郝高峰 薛維暢 白翠霞

【摘 要】小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中存在的循環(huán)論證、以偏概全、碎片說(shuō)理等邏輯問(wèn)題雖不可避免，但已成為阻礙學(xué)生深度學(xué)習(xí)的絆腳石。教師必須保持清醒的頭腦和敏銳的眼光，追根溯源，循序漸進(jìn)，整體建構(gòu)，逐漸理順知識(shí)間的邏輯關(guān)系，完善邏輯結(jié)構(gòu)，重塑邏輯體系，積極尋求應(yīng)對(duì)之策，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】邏輯問(wèn)題；追根溯源；循序漸進(jìn)；整體建構(gòu)；深度學(xué)習(xí)

一、引言

筆者在多年來(lái)的教學(xué)和聽(tīng)評(píng)課活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些邏輯問(wèn)題，不僅不自知，更是常常被教師所忽略。比如，在教學(xué)北師大版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)“三角形內(nèi)角和”時(shí)，有一個(gè)問(wèn)題是要求學(xué)生進(jìn)行小組活動(dòng)：每人準(zhǔn)備一個(gè)三角形，量一量三角形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，并計(jì)算三個(gè)內(nèi)角的和。這個(gè)活動(dòng)的目的是通過(guò)測(cè)量活動(dòng)，歸納得出三角形內(nèi)角和相對(duì)固定，即集中在180°左右。從而引發(fā)猜想：三角形內(nèi)角和會(huì)不會(huì)就是180°呢？為后面進(jìn)一步用“拼角”等其他方法驗(yàn)證做好鋪墊。而學(xué)生常常出現(xiàn)“湊180°”的現(xiàn)象（見(jiàn)表1），即把結(jié)論誤當(dāng)成條件，通過(guò)三角形內(nèi)角和是180°和其他兩個(gè)角的度數(shù)，推知第三個(gè)角的度數(shù)，從而計(jì)算出一組“完美”卻不真實(shí)的數(shù)據(jù)，完成了一次不自知的虛假測(cè)量活動(dòng)。

再如，對(duì)于北師大版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”的教學(xué)，在學(xué)生完成了問(wèn)題1（如圖1）后，教師提出問(wèn)題2：“請(qǐng)你再舉一組這樣的例子，并與同伴進(jìn)行交流。”學(xué)生往往會(huì)直接寫(xiě)出1個(gè)分?jǐn)?shù)，再給分子和分母同時(shí)擴(kuò)大相同的倍數(shù)，先后得到2個(gè)不同的等值分?jǐn)?shù)，最后給3個(gè)分?jǐn)?shù)分別對(duì)應(yīng)圖形，使得結(jié)果看起來(lái)“正確”。實(shí)際在沒(méi)有歸納出分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的時(shí)候，學(xué)生已經(jīng)不知不覺(jué)地運(yùn)用它來(lái)構(gòu)造分?jǐn)?shù)，之后又會(huì)通過(guò)這幾組等值分?jǐn)?shù)歸納得出分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)。

不難看出，不管是在沒(méi)有得出三角形內(nèi)角和是180°時(shí)，就應(yīng)用其虛構(gòu)測(cè)量數(shù)據(jù)，再根據(jù)這些數(shù)據(jù)得出結(jié)論；還是把分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)當(dāng)成條件先構(gòu)造出等值分?jǐn)?shù)，再用這些等值分?jǐn)?shù)作為條件，歸納得出分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)，都存在循環(huán)論證的邏輯問(wèn)題。而類(lèi)似的邏輯問(wèn)題在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中時(shí)有發(fā)生，使得學(xué)生學(xué)習(xí)停留在淺層思維水平，嚴(yán)重阻礙了學(xué)生深度學(xué)習(xí)的發(fā)生，應(yīng)該引起教師的警惕和重視。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見(jiàn)的邏輯問(wèn)題

邏輯（logic），在英文中等同規(guī)律、規(guī)則、法則等意思，在現(xiàn)代漢語(yǔ)中內(nèi)涵則更為豐富。廣義的邏輯泛指規(guī)律（思維規(guī)律和客觀規(guī)律），狹義的邏輯一般指思維規(guī)律。本文所說(shuō)的邏輯問(wèn)題既指解決問(wèn)題時(shí)思維過(guò)程違反形式邏輯的基本規(guī)律，即同一律、矛盾律、排中律和充足理由律，從而導(dǎo)致偷換論題、論據(jù)不真實(shí)、循環(huán)論證和形式論證而內(nèi)涵不符等常見(jiàn)邏輯錯(cuò)誤［1］；也包括局部雖未有明顯的邏輯錯(cuò)誤，但整體來(lái)看說(shuō)理方式各行其道，缺少統(tǒng)一而引起的思維混亂。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常表現(xiàn)為循環(huán)論證、以偏概全和碎片說(shuō)理等。

