遼寧省沈陽(yáng)市沈河區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校 王 丹

數(shù)學(xué)概念是指客觀事物或現(xiàn)象的數(shù)量關(guān)系或空間形式在人們大腦中的反映.也就是說(shuō)我們一旦對(duì)事物的本質(zhì)屬性產(chǎn)生了認(rèn)識(shí)，就會(huì)在腦海中形成相應(yīng)的概念.于數(shù)學(xué)學(xué)科而言，概念就是它的基礎(chǔ)或構(gòu)成細(xì)胞，是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維的關(guān)鍵性因素，學(xué)生只有形成了相應(yīng)的概念，才能進(jìn)行較好的思維.缺乏概念的支撐，不僅無(wú)法思維，更無(wú)法準(zhǔn)確判斷.

1 趣味導(dǎo)入，激發(fā)靈感

布魯納曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“學(xué)生若沒(méi)有事先從直覺(jué)上接觸過(guò)概念，貿(mào)然將概念以正規(guī)形式呈現(xiàn)在他們面前，會(huì)讓概念的學(xué)習(xí)變得力不從心.”[1]由此可見(jiàn)，概念的導(dǎo)入對(duì)概念教學(xué)的成效具有舉足輕重的影響.眾所周知，興趣是學(xué)習(xí)最好的老師.結(jié)合學(xué)生的心理發(fā)展特征，利用學(xué)生感興趣的方式進(jìn)行概念導(dǎo)入能起到事半功倍的效果.

常用的概念導(dǎo)入方法有以下幾種：①分析現(xiàn)實(shí)材料，抽象概念.利用貼合學(xué)生生活實(shí)際的材料，如實(shí)物、模型或圖示等，讓學(xué)生在觀察與分析中抽象出它們的特征形成概念.②結(jié)合內(nèi)在需求引入概念.每個(gè)人都有內(nèi)在發(fā)展的需求，而這種需求是推動(dòng)學(xué)科發(fā)展的主要?jiǎng)恿?，教師可通過(guò)激發(fā)學(xué)生認(rèn)知矛盾的方式，促使學(xué)生產(chǎn)生探究的欲望.③類比分析，明晰概念.類比是一種重要的數(shù)學(xué)思想，我們可將生活中具有共性特征的事物羅列到一起，鼓勵(lì)學(xué)生在異同點(diǎn)的類比分析中明晰概念.

案例1“平行線”的概念教學(xué)

為了激發(fā)學(xué)生對(duì)平行線的興趣，教師可讓學(xué)生觀察生活中熟悉的鐵軌、公路分流線(見(jiàn)圖1)等，從中抽象出它們共同的本質(zhì)屬性.

圖1

學(xué)生在觀察與交流后一致認(rèn)為它們的共同屬性是都有可以無(wú)限延長(zhǎng)，卻永不相交的線存在.

師：還有其他補(bǔ)充嗎？

生1：應(yīng)該是在同一個(gè)平面內(nèi)，要是不在一個(gè)平面就不好說(shuō)了.

師：非常好！這就是我們今天要學(xué)的“平行線”.現(xiàn)在請(qǐng)你們根據(jù)剛才的觀察與分析，完整地說(shuō)一說(shuō)平行線的概念.

…………

以生活素材作為平行線概念教學(xué)的導(dǎo)入，不僅快速激起了學(xué)生探究的興趣，還讓學(xué)生在觀察與交流中產(chǎn)生靈感，自主抽象出相應(yīng)的概念.學(xué)生通過(guò)對(duì)生活實(shí)例的觀察，體會(huì)到平行線的本質(zhì)屬性與生活實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.這種教學(xué)設(shè)計(jì)，有效地提升了學(xué)生從生活現(xiàn)象中抽象數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，為培養(yǎng)學(xué)生的抽象邏輯思維奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

2 注重交流，概念形成

概念的形成需經(jīng)歷一個(gè)概括的過(guò)程.概括就是以一些典型的事物或?qū)嵨镒鳛榉治龅妮d體，通過(guò)學(xué)習(xí)者的探究與交流分析出它們的共有屬性.概括的過(guò)程就是概念形成的過(guò)程，而數(shù)學(xué)教學(xué)本就要求講究背景、思想與應(yīng)用，概念概括則體現(xiàn)了這個(gè)過(guò)程[2].學(xué)生的學(xué)習(xí)能力在概念概括中得以體現(xiàn)，因此，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力首先要注重概念概括過(guò)程.

