黃洪毅

【摘要】文章基于生活中鋪地磚的真實情境，組織學(xué)生開展項目式學(xué)習(xí)，用信息技術(shù)輔助學(xué)生進(jìn)行實驗探究，建立數(shù)學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)平面圖形鑲嵌的本質(zhì).教師在用科學(xué)方法解決現(xiàn)實問題的過程中，全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)與生活以及藝術(shù)之間的聯(lián)系，充分實現(xiàn)綜合實踐課的育人價值.

【關(guān)鍵詞】信息技術(shù)；核心素養(yǎng)；數(shù)學(xué)建模；項目式學(xué)習(xí)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》指出，綜合與實踐領(lǐng)域的教學(xué)活動，以解決實際問題為重點，以跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)為主，以真實問題為載體，適當(dāng)采用項目式學(xué)習(xí)的方式，通過綜合運用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識與方法解決真實問題，著力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識、實踐能力、社會擔(dān)當(dāng)?shù)染C合品質(zhì).在實際問題的解決中，創(chuàng)設(shè)合理的信息化學(xué)習(xí)環(huán)境，可以提升學(xué)生的探究熱情，開闊學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生的想象力.文章以“平面圖形的鑲嵌”為例，使用信息技術(shù)輔助學(xué)生進(jìn)行實驗探究，組織學(xué)生開展項目式學(xué)習(xí)，從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，探究問題本質(zhì)，建立數(shù)學(xué)模型，發(fā)展學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界、會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界、會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界的核心素養(yǎng).

一、教學(xué)背景分析

“平面圖形的鑲嵌”是北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊“綜合與實踐”的教學(xué)內(nèi)容，是在學(xué)生理解并掌握三角形、四邊形、多邊形及圖形的平移、旋轉(zhuǎn)與翻折等知識的基礎(chǔ)上，綜合運用所學(xué)知識解決現(xiàn)實生活中問題的重要知識載體.

基于核心素養(yǎng)發(fā)展理念，本節(jié)課采用項目式學(xué)習(xí)方式，引導(dǎo)學(xué)生從生活中鋪地磚的真實情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，提出平面圖形的鑲嵌問題.教師借助信息技術(shù)，使用拼圖軟件進(jìn)行分組探究，提高實驗效率，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；設(shè)計邏輯連貫、具有思維挑戰(zhàn)性的探究任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生開展系列化的數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生經(jīng)歷從數(shù)學(xué)角度觀察與分析、思考與表達(dá)、解決與闡述平面圖形鑲嵌問題的全過程，幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)與生活及藝術(shù)之間的聯(lián)系，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

二、教學(xué)過程

（一）會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界———抽象能力

1.發(fā)現(xiàn)問題

人們在房屋裝修時，需要選擇適當(dāng)?shù)牡卮u拼成各種美麗的圖案，觀察下面這些圖案，它們在拼接時有什么特點？

設(shè)計意圖：通過現(xiàn)實生活中的實際問題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，在實際生活中發(fā)現(xiàn)并抽象出數(shù)學(xué)的問題.

2.提出問題

生活中對地磚拼接最基本的要求是：地磚之間應(yīng)該嚴(yán)絲合縫，既無空白，也無重疊.

用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，就是平面圖形的鑲嵌或密鋪.

問題1：平面圖形鑲嵌的關(guān)鍵點是什么？

問題2：哪些平面圖形可以鑲嵌？怎樣開展研究？

設(shè)計意圖：問題1引導(dǎo)學(xué)生思考平面圖形鑲嵌的關(guān)鍵點，理解“無縫隙、不重疊、鋪成一片”這三個要素，從而得出平面圖形鑲嵌的概念，為后續(xù)研究做好準(zhǔn)備.問題2旨在用項目式學(xué)習(xí)的方法引導(dǎo)學(xué)生開展實驗研究，運用已有數(shù)學(xué)知識，用數(shù)學(xué)思維解決現(xiàn)實問題.

（二）會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界———推理能力

1.分析問題

本項目作為八年級下冊的一次綜合實踐教學(xué)活動，以現(xiàn)實生活中拼接地磚為背景，提出“平面圖形的鑲嵌”作為驅(qū)動型問題，引導(dǎo)學(xué)生規(guī)劃方案進(jìn)行實驗研究，將已經(jīng)學(xué)習(xí)過的三角形、四邊形、多邊形及圖形的平移、旋轉(zhuǎn)與翻折等知識融會貫通，建立數(shù)學(xué)模型，以解決現(xiàn)實生活中的問題.

設(shè)計意圖：分析問題，將現(xiàn)實生活中的實際問題轉(zhuǎn)化為應(yīng)用三角形、四邊形、多邊形及平面圖形的變換等數(shù)學(xué)問題，旨在培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和用數(shù)學(xué)思維解決問題的能力.

2.簡化問題

學(xué)生普遍缺乏解決實際問題和數(shù)學(xué)建模的經(jīng)驗，獨立開展項目式學(xué)習(xí)會變成漫無目的的探索，這就需要教師整體設(shè)計邏輯連貫、具有思維挑戰(zhàn)性的探究任務(wù).