1.循環(huán)論證

循環(huán)論證，是指用來(lái)證明論題的論據(jù)本身的真實(shí)性要依靠論題來(lái)證明的邏輯錯(cuò)誤［2］。小學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)此類(lèi)現(xiàn)象，他們會(huì)不自覺(jué)地用自己認(rèn)為的“事實(shí)”理所當(dāng)然地說(shuō)明或驗(yàn)證該“事實(shí)”。如前文“三角形內(nèi)角和”的學(xué)習(xí)中，探究三角形內(nèi)角和時(shí)，學(xué)生不明就里地將需要證明的結(jié)論當(dāng)作已知事實(shí)，運(yùn)用三角形內(nèi)角和等于180°推算出三角形內(nèi)角的度數(shù)，以推算出來(lái)的數(shù)據(jù)代替實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)，并循環(huán)使用這些數(shù)據(jù)說(shuō)明三角形內(nèi)角和就是180°，這顯然違反了邏輯規(guī)律。當(dāng)然，學(xué)生在經(jīng)過(guò)測(cè)量計(jì)算、提出猜想、拼角驗(yàn)證等方法得出三角形內(nèi)角和等于180°之后，再應(yīng)用其解決求內(nèi)角度數(shù)的問(wèn)題又是另外一回事了。

2.以偏概全

以偏概全的現(xiàn)象在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中普遍存在。它是指解決問(wèn)題的過(guò)程中囿于各種原因用片面的部分規(guī)律來(lái)看待整體問(wèn)題。小學(xué)生的思維特點(diǎn)傾向于直觀和具體，因此多數(shù)概念、性質(zhì)的學(xué)習(xí)都是通過(guò)具體實(shí)例，用不完全歸納法得出。于是，會(huì)出現(xiàn)用“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”和“整數(shù)除以單位分?jǐn)?shù)”的算理代替整個(gè)“分?jǐn)?shù)除法”的算理等現(xiàn)象，造成以偏概全［3］，從而人為地避開(kāi)學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，偷換概念，讓學(xué)習(xí)看起來(lái)“一帆風(fēng)順”。

3.碎片說(shuō)理

碎片說(shuō)理，是指面對(duì)同一類(lèi)學(xué)習(xí)對(duì)象，分別按照不同的邏輯方式碎片化講述各自的道理。局部來(lái)看雖無(wú)明顯邏輯錯(cuò)誤，但整體考量卻各講各的理，各行其道，缺少進(jìn)一步的加工、整合，以及整體一致性的溝通，從而造成邏輯上的混亂。比如，同為加減運(yùn)算，整數(shù)強(qiáng)調(diào)數(shù)位對(duì)齊，小數(shù)則要求小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，分?jǐn)?shù)則是先通分成同分母分?jǐn)?shù)再相加減；同為小數(shù)四則運(yùn)算，加減法強(qiáng)調(diào)小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，乘法要求末位對(duì)齊，除法則先要將除數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)再計(jì)算。再比如，同樣是研究倍數(shù)特征，2、5的倍數(shù)看個(gè)位，3、9的倍數(shù)得看各個(gè)數(shù)位之和。整體來(lái)看，這些知識(shí)的邏輯并不統(tǒng)一，如果不加以整理、歸類(lèi)，學(xué)生很容易陷入混亂。

三、歸因分析

小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之所以會(huì)存在以上種種邏輯問(wèn)題，究其根本，主要是由小學(xué)生的思維特點(diǎn)和認(rèn)知基礎(chǔ)所決定的。另外，教材“混而不錯(cuò)”的編排及教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容理解的局限性和認(rèn)知的不斷發(fā)展也是造成這種現(xiàn)象普遍存在的直接原因。

1.小學(xué)生的思維特點(diǎn)和認(rèn)知基礎(chǔ)

