廖子菊

（暨南大學(xué)數(shù)學(xué)系 廣東 廣州 510632）

線性代數(shù)是經(jīng)濟(jì)管理類各專業(yè)本科生的公共必修課程，通過本課程的學(xué)習(xí)，可有效培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維模式，并為其學(xué)習(xí)后續(xù)課程及進(jìn)一步擴(kuò)大知識面奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[1-2]。暨南大學(xué)的“線性代數(shù)（經(jīng)管類）”課程于本科階段第三學(xué)期面向全校經(jīng)管類學(xué)生開設(shè)，每年約有1500名學(xué)生修讀，其中內(nèi)招生和外招生約各占一半。這里內(nèi)招生是指國內(nèi)通過普通高考錄取進(jìn)入暨南大學(xué)就讀的本科生，外招生則指華僑學(xué)校自主命題聯(lián)招的港、澳、臺和海外地區(qū)的學(xué)生[3]。我們對內(nèi)、外招生采用相同的教學(xué)內(nèi)容，采用相同的教學(xué)大綱，期末考試則分開出題，一般情況下外招生試卷的難度會降低一個等級。盡管如此，近些年的教學(xué)實踐情況顯示，外招生班級的期末成績呈現(xiàn)出方差較大、不合格率偏高等難以令人滿意的情況。

通過分析總結(jié)，我們認(rèn)為原因是多方面的。從學(xué)生角度來說，外招生來自不同境外地區(qū)，他們的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)參差不齊，方差很大，其中部分同學(xué)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)較為薄弱；此外也有一些學(xué)生對數(shù)學(xué)課程的重要性認(rèn)識不足，產(chǎn)生蒙混過關(guān)的想法，不愿花力氣認(rèn)真學(xué)習(xí)。從教師的角度來說，由于學(xué)生基礎(chǔ)、能力差異較大，在教學(xué)進(jìn)度和教學(xué)內(nèi)容上很難兼顧全部學(xué)生，容易使部分跟不上教學(xué)進(jìn)度的學(xué)生對課程缺乏興趣或者產(chǎn)生畏難情緒。最后，從師生交流的角度，由于采用大課教學(xué)，每個班級人數(shù)在百人以上，加上教師授課班級通常不止一個，因此無法仔細(xì)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，課堂下交流也較少，很難形成良性互動。

基于以上問題，對線性代數(shù)課程進(jìn)行面向外招生的教學(xué)改革，更新教學(xué)理念及改進(jìn)教學(xué)方法，加強(qiáng)學(xué)生對基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識的理解，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新和實踐能力，更好地達(dá)到教學(xué)目的，從而實現(xiàn)價值塑造、能力培養(yǎng)、知識傳授三位一體的育人目標(biāo)，是非常有必要且急迫的。

1 教學(xué)改革探討

目前關(guān)于線性代數(shù)的課程教學(xué)改革國內(nèi)已積累了很多優(yōu)秀成果[4-6]，但這些成果是主要基于內(nèi)招生展開的，這里我們主要面向外招生并基于課程的特點(diǎn)，從教學(xué)設(shè)計、教學(xué)方法和教學(xué)反饋與評價三個方面談我們的一些想法與實踐。

1.1 教學(xué)設(shè)計

經(jīng)過多年的教學(xué)實踐，線性代數(shù)的內(nèi)容體系及教材編寫都是按照行列式、矩陣、向量組、線性方程組、矩陣的特征值、二次型、線性空間與線性變換的順序講授。這種組織方式完全符合學(xué)科邏輯體系，然而在教學(xué)中容易產(chǎn)生兩個問題。一是行列式的定義相對比較復(fù)雜，其計算量也較大，學(xué)生在高中階段沒有接觸過行列式的相關(guān)知識和應(yīng)用，對行列式的概念感覺陌生和抽象，因此從行列式開始講，對基礎(chǔ)較差的學(xué)生而言不容易迅速進(jìn)入課程的思維邏輯中；二是每個章節(jié)都有相對獨(dú)立的研究對象，課程各個模塊之間缺乏聯(lián)系紐帶，學(xué)生不容易理解各章節(jié)的內(nèi)在邏輯，對課程的內(nèi)容難有整體上的把握。實際上，我們知道，線性代數(shù)這門學(xué)科最初是從求解線性方程組發(fā)展而來的，因此，從線性方程組開始入手，一方面很容易將課程各模塊的知識點(diǎn)串聯(lián)起來，另一方面線性方程組與中學(xué)所學(xué)知識聯(lián)系密切，更便于學(xué)生理解。因此，我們對課程內(nèi)容體系重新進(jìn)行了組織，如圖1所示。由線性方程組的表示方法與Gauss-Jordan消元法，可以自然地引出矩陣及其初等行變換的概念；由線性方程組解的判別與解的表達(dá)式，可以引出行列式的定義及應(yīng)用；由線性方程組解的表達(dá)以及無窮多解時解的結(jié)構(gòu)，可以引出向量組及向量空間等相關(guān)知識。這樣，線性代數(shù)課程的內(nèi)容就可由線性方程組求解的計算和理論進(jìn)行融合，知識結(jié)構(gòu)更加清晰，學(xué)生對課程整體內(nèi)容也更加容易理解。至于其他內(nèi)容，特征值與二次型問題可以視作矩陣內(nèi)容的延伸及應(yīng)用（相似及合同），線性空間與線性變換則為向量空間的進(jìn)一步拓展。