設(shè)計意圖：簡化問題，從特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生分步實施數(shù)學(xué)探究活動，經(jīng)歷類比、模仿、自主創(chuàng)新，實現(xiàn)思維的發(fā)展.

探究1：僅用一種正多邊形進(jìn)行鑲嵌，在電腦軟件中進(jìn)行拼圖，完成實驗報告單，思考什么樣的正多邊形能完成單獨鑲嵌.

請同學(xué)們小組合作，在電腦上用實驗軟件完成拼圖，填寫以下實驗報告，并選派代表匯報實驗探究的結(jié)果.

【實驗步驟與觀察記錄】

探究2：允許用兩種正多邊形組合起來鑲嵌，由哪兩種邊長相等的正多邊形組合起來能鑲嵌成一個平面？

先嘗試用邊長相等的正三角形與正六邊形組合，探究能否鑲嵌成一個平面圖案，再從軟件中選擇其他兩種正多邊形進(jìn)行組合，試試看，尋找兩種正多邊形能夠鑲嵌的規(guī)律，如圖2所示.

探究3：允許用三種正多邊形組合起來鑲嵌，由哪三種邊長相等的正多邊形組合起來能鑲嵌成一個平面？完成下列表格.

探究4：非正多邊形（凸多邊形）能夠進(jìn)行平面鑲嵌嗎？說說你的理由.

探究5：查閱資料，觀看教師提供的埃舍爾平面圖形鑲嵌畫制作過程，設(shè)計一幅平面圖形鑲嵌圖.

設(shè)計意圖：學(xué)生普遍缺乏數(shù)學(xué)建模經(jīng)驗，教師引導(dǎo)學(xué)生按照從特殊到一般、從無序到有序的思路進(jìn)行探究，充分利用信息技術(shù)，指導(dǎo)學(xué)生利用拼圖軟件進(jìn)行探究1和探究2的活動，提高實驗效率，把精力花在用數(shù)學(xué)方法解析模型、尋找平面圖形鑲嵌本質(zhì)規(guī)律的過程中.接下來，學(xué)生類比探究1和探究2，完成探究3和探究4的活動，經(jīng)歷從模仿到自主創(chuàng)新的轉(zhuǎn)變.最后，以探究5的活動作為拓展，教師通過動畫展示埃舍爾由基本圖形經(jīng)過變換得到鑲嵌圖案的過程，幫助學(xué)生理解幾何變換的動態(tài)過程，并鼓勵學(xué)生動手操作設(shè)計鑲嵌圖案，親身體驗鑲嵌的過程及其帶來的美的感受.

（三）會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界———模型意識

1.建模、解模及檢驗

數(shù)學(xué)建模是基于數(shù)學(xué)思維運用模型解決實際問題的一類綜合實踐活動，數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動是綜合提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的載體.

探究1結(jié)論：通過對一種正多邊形的實驗探究，發(fā)現(xiàn)一種正多邊形能夠鑲嵌的規(guī)律是共頂點的各個角的度數(shù)之和等于360°.

分析檢驗：學(xué)生通過實驗操作，發(fā)現(xiàn)只有正三角形、正四邊形和正六邊形能完成單獨鑲嵌，與模型的解完全一致，如圖3所示.

探究2結(jié)論：通過對兩種正多邊形的實驗探究，發(fā)現(xiàn)兩種正多邊形能夠鑲嵌的規(guī)律依然是共頂點的各個角的度數(shù)之和等于360°.

建模與解模：設(shè)兩種正多邊形的內(nèi)角度數(shù)分別為x°，y°，個數(shù)分別為m和n.因為每個頂點處各個角度數(shù)之和等于360°，所以mx+ny=360，這是一個不定方程.

為了簡化問題，實驗中只給出了正三角形到正十邊形的圖形，通過求解，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)正三角形與正六邊形、正四邊形與正八邊形、正五邊形與正十邊形這三種組合滿足方程.

分析檢驗：學(xué)生通過實驗操作，驗證正三角形與正六邊形、正四邊形與正八邊形的組合能夠完成鑲嵌，但是對正五邊形與正十邊形的實驗結(jié)果產(chǎn)生了分歧，現(xiàn)場引發(fā)了激烈討論.

正方結(jié)論：正五邊形與正十邊形能夠鑲嵌，正五邊形的內(nèi)角為108°，正十邊形的內(nèi)角為144°，取2個正五邊形和1個正十邊形作為基本圖形，滿足2×108°+1×144°=360°，所以正五邊形與正十邊形能夠鑲嵌，如圖4所示.

反方結(jié)論：正五邊形與正十邊形不能完成鑲嵌，雖然正五邊形和正十邊形的組合使得方程有正整數(shù)解，但是在實際拼圖的過程中，不能鋪滿整個平面，會有縫隙或重疊出現(xiàn)，這不符合平面圖形鑲嵌的定義，所以正五邊形與正十邊形不能完成鑲嵌，如圖5所示.