小學(xué)生的思維特點(diǎn)是以具體形象思維為主要形式，并逐步向以抽象邏輯思維為主要形式過(guò)渡。而在過(guò)渡期間，適量的直觀形象支撐不可或缺。皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論也指出，小學(xué)生的認(rèn)知水平基本處于具體運(yùn)算階段，即位于前運(yùn)算階段和形式運(yùn)算階段之間。隨著年齡的增長(zhǎng)，特別是到了第三學(xué)段，開(kāi)始逐漸向形式運(yùn)算階段過(guò)渡。他們雖逐步具備了一定的邏輯運(yùn)算能力，但其運(yùn)算仍離不開(kāi)具體事物的支持，運(yùn)算的形式也沒(méi)有完全與內(nèi)容分離。而高度的抽象性是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征。擅長(zhǎng)具體形象思維的小學(xué)生要逐步走近高度抽象的數(shù)學(xué)，就必然會(huì)經(jīng)歷暫時(shí)的邏輯混亂階段，以形象幫助理解抽象，因此在邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性上可能有所欠缺。

2.教材編寫(xiě)中的“混而不錯(cuò)”

基于小學(xué)生的思維特點(diǎn)和認(rèn)知基礎(chǔ)，蘇步青認(rèn)為，小學(xué)數(shù)學(xué)教材編寫(xiě)要堅(jiān)持“混而不錯(cuò)”的原則，從而保持一定的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性。這也成了小學(xué)數(shù)學(xué)教材編寫(xiě)者長(zhǎng)期的一個(gè)共識(shí)。適度的“混”一定程度上適應(yīng)了小學(xué)生的思維特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，給學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以緩沖，在小學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)中能發(fā)揮積極的作用。但“混”到什么程度，什么該“混”，什么又堅(jiān)決不能“混”都是極有講究的。另外，面對(duì)不斷變化的小學(xué)生，幾近不變的“混而不錯(cuò)”的教材編排也很難保證不會(huì)培養(yǎng)出“混而有錯(cuò)”的學(xué)生。更何況中小學(xué)教材要完全做到“混而不錯(cuò)”也并不容易［4］。

3.教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容理解的局限性和認(rèn)知的不斷發(fā)展

教師作為教學(xué)活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者和合作者，對(duì)教材及其他教學(xué)內(nèi)容內(nèi)在邏輯的準(zhǔn)確理解和個(gè)性化解讀，是影響學(xué)生深度學(xué)習(xí)的關(guān)鍵因素之一。實(shí)踐表明，一些教師對(duì)教材的盲目“迷信”，以及對(duì)教學(xué)內(nèi)容理解的局限性，使得學(xué)生長(zhǎng)期處在“混亂”的邏輯環(huán)境中，嚴(yán)重阻礙了小學(xué)生思維能力的發(fā)展。另外，隨著教育理念的日益革新，教師的認(rèn)知也在不斷發(fā)展。如以前看著理所當(dāng)然的邏輯在“大單元”“大概念”等理念的沖擊下暴露了它的不足，即缺乏邏輯的整體性和一致性，愈發(fā)顯得支離破碎，問(wèn)題頻出。

四、應(yīng)對(duì)之策

張奠宙曾指出，如果一味地將未加證明的“發(fā)現(xiàn)”不加懷疑地當(dāng)作真理，久而久之，養(yǎng)成一種不加論證就斷然肯定的思維習(xí)慣，必將對(duì)以后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理性文明帶來(lái)負(fù)面影響［5］。因此，面對(duì)已經(jīng)暴露出來(lái)或隱藏在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的邏輯問(wèn)題，教師必須保持清醒的頭腦和敏銳的眼光，積極尋求應(yīng)對(duì)之策，為實(shí)現(xiàn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)創(chuàng)造條件。

