評析:這個問題就是本節(jié)課要探究的主題,即“將軍飲馬”問題,教師要善于把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。本關(guān)的實際問題是:在公路旁修建一個農(nóng)產(chǎn)品儲藏加工廠,使這個廠到[A]、[B]兩個水果生產(chǎn)基地的路程之和最短,該如何選址呢?數(shù)學(xué)問題是:在直線[l]的同側(cè)有兩個固定點[A]、[B],如何在直線[l]上找一點[P],使[PA+PB]的值最小?解決方案是:作其中一固定點關(guān)于直線[l]的對稱點,然后連接另一固定點與對稱點,連線與直線[l]的交點就是所求的點,其本質(zhì)就是“兩點之間,線段最短”,方法是利用軸對稱“化折為直”。
第三關(guān):如圖6所示,草地邊緣[OM]與小河河岸[ON]在點[O]處形成30°的夾角,牧馬人從[A]地出發(fā),先讓馬到草地吃草,然后再去河邊飲水,最后回到[A]地。已知[OA=2 km],請在圖中設(shè)計一條路線,使所走的路徑最短,并求出整個過程所行的路程 。
生3:如圖7所示,分別畫出點[A]關(guān)于[OM]、[ON]的對稱點[B]、[C],連接[BC]交[OM]、[ON]于點[D]、[E],連接[AD]、[AE],則線段[AD]、[DE]、[EA]即為所求的路徑,由題意可知點[A]、[B]關(guān)于直線[OM]對稱,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得[OB=OA=2],[∠AOM=∠BOM],因為點[A]、[C]關(guān)于直線[ON]對稱,所以根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得[OA=OC=2],[∠AON=∠CON],因為[∠MON=∠AOM+∠AON=30°],所以[∠BOC=60°],因為[OB=OC=2],所以三角形[OBC]為等邊三角形,所以[BC=2],根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得[BD=AD],[AE=CE],所以[AD+DE+AE=BC=2],所以其總路程為2 km。
評析:第三關(guān)的實際問題可以轉(zhuǎn)化為這樣一個數(shù)學(xué)問題:有兩條固定直線的夾角為30°,在夾角內(nèi)有一固定點[A],它到夾角頂點的距離為2 km,在固定直線上各確定一點,使這兩個點與點[A]組成的三角形周長最小,并求出最小周長。這個問題在第二關(guān)問題的基礎(chǔ)上增加了難度,因為上一個問題只需作一次軸對稱即可,而這個問題則需要作兩次軸對稱,上一個問題是求作使兩條線段和最小的一個點,而這個問題是求作使三條線段和最小的兩個點,拓寬了學(xué)生的思維空間,進(jìn)一步凸顯了軸對稱在解決“最短路徑問題”中的作用。
第四關(guān):如圖8所示,為了做好元旦期間的交通安全工作,自貢市交警執(zhí)勤小隊從[A]處出發(fā),先到公路[m]上設(shè)卡檢查,再到公路[n]上設(shè)卡檢查,最后再到達(dá)[B]處執(zhí)行任務(wù),他們應(yīng)如何走才能使總路程最短?畫出圖形并說明作法。
生4:如圖9所示,作點[A]關(guān)于直線[m]的對稱點[A′],作點[B]關(guān)于直線[n]的對稱點[B′],連接[A′B′]交直線[m]、[n]于[M]、[N]兩點,連接[AM]、[BN],則[AM]—[MN]—[NB]即為最短路線。
評析:這一關(guān)的問題在上一關(guān)問題的基礎(chǔ)上又增加了難度,上一關(guān)的問題是一個定點、兩條定直線,求作兩個動點,使形成三條線段的和最小,而這一關(guān)的問題是兩個定點、兩條定直線,求作兩個動點,使形成的四條線段的和最小。兩關(guān)的相同點是作兩次軸對稱,利用軸對稱“化折為直”,其底層邏輯仍是“兩點之間,線段最短”。其作圖的關(guān)鍵是找準(zhǔn)對稱軸,作出對稱點,繼而確定最短路徑。
