劉師妤 周龍虎

【摘 要】作為高中數(shù)學(xué)的經(jīng)典內(nèi)容之一，基本不等式的內(nèi)涵豐富，在運(yùn)算對(duì)象、運(yùn)算方式以及地位的基礎(chǔ)性上都有體現(xiàn)?；静坏仁降膬?nèi)涵特征決定其具備求最值、放縮不等式的教學(xué)價(jià)值。為實(shí)現(xiàn)基本不等式的育人價(jià)值，教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)復(fù)雜情境和真實(shí)學(xué)習(xí)任務(wù)的促進(jìn)作用，彰顯結(jié)構(gòu)分析優(yōu)先于代數(shù)、幾何運(yùn)算的地位與作用，突出知識(shí)的精練與知識(shí)應(yīng)用的協(xié)調(diào)一致性。

【關(guān)鍵詞】基本不等式；內(nèi)涵；教學(xué)價(jià)值；教學(xué)改進(jìn)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》將高中數(shù)學(xué)知識(shí)以主題形式進(jìn)行整編，其中基本不等式不再劃歸于不等式板塊中，而是作為“主題一 預(yù)備知識(shí)”的核心知識(shí)呈現(xiàn)，這一變化實(shí)質(zhì)上是繼“重要不等式”改名為“基本不等式”之后再次確定了基本不等式的基礎(chǔ)性作用?；静坏仁绞菍?duì)小學(xué)數(shù)學(xué)和差基本運(yùn)算辯證關(guān)系下的符號(hào)化概括，對(duì)于研究函數(shù)的最值以及放縮數(shù)式（包括證明其他不等式）都有著奇效，可謂基本不等式不“基本”。

一、基本不等式的內(nèi)涵及教學(xué)價(jià)值透析

對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象內(nèi)涵及價(jià)值的入微探討是理解課程內(nèi)容本質(zhì)并進(jìn)行科學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的重要前提，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本方式。

（一）基本不等式的內(nèi)涵

理解知識(shí)的內(nèi)涵是進(jìn)行有效延拓的重要前提。基本不等式前承不等關(guān)系與不等式的基本性質(zhì)，其作為從數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際生活中抽象得到的典型模型，有著豐富的實(shí)際意義；基本不等式后啟各種不等式的研究及應(yīng)用，是發(fā)展學(xué)生思維、培育探索精神的重要載體。基本不等式的“發(fā)現(xiàn)”方式、證明方式（包含幾何闡釋?zhuān)┮约白冃畏绞蕉鄻樱?］決定了其內(nèi)涵尤其豐富。要理解基本不等式中“基本”的含義，需要從三個(gè)方面展開(kāi)：

第一，理解代數(shù)基本對(duì)象。一般地，要精確、簡(jiǎn)潔地刻畫(huà)數(shù)學(xué)對(duì)象的屬性，兩個(gè)對(duì)象足矣。比如說(shuō)要研究直線(xiàn)間的關(guān)系，可討論兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系，多一條直線(xiàn)則顯得繁雜且多余。兩個(gè)對(duì)象間的關(guān)系是對(duì)變化情況這一無(wú)限問(wèn)題的簡(jiǎn)化表達(dá)，如“商品的價(jià)格有升有降，可抽象為商品具有兩個(gè)價(jià)格a，b（a≠b）”。從這一意義上講，二元對(duì)象能遷移到三元乃至多元對(duì)象上，從而擴(kuò)大適用范圍。

第二，理解基本運(yùn)算方式。對(duì)于a，b兩個(gè)正數(shù)，作四則運(yùn)算是最基本的運(yùn)算方式，如a+b，ab（由于減法和除法分別是加法和乘法的逆運(yùn)算，故只需研究加法和乘法運(yùn)算）。運(yùn)算規(guī)則為實(shí)施運(yùn)算提供依據(jù)，又為簡(jiǎn)化運(yùn)算提供新視角：為簡(jiǎn)化函數(shù)求導(dǎo)這一過(guò)程，研究導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算公式顯得自然且必要；為精確刻畫(huà)（a+b）2與2ab的差距，基本運(yùn)算方式要拓展到平方和（a2+b2）上，并形成“和式”、“積式”和“平方和式”三種運(yùn)算結(jié)構(gòu)大小關(guān)系的初步理解。因而要以基本運(yùn)算方式作為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的重要源頭。