圖1 線性代數(shù)課程知識體系

1.2 教學(xué)方法

線性代數(shù)課程的主要特點(diǎn)是概念及運(yùn)算律多，因此對邏輯思維能力的要求較高。在教學(xué)過程中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生容易對某些概念模糊不清，對相似知識點(diǎn)無法區(qū)別和聯(lián)系，無法做到舉一反三、融會貫通。通過在教學(xué)實踐中總結(jié)與分析這些問題，我們主要從以下幾個方面進(jìn)行教學(xué)方法的改進(jìn)：

首先要高度重視概念教學(xué)。線性代數(shù)的許多概念具有豐富的內(nèi)涵與廣泛的外延，需要分成若干個層次進(jìn)行講解，逐步提高和加深學(xué)生的認(rèn)識。比如線性代數(shù)的核心概念“秩”，幾乎貫穿于整門課程的內(nèi)容中。對于矩陣來說，它的秩即其行階梯形矩陣的非零行的行數(shù)；對于行列式而言，矩陣的秩可以由其最高階非零子式的階數(shù)來定義；對于向量組而言，它的秩即其極大線性無關(guān)組的向量個數(shù)。又如對于線性方程組而言，其解的判定需要依賴于其系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩；從線性空間與線性變換的角度，矩陣的秩實質(zhì)上也是其組成向量所張成的線性空間的維度，而當(dāng)將矩陣視作線性算子時，它的秩即為像空間的維度。因此，這類概念需要來回反復(fù)地給學(xué)生講解清楚，逐步加深學(xué)生對概念的理解。同時還要重視概念之間的邏輯關(guān)聯(lián)。例如n階矩陣可逆（非奇異）、矩陣的行列式不為零、矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形為單位陣、矩陣的行（列）向量組線性無關(guān)、矩陣滿秩、矩陣相應(yīng)的線性方程組有唯一解、矩陣的特征值全部非零、矩陣的行（列）向量構(gòu)成n維向量空間的一組基這些相關(guān)的命題實際上都是等價的，要重視引導(dǎo)學(xué)生掌握這些等價性背后的邏輯關(guān)聯(lián)。

其次，化抽象為具體，善于運(yùn)用簡單的例子闡述復(fù)雜的問題。在線性代數(shù)課程的講解中，應(yīng)理論與實例相結(jié)合，抽象與具體相結(jié)合，以加強(qiáng)學(xué)生對知識點(diǎn)的接受和理解。例如在講解行列式的定義時，先介紹二階和三階行列式的對角線法則，從這些公式中總結(jié)出運(yùn)算規(guī)律，然后推廣至n階行列式的一般定義，使學(xué)生經(jīng)歷由具體到抽象的一個思維過程；在講解逆矩陣的計算公式時，先求得二階矩陣的逆矩陣的一般計算公式作為一個可以記住的特例，然后再進(jìn)行高階矩陣逆的求解；在講解伴隨矩陣時，采用三階矩陣來驗證分析有關(guān)的性質(zhì)，而不是用教材中的n階矩陣進(jìn)行證明。再如，在講述相關(guān)定理時，既要給出必要的嚴(yán)謹(jǐn)證明，也要多使用通俗的語言去解釋該定理的含義。如在介紹向量組線性相關(guān)的判別定理時，可以用簡短的語言總結(jié)出規(guī)律，如“加長向量組不改變線性無關(guān)”“截短向量組不改變線性相關(guān)”等，便于學(xué)生記憶。舉例是教師在講授疑難知識點(diǎn)時應(yīng)重點(diǎn)運(yùn)用的教學(xué)方法。

再次，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識點(diǎn)的串聯(lián)和歸納。在線性代數(shù)課程的教學(xué)過程中，應(yīng)適時引導(dǎo)學(xué)生的發(fā)散性思維，對知識點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)。例如線性方程組解的情況的判別，既可以用克萊姆法則來判別解的存在唯一性，也可以通過系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩來判別；行列式的求解有多種方法，包括定義、矩陣的初等變換、使用代數(shù)余子式按行（列）展開進(jìn)行降階、利用歸納與遞推等方法；又如矩陣的等價（相抵）、相似、合同出現(xiàn)在課程的不同章節(jié)，它們既有區(qū)別又有聯(lián)系，同樣需要對其相關(guān)性質(zhì)和判別方法等知識點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)歸納。只有通過對現(xiàn)有知識的思考、總結(jié)和再加工，學(xué)生才能真正地把課本上的知識變成自己的知識，進(jìn)而學(xué)以致用。

