式類型對(duì)10個(gè)函數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單分類,少數(shù)學(xué)生能類比圖1畫出圖2.

        圖1

        圖2

        學(xué)生普遍認(rèn)為⑩是分式函數(shù),⑧⑨是無理函數(shù),多數(shù)學(xué)生認(rèn)為⑤~⑦是單項(xiàng)式函數(shù),①~④都是多項(xiàng)式函數(shù).在此基礎(chǔ)上,學(xué)生進(jìn)行了如下討論.

        討論1:

        生13:剛才我們說①~④都中代數(shù)式都是一次二項(xiàng)式,整式既有項(xiàng)數(shù)(單項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)是1)又有次數(shù),所以只根據(jù)項(xiàng)數(shù)分類是不全面的,還可以按式子的次數(shù)分類,比如①~⑤都是一次函數(shù),⑥是二次函數(shù),⑦是三次函數(shù).

        生14:還可以根據(jù)次數(shù)、項(xiàng)數(shù)兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)交叉分類,比如⑤是一次一項(xiàng)函數(shù),①~④都是一次二項(xiàng)函數(shù),⑥是二次一項(xiàng)函數(shù).

        討論2:

        師:發(fā)現(xiàn)得好!這告訴我們,將表達(dá)式化簡(jiǎn)到底,才能看到它的真面目.

        綜上,可將函數(shù)①~⑧的歸類整理成下表1.

        表1

        說明:這個(gè)環(huán)節(jié)中還隱藏著一個(gè)問題,那就是對(duì)整式函數(shù)的劃分,項(xiàng)數(shù)和次數(shù)哪個(gè)更重要.

        2.4 一次函數(shù)

        師生活動(dòng):通過閱讀補(bǔ)充材料,學(xué)生知道正比例函數(shù)的命名來自小學(xué)階段“正比例關(guān)系”.在定義的基礎(chǔ)上,學(xué)生體會(huì)兩種函數(shù)的關(guān)系,并舉出一些不同的一次函數(shù)例子.

        問題5正比例函數(shù)和一次函數(shù)二者之間有什么關(guān)系?我們學(xué)習(xí)過類似的關(guān)系嗎?

        生16:正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù).

        生17:像這樣的特殊與一般的關(guān)系還有很多,比如,正方形是特殊的長(zhǎng)方形,整數(shù)是特殊的有理數(shù),有理數(shù)是特殊的實(shí)數(shù)……

        問題6我們已經(jīng)舉了很多一次函數(shù)的例子,你覺得一次函數(shù)能舉得完嗎?

        生18:舉不完.因?yàn)橄禂?shù)、常數(shù)是無窮無盡的.

        師:可以用什么代表無窮無盡、千變?nèi)f化呢?

        生:字母!

        師:對(duì),字母表示數(shù)!誰來試試看?

        生19:y=ax+b(a,b為常數(shù),a≠0).(括號(hào)是在其他學(xué)生提示下加的.)

        師:由于正比例函數(shù)中的自變量系數(shù)又叫做比例系數(shù),常用k表示.于是約定:

        定義2一般地,形如y=kx+b(k,b為常數(shù),k≠0)的函數(shù)叫做一次函數(shù),其中x是自變量,y是x的函數(shù).

        特別地,當(dāng)b=0時(shí),y=kx(k為常數(shù),k≠0)),y叫做x的正比例函數(shù).

        例1表2中,y是x的一次函數(shù)嗎?是正比例函數(shù)嗎?如果是,指出k和b的值;如果不是,指出函數(shù)的類型.

        表2

        師生活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)要先把一次函數(shù)寫成一般形式后再確定k和b的值.

        例2已知一次函數(shù)y=-2x+3.

        (1)當(dāng)x為何值時(shí),y=0?

        (2)當(dāng)x為何值時(shí),y>2?

        師生活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)y的值確定時(shí),實(shí)際上得到了關(guān)于x的一元一次方程、一元一次不等式,學(xué)生初步體會(huì)方程、不等式、函數(shù)之間是可以互相轉(zhuǎn)化的.

        2.5 結(jié)語

        師:今天這節(jié)課拉開了豐富多彩的函數(shù)世界的帷幕,我們會(huì)從一次函數(shù)開始踏上認(rèn)識(shí)函數(shù)、理解函數(shù)、應(yīng)用函數(shù)的征程.

        3 反思與提煉

        數(shù)學(xué)概念不但是數(shù)學(xué)認(rèn)知的基礎(chǔ),還是積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的載體,為培養(yǎng)學(xué)生“三會(huì)”提供了得天獨(dú)厚的思維平臺(tái).概念教學(xué)不僅是教學(xué)任務(wù),還是教學(xué)機(jī)遇.

        3.1 概念形成需要多元化的實(shí)例——真

        概念的形成常始于從實(shí)例抽象,而限于篇幅,教材中往往給出的都是符合概念的完美例子.在概念教學(xué)中,應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生舉出多元化的例子,學(xué)生在對(duì)比和沖突中自發(fā)摒棄不完美的例子,從而聚焦于完美例子,是概念形成的最好的模樣.事實(shí)上,這指向了學(xué)生概念學(xué)習(xí)的一個(gè)重要要素——“真”.

        3.2 概念形成要回歸到概念體系中去——貫與破

        數(shù)學(xué)概念之間有嚴(yán)密、精確的關(guān)聯(lián),任何一個(gè)概念總是概念體系中的一點(diǎn),它們不是孤立、憑空而生的,新概念的形成往往既有“一以貫之”(合理性),又有“破而后立”(必要性).

        “貫”是內(nèi)部和諧,“破”是外部需求,回到概念體系中認(rèn)識(shí)貫與破,恰是概念教學(xué)的核心任務(wù).

        “貫”是繼承,“破”是創(chuàng)造,其實(shí)哪個(gè)概念的形成不是貫與破的共舞呢!

        3.3 概念形成不妨兼顧周邊概念——窮

        函數(shù)的外延不止有一次函數(shù),還有反比例函數(shù)、二次函數(shù)等.在學(xué)習(xí)一次函數(shù)概念時(shí),由于出現(xiàn)了不同類型的實(shí)例,因此完全可以順勢(shì)而為,窮盡不同的同級(jí)概念.本節(jié)課中,同級(jí)概念的提出,不但無損于一次函數(shù)概念的形成,反而通過對(duì)比強(qiáng)化了彼此的理解.

        在概念形成的過程中,“真”是土壤,“窮”是花園,“貫、破”是陽光雨露,萌發(fā)的是學(xué)生思維之芽,綻放的是學(xué)生思維之花,結(jié)出的是學(xué)生思維之果,而教師在這個(gè)生長(zhǎng)過程中,只需培土、澆水、維護(hù),是一個(gè)護(hù)花使者.

        進(jìn)一步看,“真”指向以生為本的人文教育觀念,“貫、破”指向數(shù)學(xué)教學(xué)特有的結(jié)構(gòu)意識(shí),為教學(xué)提供了生長(zhǎng)視角,“窮”指向無限可能的生長(zhǎng)課堂.

        概念是這樣開花的,開花的不止是概念,還有學(xué)生思考的心靈.

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