第五關(guān):如圖10所示,直線[l1]、[l2]表示一條河的兩岸,且[l1]∥[l2],現(xiàn)要在這條河上建一座橋(橋與河的兩岸相互垂直),橋建在何處才能使從村莊[A]經(jīng)過河到村莊[B]的路線最短?畫出示意圖,并說明理由。
生5:如圖11所示,讓點[A]向上平移到點[A′],使[AA′]與河等寬,且[AA′]垂直于河岸,然后連接[BA′],與河岸的交點為[C],過點[C]作[CD]垂直于河岸,交另一河岸于點[D],則[CD]就是所求的橋的位置。理由:由作圖過程可知,[CD]與[AA′]相等且互相平行,所以四邊形[ADCA′]為平行四邊形,所以[A′C]可以看作是由[AD]平移得到,根據(jù)“兩點之間,線段最短”得[A′B]最小,由于河寬不變,[CD]即為橋。
評析:第五關(guān)與前面四關(guān)的不同點在于把平移也加入了作圖中,相當(dāng)于在第一關(guān)的基礎(chǔ)上由一條定直線變?yōu)閮蓷l平行的定直線,兩個固定點仍在固定直線的兩側(cè),此時需要把一個固定點通過平移得到它的對應(yīng)點,這個對應(yīng)點代替原來的點,然后利用“兩點之間,線段最短”求得最短路徑。第五關(guān)突出了平移在作圖中的作用,讓學(xué)生學(xué)會綜合應(yīng)用平移與軸對稱找最短路徑。
第六關(guān):如圖12所示,在銳角[△ABC]中,[AC=7 cm],[S△ABC=21 cm2],[AD]平分[∠BAC],[M]、[N]分別是[AD]和[AB]上的動點,求[BM+MN]的最小值并說明理由。
生6:根據(jù)題意畫出符合條件的圖形,作[N]關(guān)于[AD]的對稱點[R],則[BM+MN=BR],作[AC]邊上的高[BE]([E]在[AC]上),根據(jù)“垂線段最短”得出[BM+MN≥BE],所以[BE]的長就是[BM+MN]的最小值。如圖13所示,作[N]關(guān)于[AD]的對稱點[R],[作AC]邊上的高[BE]([E]在[AC]上),因為[AD]平分[∠BAC],[△ABC]為銳角三角形,所以點[R]必在[AC]上,因為[N]關(guān)于[AD]的對稱點為[R],由軸對稱的性質(zhì)得[MR=MN],所以[BM+MN=BM+MR],根據(jù)“垂線段最短”得[BM+MN=BR≥BE],因為[S△ABC=21 cm2],[AC=7 cm],所以[12×7×BE=21],解得[BE=6](cm),所以[BM+MN]的最小值為6 cm。
評析:本題的數(shù)學(xué)模型是兩動點、一定點、兩條定直線。雖然第三關(guān)的問題也是兩動點、一定點、兩條定直線,但是兩者的不同點在于雙方定點的位置不同,第六關(guān)的定點在其中一條定直線上,而第三關(guān)的定點在兩條定直線之間。雙方所求最小值的目標(biāo)也不同,第六關(guān)求兩條線段和的最小值,第三關(guān)求的是三條線段和的最小值。第六關(guān)顯然是第三關(guān)的升級版,其底層邏輯是“垂線段最短”,線段公理研究的是兩點之間的最短距離,而“垂線段最短”研究的是點到直線的最短距離。同時,本題還加入了“角是軸對稱圖形”這一知識點。
第七關(guān):如圖14所示,[A]、[B]兩個工廠位于一段直線形河的兩側(cè),[A]廠距離河邊[AC=5 km],[B]廠距離河邊[BD=1 km],經(jīng)測量[CD=8 km],現(xiàn)準(zhǔn)備在河邊某處(河寬不計)修一個污水處理廠[E]。(1)設(shè)[ED=x],請用[x]的代數(shù)式表示[AE+BE]的長;(2)為了使兩廠的排污管道最短,污水處理廠[E]的位置應(yīng)怎樣來確定?此時需要管道多長?(3)通過以上的解答,充分展開聯(lián)想,運用數(shù)形結(jié)合思想,求代數(shù)式[x2+9+(15-x)2+25]的最小值。