第三，理解基礎(chǔ)核心地位。在基本不等式的變形及應(yīng)用過(guò)程中，進(jìn)一步深化了對(duì)不等式基本性質(zhì)的理解，又為證明其他經(jīng)典不等式如柯西不等式、排序不等式等奠定了基礎(chǔ)。新的數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，往往要轉(zhuǎn)化到熟悉的、已知的問(wèn)題上去。面對(duì)結(jié)構(gòu)不良的代數(shù)式求最值問(wèn)題，我們要有轉(zhuǎn)化為基本不等式的意識(shí)，常見(jiàn)的結(jié)構(gòu)有齊次式等。但也要把握好基本不等式訓(xùn)練的度，不要急于把復(fù)雜的變式、變形技巧很強(qiáng)的問(wèn)題交給學(xué)生，訓(xùn)練的重心應(yīng)是與不等式性質(zhì)相結(jié)合的常規(guī)代數(shù)變換。［2］

（二）基本不等式的教學(xué)價(jià)值

基本不等式闡明了特殊數(shù)學(xué)對(duì)象間的不等關(guān)系，屬于“特殊”的數(shù)學(xué)公式。數(shù)學(xué)公式不能像“從帽子里突然拿出的兔子”，發(fā)現(xiàn)它的過(guò)程本就是理解其內(nèi)涵的過(guò)程；數(shù)學(xué)公式要有用武之地，否則不能帶來(lái)積極的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)（如感悟“數(shù)學(xué)知識(shí)是相互聯(lián)系的”“數(shù)學(xué)是有用的”等）。因而剖析基本不等式的教學(xué)價(jià)值，可從公式的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用兩個(gè)層面入手。

學(xué)生不僅要見(jiàn)證還要全身心地參與到基本不等式的發(fā)現(xiàn)之旅中去，因?yàn)榛静坏仁郊仁菍?duì)現(xiàn)實(shí)重要數(shù)量關(guān)系的強(qiáng)抽象，又具備深厚的文化底蘊(yùn)。生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們：周長(zhǎng)相等的矩形中，正方形的面積最大；等圓中弦長(zhǎng)不大于直徑；斜邊為定長(zhǎng)的直角三角形中，等腰直角三角形的高最長(zhǎng)；在商品價(jià)格波動(dòng)的前提下，每次花相同的錢(qián)比每次買(mǎi)相同數(shù)量的商品更加實(shí)惠等?；静坏仁奖澈箅[藏著豐富的文化背景，如趙爽弦圖、等周問(wèn)題等，這些皆是體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化價(jià)值的良好載體。從基本不等式的應(yīng)用層面分析，一般涉及求最值和放縮到另一代數(shù)式兩種情形，故基本不等式的教學(xué)價(jià)值可分為特殊功能和一般功能。

第一，基本不等式是求最值的常見(jiàn)方法之一。對(duì)于特定的“和式”或“積式”，只要滿(mǎn)足“一正二定三相等”，便可通過(guò)基本不等式求最值。這是顛破不滅的做法，但我們是否認(rèn)真思考過(guò)“為什么運(yùn)用基本不等式能求最值”？根據(jù)函數(shù)最值的定義，“一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿(mǎn)足：（1）對(duì)于任意的x[∈]I都有f（x）[≤]M；（2）存在x0[∈]I使f（x0）[≤]M。那么，我們稱(chēng)M是函數(shù)f（x）的最大值。類(lèi)似地，我們可以得到函數(shù)y=f（x）的最小值的定義”，“和式”與“積式”間的確定大小關(guān)系已經(jīng)說(shuō)明了條件（1），進(jìn)而尋求等號(hào)成立的條件則滿(mǎn)足了條件（2）。因此，基本不等式是有別于函數(shù)思想求最值的另一代數(shù)式模型。

第二，基本不等式是放縮的重要方式。如同排列組合于概率的作用一般，放縮是不等式演化的重要手段。當(dāng)不能滿(mǎn)足“二定”時(shí)，基本不等式的功能退化到更一般的情形——放縮。利用不等式的基本性質(zhì)可以實(shí)施放縮，利用基本不等式也可以放縮。在解題過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)利用基本不等式打出組合拳——“放縮+求最值”，是處理復(fù)雜代數(shù)式求范圍的常見(jiàn)策略。

三、基本不等式的教學(xué)改進(jìn)策略探析

完整的數(shù)學(xué)教學(xué)既要體現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容的來(lái)龍去脈，又要彰顯其背后的思想方法以及價(jià)值觀念。為深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)，就應(yīng)當(dāng)努力做到知其然，知其所以然，知何由以知其所以然。如何做到這三點(diǎn)，章建躍認(rèn)為應(yīng)以數(shù)學(xué)的抽象之美和無(wú)處不在的現(xiàn)實(shí)用途吸引學(xué)生，切實(shí)提高學(xué)生的理性精神和對(duì)真與美的感知力，真正發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量。［3］