最后，重視線性代數(shù)課程與經(jīng)管類專業(yè)課程的聯(lián)系。在每個章節(jié)適當(dāng)引入與線性代數(shù)知識相關(guān)的經(jīng)濟(jì)及管理應(yīng)用實例，可更好地引起學(xué)生對課程的重視，從而提升他們的學(xué)習(xí)興趣。如矩陣是經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)處理的一個常用工具，可用矩陣清晰地記錄貨物調(diào)運(yùn)方案、企業(yè)各種產(chǎn)品各個季度的產(chǎn)值、每個產(chǎn)品消耗原材料的定額等經(jīng)濟(jì)活動數(shù)據(jù)，便于后續(xù)的數(shù)據(jù)分析和處理；講解線性方程組的解法時，可以介紹列昂惕夫（Leontief）投入產(chǎn)出模型，該數(shù)學(xué)模型最終歸結(jié)到線性平衡方程組的求解；講解矩陣的相似對角化時，可以以動物種群增長模型為例引入等。通過這些應(yīng)用實例的講解，將線性代數(shù)的計算方法與具體問題的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行結(jié)合，拓展了學(xué)生的知識面，使得課程的內(nèi)容更加豐富。

1.3 教學(xué)反饋與評價

一門好的課程應(yīng)當(dāng)是使全部學(xué)生都能有所收獲，并盡可能滿足不同層次學(xué)生的求知欲。因此教師應(yīng)在教學(xué)過程中及時跟蹤學(xué)生的學(xué)習(xí)情況和反饋，以便對教學(xué)過程進(jìn)行動態(tài)調(diào)整。我們采取了如下一些手段。一是采用線上和線下混合的教學(xué)模式。通過創(chuàng)建課程群等方式，建立學(xué)生與教師溝通的渠道，鼓勵學(xué)生課后問問題，對學(xué)生提出的各種疑問耐心地解答。同時注意篩選網(wǎng)絡(luò)平臺的教學(xué)資源，挑選出與課程目標(biāo)相契合的輔助教學(xué)內(nèi)容，并在課程群中進(jìn)行推送，供學(xué)有余力的同學(xué)學(xué)習(xí)；此外，可自行錄制疑難知識點(diǎn)的補(bǔ)充講解視頻，發(fā)送給學(xué)生進(jìn)行預(yù)習(xí)或者自學(xué)，努力開拓第二學(xué)習(xí)課堂。二是加強(qiáng)作業(yè)和測試的反饋管理。在作業(yè)提交后，教師應(yīng)總結(jié)學(xué)生在練習(xí)中出現(xiàn)的常見錯誤并進(jìn)行重點(diǎn)講解；同時通過對學(xué)生作業(yè)完成度的檢查，了解班級學(xué)風(fēng)，對學(xué)習(xí)態(tài)度不認(rèn)真或者懈怠的現(xiàn)象進(jìn)行及時的糾正，保證所有同學(xué)能跟隨課程進(jìn)度及時消化課程內(nèi)容。最后，在測試方面，可充分利用雨課堂等教學(xué)平臺，合理地在課堂教學(xué)中設(shè)置一些選擇題給學(xué)生用手機(jī)進(jìn)行答題，既增強(qiáng)了師生之間的互動又能及時了解所有學(xué)生對知識點(diǎn)的掌握情況，以便實時地調(diào)整授課內(nèi)容與節(jié)奏。在完成一個模塊的學(xué)習(xí)之后，應(yīng)進(jìn)行課堂測試，并作為平時成績重要的一部分計入最終的總評成績。

2 結(jié)語

本文針對經(jīng)管類外招生跟內(nèi)招生在知識基礎(chǔ)、教育背景等方面存在差異，數(shù)學(xué)抽象思維能力相對偏弱的問題，對經(jīng)管類外招生線性代數(shù)課程的教學(xué)改革實踐進(jìn)行了總結(jié)，從教學(xué)內(nèi)容設(shè)計、教學(xué)方法和教學(xué)反饋與評價等方面進(jìn)行了探討。從教學(xué)實踐結(jié)果來看，這些措施產(chǎn)生了良好的效果，學(xué)生的積極性得到了提高，期末成績整體上也有一定的提升。當(dāng)然，線性代數(shù)的教學(xué)改革是一項系統(tǒng)工程，需要我們數(shù)學(xué)教育工作者不斷地研究、探討和改進(jìn)，以幫助學(xué)生更加高效地領(lǐng)會大學(xué)數(shù)學(xué)的知識體系，進(jìn)而提高其邏輯思維能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的實踐能力。