通過辯論，學(xué)生明晰了平面圖形鑲嵌的概念，反方獲勝，同時意識到模型檢驗的重要性，積累解決生活中復(fù)雜問題的經(jīng)驗.

2.模型應(yīng)用

探究3結(jié)論：由探究1和探究2的數(shù)學(xué)模型，可以推出三種正多邊形鑲嵌要滿足的條件依然是同一個頂點處所有內(nèi)角的和為360°，直接應(yīng)用模型，得出正三角形、正四邊形和正六邊形可以完成鑲嵌，如圖6所示.

探究4結(jié)論：直接應(yīng)用由探究1和探究2得出的數(shù)學(xué)模型，共頂點處所有內(nèi)角和為360°，可以得出任意三角形都可以鑲嵌，事實上，可以把兩個三角形拼成一個平行四邊形，然后將平行四邊形上下疊放鋪滿整個平面，如圖7所示.任意四邊形也可以鋪滿整個平面，只需要標(biāo)注任意四邊形的內(nèi)角和為360°，把4個四邊形不同的對應(yīng)角進(jìn)行拼接，一起構(gòu)成360°，其他以此類推，如圖8所示.

通過查閱資料，學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以單獨鑲嵌的不規(guī)則的五邊形有15種，如圖9所示.能夠單獨鑲嵌的不規(guī)則的六邊形有3種，當(dāng)邊數(shù)大于等于7時，不規(guī)則多邊形不能單獨鑲嵌.

教師采用項目式學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)建模深度融合的方式，將核心素養(yǎng)的培養(yǎng)融入教學(xué)實踐.用數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)語言解決實際問題，不僅能夠鞏固學(xué)生對所學(xué)知識的理解，還可以強(qiáng)化學(xué)生探究學(xué)習(xí)的意識，促進(jìn)學(xué)生“三會”能力的培養(yǎng).教師最后布置的探究5的活動，充分發(fā)揮了學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力，使學(xué)生體會數(shù)學(xué)與藝術(shù)的完美結(jié)合，感受數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

三、教學(xué)思考

（一）任務(wù)驅(qū)動，實現(xiàn)思維自然生長

綜合與實踐活動課程源于現(xiàn)實生活中的真實問題情境，具有一定的復(fù)雜性和綜合性.學(xué)生普遍缺乏解決問題的經(jīng)驗，面對問題情境，往往不知從何處開始研究.本節(jié)課教師引導(dǎo)學(xué)生從平面圖形的鑲嵌中提取出問題，并對問題進(jìn)行分析和簡化，從特殊正多邊形到一般多邊形，從一種正多邊形到兩種正多邊形和三種正多邊形，建立秩序，帶領(lǐng)學(xué)生完成序列化的探究任務(wù)，發(fā)現(xiàn)平面圖形鑲嵌的本質(zhì)，理解數(shù)與形的轉(zhuǎn)化與聯(lián)系，實現(xiàn)思維的自然生長.

（二）信息助力，促進(jìn)數(shù)學(xué)建模與解模

在傳統(tǒng)的教學(xué)中，本節(jié)課是讓學(xué)生準(zhǔn)備大量全等的正多邊形紙片進(jìn)行拼圖，耗時耗力，打擊學(xué)生探究的積極性，且學(xué)生不易觀察到幾何圖形的動態(tài)變換.本節(jié)課充分使用信息技術(shù)，設(shè)計拼圖軟件，學(xué)生只需要在電腦上點擊鼠標(biāo)，即可輕輕松松完成一種正多邊形和多種正多邊形的拼接，極大地提高了課堂效率，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生把時間和精力用在探究上，尋找平面圖形鑲嵌的規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型并解釋模型和應(yīng)用模型，開闊學(xué)生的視野.

（三）項目式學(xué)習(xí)，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)

項目式學(xué)習(xí)提倡學(xué)生在“做中學(xué)”，以學(xué)生為中心，通過任務(wù)驅(qū)動，引導(dǎo)學(xué)生開展基于生活中真實問題的活動探究，最后小組匯報交流學(xué)習(xí)成果，有助于發(fā)展學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光發(fā)現(xiàn)和提出問題、用數(shù)學(xué)思維分析和解決問題、用數(shù)學(xué)語言描述和表達(dá)問題的素養(yǎng)，還有助于培養(yǎng)學(xué)生用整體的、發(fā)展的、聯(lián)系的眼光看待現(xiàn)實問題的能力.在整個項目式學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生有小組合作和分工，任務(wù)明確，參與度高，實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，感受到學(xué)習(xí)的意義和快樂.

結(jié) 語

教師利用信息技術(shù)促進(jìn)教與學(xué)方式變革，通過將問題簡化，從特殊到一般，從簡單到復(fù)雜，引導(dǎo)學(xué)生分步實施序列化的數(shù)學(xué)探究活動，經(jīng)歷類比、模仿到自主創(chuàng)新，實現(xiàn)思維的發(fā)展.這樣的項目式學(xué)習(xí)對于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)更有效.

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