一般情況下，概念的形成不可能一步到位，需經(jīng)歷從模糊到清晰、從片面到全面、從特殊到一般的過(guò)程.因此，教師在概念教學(xué)時(shí)要保持充足的耐心，不要急于求成，可通過(guò)循序漸進(jìn)的引導(dǎo)，讓學(xué)生在合作交流、反思中由淺入深地實(shí)現(xiàn)概念概括.

案例2“方差、標(biāo)準(zhǔn)差”的概念教學(xué)

教師提供以下材料，供學(xué)生討論：

如表1，這是江蘇省某市2020年3月與2021年同期的每天最高氣溫對(duì)照情況：

表1 兩年同期的每天最高氣溫對(duì)照 單位：℃

對(duì)于這組數(shù)據(jù)，該如何進(jìn)行比較呢？學(xué)生嘗試使用學(xué)過(guò)的平均數(shù)、中位數(shù)以及眾數(shù)等，經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析后發(fā)現(xiàn)三個(gè)量竟然毫無(wú)差異，這樣的結(jié)果讓不少學(xué)生感到驚詫.如此，是不是說(shuō)明這兩年在同一時(shí)間段的氣溫就毫無(wú)差異呢？有些學(xué)生不禁提出疑問(wèn)：除了以上幾種比較方式以外，還可以用什么指標(biāo)來(lái)分析這種差異？

此時(shí)教師提醒學(xué)生可嘗試將數(shù)據(jù)繪制成統(tǒng)計(jì)圖，然后再進(jìn)行觀察.學(xué)生的探究欲立刻就被激起，且快速進(jìn)入小組合作學(xué)習(xí)的模式，各組學(xué)生積極地制圖、分析、思考.巡查中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生有如下交流：

生1：從繪制而成的折線圖中來(lái)看，這兩組數(shù)據(jù)有著一定的起伏.如果去掉每組的最大與最小值之后，其他數(shù)據(jù)是否存在差異性波動(dòng)呢？

生2：是不是可以用一個(gè)更加敏感的新指標(biāo)來(lái)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析？

生3：咱們嘗試從每個(gè)數(shù)值與平均數(shù)的關(guān)系著手呢？

生4：若將各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差相加試試看呢？

…………

隨著學(xué)生之間交流的不斷深入，方差的概念隨著學(xué)生的合作交流自然誕生.雖然有些組還處于不太肯定的探究階段，但都已經(jīng)認(rèn)識(shí)到數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)對(duì)他們所提出的新指標(biāo)有著影響.隨后，各組代表逐一匯報(bào)了本組對(duì)這張表格的研究結(jié)論，教師在此基礎(chǔ)上及時(shí)給予引導(dǎo)與完善.方差與標(biāo)準(zhǔn)差的概念也就在師生共同的交流中概括而成.

學(xué)生通過(guò)自主合作交流，從教師提供的材料數(shù)據(jù)中概括、提煉出其中的本質(zhì)特征，雖然提煉過(guò)程中有各種障礙與疑問(wèn)，但這些障礙與疑問(wèn)很顯然就是思維的腳手架，促進(jìn)學(xué)生在一步步的思考與分析中獲得新知.雖然學(xué)生的概括不一定準(zhǔn)確，用詞也不夠精準(zhǔn)，但他們共同探討、交流的過(guò)程就是不斷完善的過(guò)程.因此，教師應(yīng)耐心地做好引導(dǎo)工作，傾聽(tīng)學(xué)生的言論，讓學(xué)生在舒適、和諧的氛圍內(nèi)更好地思考與探索，為創(chuàng)新意識(shí)的形成與發(fā)展奠定基礎(chǔ).