1.追根溯源，理順邏輯關(guān)系

面對(duì)循環(huán)論證等邏輯問(wèn)題，教師在教學(xué)中要幫助學(xué)生厘清邏輯起點(diǎn)，理順“條件”與“結(jié)果”之間的邏輯關(guān)系。尤其是在概念建立初期就要明確因果關(guān)系，盡可能追根溯源，厘清知識(shí)的來(lái)龍去脈，從而為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的邏輯基礎(chǔ)。以前文中“分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”的教學(xué)為例，問(wèn)題2顯然是在問(wèn)題1的基礎(chǔ)之上，讓學(xué)生自己通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式找出一組相等的分?jǐn)?shù)。比如教材給出了兩組分?jǐn)?shù)（如圖2），讓學(xué)生進(jìn)行交流。第一組是先把1個(gè)正方形平均分成2份，涂出其中的1份，即[12]，再把每1小份平均分成2份，相應(yīng)地正方形被平均分成了4份，涂色部分也可以表示為[24]，繼續(xù)細(xì)分，涂色部分還可以表示為[48]等。因?yàn)橥可糠侄颊剂诉@個(gè)正方形的“一半”，說(shuō)明3個(gè)分?jǐn)?shù)的大小相等，即[12]=[24]=[48]。而第二組則是“合并”的過(guò)程，即將[812]中的2小份合并成1份得到[46]，再合并得到[23]。因?yàn)檫@3個(gè)分?jǐn)?shù)所表示的陰影部分面積一樣大，所以它們相等，得到[812]=[46]=[23]。最后通過(guò)觀察多組等值分?jǐn)?shù)的分子、分母之間的關(guān)系，歸納出分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)?？梢?jiàn)，本節(jié)課正確的邏輯關(guān)系應(yīng)是在問(wèn)題1示例的基礎(chǔ)上，先借助數(shù)形結(jié)合，根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義找出若干組等值分?jǐn)?shù)，再通過(guò)觀察這些等值分?jǐn)?shù)歸納出分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)，最后才是應(yīng)用這一性質(zhì)解決問(wèn)題。只有當(dāng)師生都理順了教材的邏輯關(guān)系，學(xué)生才能在學(xué)習(xí)中真正觸及知識(shí)本質(zhì)，明確什么是“因”，什么是“果”，并建立起正確的因果關(guān)系，使得學(xué)習(xí)從淺表走向深入。

2.循序漸進(jìn)，完善邏輯結(jié)構(gòu)

由于小學(xué)生的思維現(xiàn)狀，教師不得不退而求其次，常常以合情推理代替嚴(yán)格的演繹推理，致使邏輯結(jié)構(gòu)出現(xiàn)一定的漏洞。在教學(xué)中，教師決不可礙于此而止步不前。相反，教師更應(yīng)該在順應(yīng)小學(xué)生思維水平的基礎(chǔ)上，循序漸進(jìn)，積極引導(dǎo)學(xué)生的思維水平向更深的層次發(fā)展。以北師大版數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)“乘法分配律”學(xué)習(xí)為例。教師一般結(jié)合“廚房貼瓷磚”情境，先引導(dǎo)學(xué)生列式計(jì)算、對(duì)比得出兩組等式（3+5）×10=3×10+5×10和（4+6）×8=4×8+6×8，再引導(dǎo)學(xué)生觀察規(guī)律，同時(shí)寫(xiě)出幾組類(lèi)似的等式，進(jìn)而用字母表示為（a+b）×c=a×c+b×c，明確這就是乘法分配律。實(shí)際上，學(xué)生即使舉出再多的例子，通過(guò)不完全歸納法也只能得出一個(gè)猜想，而非結(jié)論。教學(xué)中，教師不能僅僅滿(mǎn)足于此，可分三個(gè)階段逐步完善邏輯結(jié)構(gòu)。

階段一：在傳統(tǒng)教學(xué)的基礎(chǔ)上，教師可著重引導(dǎo)學(xué)生從算式本身的意義角度來(lái)解釋乘法分配律。比如（3+5）×10=3×10+5×10可理解為（3+5）個(gè)10，即8個(gè)10，等于3個(gè)10加上5個(gè)10；進(jìn)一步，8個(gè)10還可以理解成1個(gè)10加上7個(gè)10或2個(gè)10加上6個(gè)10等。教師應(yīng)逐步引導(dǎo)學(xué)生感受（a+b）個(gè)c實(shí)際就是a個(gè)c加上b個(gè)c。

階段二：?jiǎn)卧獜?fù)習(xí)時(shí)，教師可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)（3+5）×10=3×10+5×10也可理解為10個(gè)（3+5），即10個(gè)8，等于10個(gè)3加上10個(gè)5。再進(jìn)一步，10個(gè)8還可以理解成10個(gè)1加上10個(gè)7等，引導(dǎo)學(xué)生感受c個(gè)（a+b）實(shí)際就是c個(gè)a加上c個(gè)b。同時(shí)，教師可以通過(guò)面積模型（如圖3）等方式，讓學(xué)生直觀理解乘法分配律的原理。