（一）強(qiáng)調(diào)復(fù)雜情境和真實(shí)學(xué)習(xí)任務(wù)的促進(jìn)作用

發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的獨(dú)特價(jià)值離不開(kāi)學(xué)科教學(xué)活動(dòng)的開(kāi)展及相應(yīng)經(jīng)驗(yàn)的積累，如學(xué)科情境尤其是復(fù)雜情境的創(chuàng)設(shè)以及真實(shí)學(xué)科學(xué)習(xí)任務(wù)的制訂。核心素養(yǎng)的培育與發(fā)展以生活為土壤，以豐富的情境作為生發(fā)地，是對(duì)真實(shí)復(fù)雜情境的認(rèn)知、辨別、頓悟以及情感態(tài)度的綜合體現(xiàn)。不同版本的新教材對(duì)基本不等式問(wèn)題的引入情境各異，要么從完全平方式直接引入，以體現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在認(rèn)知發(fā)展規(guī)律；要么以趙爽弦圖、第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)的簡(jiǎn)介引入，以體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的教育價(jià)值；要么以天平的測(cè)量問(wèn)題等科學(xué)情境引入，以彰顯數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；要么通過(guò)比較算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)大小的動(dòng)手實(shí)驗(yàn)引入，以凸顯“做數(shù)學(xué)”的學(xué)科實(shí)踐活動(dòng)價(jià)值。因此，基本不等式的教學(xué)可依據(jù)不同階段相機(jī)設(shè)置不同的情境，可從HPM視角擷取豐富的數(shù)學(xué)史材料，如幾類(lèi)中項(xiàng)的歷史、古巴比倫泥板上的“和差術(shù)”、等周問(wèn)題［4］等，滲透于基本不等式的新知探究和證明應(yīng)用中，既為學(xué)生提供必要的思維材料，又為他們提供多感官參與和主動(dòng)發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造的機(jī)會(huì)。

任務(wù)驅(qū)動(dòng)教學(xué)法是改變學(xué)生學(xué)習(xí)樣態(tài)，使學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)、探究、實(shí)踐、思考、運(yùn)用的教學(xué)方法。依據(jù)實(shí)際學(xué)情和教學(xué)過(guò)程的階段性，學(xué)習(xí)任務(wù)各不相同，如前置性學(xué)習(xí)任務(wù)、過(guò)程性學(xué)習(xí)任務(wù)、探究性學(xué)習(xí)任務(wù)以及后置性學(xué)習(xí)任務(wù)等。通過(guò)布置前置性學(xué)習(xí)任務(wù)，讓學(xué)生回憶并搜集基本不等式的生活原型；布置基本不等式從“代數(shù)特征闡明”到“幾何意義詮釋”的過(guò)程性學(xué)習(xí)任務(wù)，有助于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考、表達(dá)與交流；布置基本不等式的多樣證明探究性學(xué)習(xí)任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)經(jīng)典內(nèi)容，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的深入理解及遷移；布置基本不等式的應(yīng)用后置性學(xué)習(xí)任務(wù)（如兩次購(gòu)買(mǎi)同一種商品，每次購(gòu)買(mǎi)的數(shù)量相同或總價(jià)相同，哪一種購(gòu)物方式較為經(jīng)濟(jì)），促使學(xué)生重新認(rèn)識(shí)與鞏固基本不等式的內(nèi)涵特征，培育“變”與“不變”的辯證觀。

（二）彰顯結(jié)構(gòu)分析優(yōu)先于代數(shù)運(yùn)算、幾何變換的地位與作用

已有調(diào)查研究表明，受考試壓力和課時(shí)限制等掣肘，教師普遍不太重視基本不等式本質(zhì)意義的教學(xué)［5］，導(dǎo)致基本不等式原理的教學(xué)淪為淺表化、膚淺化的解題應(yīng)用教學(xué)。即使教師已經(jīng)向?qū)W生指出了基本不等式的本質(zhì)意義——平方非負(fù)性，卻不能明確揭示、深究其背后的核心等價(jià)思想［6］，從而痛失教學(xué)時(shí)機(jī)。等價(jià)思想，作為代數(shù)核心思想之一，是保證代數(shù)變形恒等性和有效性的內(nèi)在條件，是形成良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的必備前提。隨著對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題的研究深入，結(jié)構(gòu)分析被重新提到一個(gè)新的高度上。正如數(shù)學(xué)家張景中所言：“結(jié)構(gòu)不是人主觀上隨意指派的，也不是理念世界永恒存在的，它是總結(jié)大量感性經(jīng)驗(yàn)上升為概念的結(jié)果?！睌?shù)學(xué)結(jié)構(gòu)作為一種客觀抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)存在形態(tài)或?qū)ο?，早已超越早期代?shù)學(xué)與幾何學(xué)的二分探討，返璞為與人類(lèi)活動(dòng)結(jié)構(gòu)特征相對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)劃分，如體現(xiàn)估計(jì)認(rèn)識(shí)活動(dòng)的數(shù)學(xué)分支結(jié)構(gòu)有概率、測(cè)度論或統(tǒng)計(jì)學(xué)。結(jié)構(gòu)分析主張以整體的觀念洞悉各局部之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，以變化的觀點(diǎn)看數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)間的轉(zhuǎn)化。更為重要的是，結(jié)構(gòu)分析所帶來(lái)的公理化方法和結(jié)構(gòu)方法使數(shù)學(xué)思維變得“經(jīng)濟(jì)且簡(jiǎn)縮”，問(wèn)題分析和解決過(guò)程也進(jìn)一步程式化和優(yōu)化。