生7:(1)在Rt[△ACE]中,根據(jù)勾股定理可得[AE=(8-x)2+25],在Rt[△BDE]中,根據(jù)勾股定理可得[BE=x2+1],所以[AE+BE=(8-x)2+25+x2+1]。
(2)如圖15所示,根據(jù)“兩點之間,線段最短”可知,連接[AB],其與[CD]的交點就是污水處理廠[E′]的位置。過點[B]作[BF]垂直[AC]的延長線于點[F],則有[BF=CD=8],[CF=BD=1],所以[AF=AC+CF=6]。在[Rt△ABF]中,由勾股定理得[BA=AF2+BF2=62+82=10],所以最少需要管道1[0 km]。
(3)根據(jù)以上推理,可以構(gòu)造如圖16所示的圖形,設(shè)[ED=x],[BD=3],[CD=15],[AC=5],點[E]是[CD]上一動點,當(dāng)[A]、[E]、[B]三點共線時,[AE+EB]的值最小,等于[AB]的長。在Rt[△ABF]中,[AF=8],[BF=CD=15],由勾股定理得[AB=82+152=17],所以代數(shù)式[x2+9+(15-x)2+25]的最小值為17。
評析:這一關(guān)是利用幾何模型解決代數(shù)問題,是數(shù)形結(jié)合的典型案例,如何求得定直線兩側(cè)兩定點之間的最短距離,是一件簡單易行的事,但是利用幾何模型來求兩個二次根式和的最小值,卻不是一件容易的事。這一關(guān)解決了如何求兩個二次根式和的最小值的問題,這是本節(jié)課難度最大的一關(guān)。
二、教學(xué)反思
本節(jié)課以“生活情境—數(shù)學(xué)知識演繹—生活問題解決”為路徑進(jìn)行教學(xué),讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)源于生活又高于生活。
教材只是個例子,教師在精確把握教材中的重難點內(nèi)容的同時,要學(xué)會加工處理教材,為學(xué)生設(shè)計形式多樣、內(nèi)容新穎的情境,如本節(jié)課自編闖關(guān)游戲來驅(qū)動學(xué)生解決最短路徑問題,逐步化解難點,課程內(nèi)容由易到難、層層遞進(jìn),注重與基礎(chǔ)知識的銜接,注重不同知識點之間的融合,如軸對稱與平移、軸對稱與線段公理、軸對稱與垂線段最短,注重代數(shù)與幾何知識的融合,使學(xué)生真正掌握解決問題的方法。
情境教學(xué)有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,任務(wù)驅(qū)動教學(xué)有利于促進(jìn)學(xué)生思維螺旋式上升。本節(jié)課采用情境教學(xué)與任務(wù)驅(qū)動教學(xué)相結(jié)合的方法,以學(xué)生的自主探究為主,以學(xué)習(xí)小組的合作交流為輔。在真實情境下,學(xué)生先思考再討論最后動手,手眼腦協(xié)同作業(yè)。在將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程中,學(xué)生培養(yǎng)了綜合分析圖形的能力,思維得以由點到面地進(jìn)行發(fā)散。
[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]
[1]? 朱華平.最短路徑怎么找[J].初中生學(xué)習(xí)指導(dǎo),2021(29):34-35.
[2]? 王莉.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中關(guān)于數(shù)學(xué)建模的理解與路徑探究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2023(20):54-56.
[3]? 周濤.任務(wù)驅(qū)動在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2022(24):84-85.
(責(zé)任編輯 黃桂堅)