階段三：在五、六年級(jí)再次應(yīng)用乘法分配律，最晚到六年級(jí)總復(fù)習(xí)時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)乘法分配律和加法交換律、結(jié)合律之間的因果關(guān)系，進(jìn)一步完善邏輯結(jié)構(gòu)。即

（a+b）×c=[（a+b）+（a+b）+（a+b）+…+（a+b）c個(gè)（a+b）]

=[（a+a+a+…+a）c個(gè)a]+[（b+b+b+…+b）c個(gè)b]

=a×c+b×c

3.整體建構(gòu)，重塑邏輯體系

目前的小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容存在“碎片式”說(shuō)理現(xiàn)象，表現(xiàn)為教師更多關(guān)注知識(shí)本身，對(duì)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)不夠，尤其是缺失邏輯的整體性和一致性。隨著“大單元”“大概念”等思想深入人心，特別是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的出臺(tái)，重新審視當(dāng)下的教學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)課堂，完成教學(xué)內(nèi)容的整體建構(gòu)，重塑知識(shí)間的邏輯體系已勢(shì)在必行。其中，鞏子坤等對(duì)于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中數(shù)的概念與運(yùn)算的一致性研究較為深入［6］。

筆者以“圖形與幾何”領(lǐng)域中“周長(zhǎng)”“面積”和“體積”教學(xué)的一致性為例，進(jìn)行簡(jiǎn)要說(shuō)明。在傳統(tǒng)教學(xué)中，周長(zhǎng)被描述為圖形一周的長(zhǎng)度，面積指物體的表面或封閉圖形的大小，體積則是物體所占空間的大小，它們的計(jì)算各不相同。學(xué)生在學(xué)習(xí)中往往不明就里，孤立地掌握了一個(gè)又一個(gè)公式。教師可以抓住單位這個(gè)核心概念，從度量的角度進(jìn)行整體建構(gòu)。所謂周長(zhǎng)，就是以長(zhǎng)度單位度量圖形的“一周”，即以“長(zhǎng)”度“周（長(zhǎng)）”；面積則是用面積單位度量平面圖形“面的大小”，即以“面”積“面”；體積則是用體積單位度量物體（圖形）的“空間大小”，即以“體”積“體”。學(xué)生明確了三者單位的區(qū)別也就理解了這三個(gè)概念。它們和數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算也具有一致性，即本質(zhì)是“單位”和“單位的個(gè)數(shù)”的問(wèn)題。這樣，我們就跨越代數(shù)與幾何領(lǐng)域完成了一次整體建構(gòu)，重塑了一個(gè)統(tǒng)一的邏輯體系。

綜上所述，小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中普遍存在的循環(huán)論證、以偏概全、碎片說(shuō)理等邏輯問(wèn)題已成為學(xué)生深度學(xué)習(xí)的絆腳石。教師既要基于學(xué)情，認(rèn)清現(xiàn)狀，也要敢于作為，勇于突破。對(duì)于基本知識(shí)，要懂得追根溯源，理順知識(shí)間的邏輯關(guān)系；遇到難點(diǎn)知識(shí)，要嘗試循序漸進(jìn)，分階段完善知識(shí)間的邏輯結(jié)構(gòu)；面對(duì)碎片化知識(shí)，要善于整體建構(gòu)，重塑知識(shí)間的邏輯體系，走向結(jié)構(gòu)化教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的整體提升。

參考文獻(xiàn)：

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［2］陳曉燕.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“循環(huán)論證”邏輯錯(cuò)誤案例及分析［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（小學(xué)版），2015（Z1）：16-18.

［3］郝高峰.智慧老人，你為何“以偏概全”：“除數(shù)是分?jǐn)?shù)的除法”算理教學(xué)的思考及重構(gòu)［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2021（1）：53-56.

［4］張奠宙.適合兒童年齡特征和避免數(shù)學(xué)差錯(cuò)：關(guān)于“找規(guī)律”及其他［J］.小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2014（3）：8-9.

［5］張奠宙.小學(xué)數(shù)學(xué)課程必須堅(jiān)持“混而不錯(cuò)”的原則：以“平行與垂直”的教材編排為例［J］.小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2015（2）：4-6.

［6］鞏子坤，史寧中，張丹.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的新視角：數(shù)的概念與運(yùn)算的一致性［J］.課程·教材·教法，2022（6）：45-51，56.

（責(zé)任編輯：羅小熒）