3 變式拓展，靈活應(yīng)用

概念的學(xué)習(xí)是為了更好地應(yīng)用，應(yīng)用能力體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)概念的理解程度.因此，適當(dāng)?shù)木毩?xí)是促進(jìn)學(xué)生深入理解概念的有效方法.教學(xué)中，常發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生已經(jīng)掌握了課堂中的一些練習(xí)，但課后題目稍微發(fā)生點(diǎn)變化就又力不從心了.究其原因主要還在于沒(méi)有深入掌握概念的內(nèi)涵，從而無(wú)法靈活變通.因此，教師在設(shè)計(jì)練習(xí)時(shí)，可有意識(shí)地設(shè)計(jì)一些變式訓(xùn)練，讓學(xué)生深切體驗(yàn)概念的靈活性，獲得舉一反三的能力.

變式在概念教學(xué)中的應(yīng)用，按概念的類型主要分：①不定義型概念.此類概念的變式訓(xùn)練方式以描述或列舉為主.②定義型概念.此類概念的變式拓展可應(yīng)用邏輯關(guān)系編擬變式訓(xùn)練內(nèi)容，如真、假、逆、否命題等.③不理解型概念.有些學(xué)生雖然能一字不落地背誦概念，但對(duì)它的理解程度卻只停留在淺表層面.此類概念可從不同角度輔以正反事例進(jìn)行變式設(shè)計(jì).④不易想象型概念.如幾何類的概念，可借助圖形的變化進(jìn)行變式訓(xùn)練，讓學(xué)生在數(shù)形結(jié)合中對(duì)概念產(chǎn)生更加直觀形象的認(rèn)識(shí).

弄清概念的內(nèi)涵與外延是概念教學(xué)的首要任務(wù)，它對(duì)解決相應(yīng)的問(wèn)題具有重要影響.變式的應(yīng)用能讓學(xué)生學(xué)會(huì)從不同的視角觀察與分析問(wèn)題，對(duì)推進(jìn)教學(xué)活動(dòng)與完善學(xué)生的思維具有深遠(yuǎn)的影響.

案例3“一次函數(shù)”的概念教學(xué)

原題已知關(guān)于x的一次函數(shù)y=x(a-3)-3，求a的值.

變式1已知關(guān)于x的一次函數(shù)y=(a+3)x-3，求a的取值范圍.

變式2已知關(guān)于x的一次函數(shù)y=(a+3)·xa2-3-3，求a的值.

變式3已知關(guān)于x的一次函數(shù)y=(a+3)x+4x-3，求a的取值范圍.

這三個(gè)變式的設(shè)計(jì)，從學(xué)生對(duì)概念理解的基礎(chǔ)上拓展而來(lái)，變式問(wèn)題的提出與學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)相契合.學(xué)生在對(duì)問(wèn)題的探究與思考中逐漸領(lǐng)悟一次函數(shù)概念的內(nèi)涵與外延，同時(shí)不少學(xué)生的思維也到“跳一跳，摘到桃”的效果.

總之，概念在數(shù)學(xué)學(xué)科中的地位猶如一座大廈的地基，對(duì)學(xué)生后期的學(xué)習(xí)具有決定性的影響.作為教師，不僅要關(guān)注學(xué)生對(duì)概念的理解程度，還要注重對(duì)學(xué)生概念應(yīng)用能力的培養(yǎng).讓學(xué)生在概念學(xué)習(xí)過(guò)程中獲得良好的數(shù)學(xué)思想與方法，為創(chuàng)造力的形成與發(fā)展奠定基礎(chǔ).