教學(xué)實(shí)踐表明，數(shù)學(xué)訓(xùn)練頗為重視代數(shù)運(yùn)算，尤指算法的精選，卻總是忽略算理的分析。結(jié)構(gòu)分析便是算理分析的重要前提和制勝點(diǎn)。數(shù)學(xué)解題活動(dòng)中，大到問(wèn)題的表征形式，小至某個(gè)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，都是某一經(jīng)典問(wèn)題或公式定理的鏡射，直指思考方向。隨著數(shù)學(xué)的不斷演化與發(fā)展，對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的描述與概括已在數(shù)量關(guān)系和空間形式基礎(chǔ)上增加了模式結(jié)構(gòu)，可見(jiàn)結(jié)構(gòu)分析的重要性。若從宏觀與微觀這一辨證觀出發(fā)，結(jié)構(gòu)分析是明晰思考界域、明確思維方式的有力舉措。因此，由基本不等式推及一般數(shù)學(xué)內(nèi)容，結(jié)構(gòu)分析都應(yīng)先行于代數(shù)運(yùn)算和幾何變換。

（三）突出知識(shí)的精練與知識(shí)應(yīng)用的協(xié)調(diào)一致性

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的進(jìn)階過(guò)程離不開(kāi)對(duì)數(shù)學(xué)核心思想與方法的概括和對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，所以知識(shí)精練是必不可少的。知識(shí)精練應(yīng)是教學(xué)中的常態(tài)工作，要以整體與局部的辯證觀念看待知識(shí)與知識(shí)、知識(shí)與板塊甚至系統(tǒng)間的關(guān)系，既做到知識(shí)內(nèi)部的精練，又做到知識(shí)結(jié)構(gòu)（尤指知識(shí)單元結(jié)構(gòu)、主題范圍內(nèi)）的精練，切實(shí)為優(yōu)化數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)應(yīng)用不僅是檢測(cè)，也是鞏固，更是形成解題經(jīng)驗(yàn)、培養(yǎng)良好思維品質(zhì)的契機(jī)。反過(guò)來(lái)，以應(yīng)用作為促進(jìn)知識(shí)理解的另一有效方式，對(duì)于數(shù)學(xué)能力的提高也頗有裨益。因而，教學(xué)中應(yīng)確保知識(shí)精練和知識(shí)應(yīng)用協(xié)調(diào)一致，讓高水平數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)真實(shí)發(fā)生。

基本不等式的精練過(guò)程體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是對(duì)基本不等式多種證明方法背后所蘊(yùn)含的思想方法的挖掘和分析，以體現(xiàn)證明推理的邏輯性和基礎(chǔ)性；二是借助基本不等式言語(yǔ)表達(dá)和圖示上的多重變式，引發(fā)深度探究。在求最值層面，基本不等式名為“不等式”，實(shí)為特殊條件下的等式，即要關(guān)注等號(hào)條件的探尋。因此，應(yīng)用基本不等式要充分發(fā)揮代數(shù)中的對(duì)稱(chēng)思想，體現(xiàn)等號(hào)成立條件的解題功能［7］，這也應(yīng)被視作是解決“學(xué)生忽略等號(hào)成立條件”問(wèn)題的良策。利用基本不等式實(shí)施放縮，不僅要注重等號(hào)成立的條件（即不等式的強(qiáng)弱），更要留心基本不等式的常見(jiàn)變式及推廣后的n元形式。

總而言之，教師對(duì)于教材中的核心概念和基本定理要予以充分解讀與多角度理解，尤其是教材改版中改動(dòng)的地方。此外，要積極關(guān)注高考的動(dòng)向，力爭(zhēng)教考統(tǒng)一，共同為學(xué)生思維發(fā)展貢獻(xiàn)力量。

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（責(zé)任編輯：潘安）