林國紅

(廣東省佛山市樂從中學)

1 問題的提出

高考英語中有一類“七選五”的試題,該題一般出現在試卷閱讀部分的第二節(jié),是一篇缺少5個句子的文章,提供7 個選項,要求學生根據文章的結構、內容,從文后的7個選項中選出5個最佳選項填入文中相應空白處,使文章完整、連貫通順.“七選五”試題中有2個多余選項(干擾選項),這類題既考查詞匯、語法和語篇知識,又考查分析、歸納和推理等思維能力,對學生來說有較大的挑戰(zhàn)性與難度.

在做“七選五”題時,若通過蒙題的方式做題,能做對多少題? 平均得分又是多少?

注:所謂的“蒙”題,是指這篇文章完全看不懂(或不看文章內容),在5個空白處隨便填入一個選項.

2 問題的數學化

“七選五”試題共有5道選擇題,給出7個選項,其中有2項是干擾項,學生從中選擇5項依次填入每道題中,每題只有一個正確選項.從數學的角度來說,就是從7個元素中取出5個的一個排列.學生對5道題全部隨機作答,記其答對的題數為X,求X的分布列與數學期望.下面利用數學中的計數原理及概率的相關知識,來說明“七選五”試題為什么不能蒙.

3 第一種蒙題方式的分析

在“七選五”試題中,每題只有一個正確選項,若不考慮同一選項被多次選擇的情況,對5道題全部隨機作答,記答對的題數為X,求X 的分布列與數學期望.

3.1 問題的思路分析

不妨假設正確答案為ABCDE,假設某學生答對3道題,那么可以先鎖定他答對的3道題(如ABCXX,其中XX 表示兩個答錯的選項),有種情形;然后只需考慮從剩下4個選項中選2個,與DE 的排列不符合的情況數(設有K種情形),所以答對3道題的有種情形.

根據這個思路,可以定義一種運算:設定m個不同的元素中的n個給定元素有一種人為規(guī)定的排列方式,從這m個元素中任選n個進行排列(即m選n,m≥n),記其中恰有p個元素處在規(guī)定位置的方法數為S(m,n,p).

例如,在“七選五”的題型中,假設正確的答案為ABCDE的前提下,則ABCEF 滿足m＝7,n＝5,p＝3;BCGFA 滿足m＝7,n＝5,p＝0.顯然,S(2,2,1)＝0,S(2,2,0)＝S(2,2,2)＝1,……

在“七選五”的題型中,根據前述的思路與定義運算,若學生答對3道題,則有

此時,很容易得到三條運算規(guī)則:

3.2 問題的解答過程

在“七選五”的題型中,設離散型隨機變量X表示蒙對的題數,則X∈{0,1,2,3,4,5}.從7個選項中選出5個按一定順序填入5個空位,所有可能的情況的種數為

當X＝5時,即全都做對的情況為

當X＝4時,即做對4題的情況為

且可得S(3,1,0)＝2.

當X＝3時,即做對3題的情況

且S(4,2,0)＝7.

當X＝2時,即做對2題的情況

當X＝1時,即做對1題的情況

當X＝0時,即做對0題(全錯)的情況

表1

為了便于觀察,可以對概率進行近似計算,以百分數表示X的近似概率分布列,如表2所示.

表2

3.3 問題的結論

根據X的概率分布列,可以得出以下結論:

(1)全蒙錯的概率約為48.17%,也就是說,有接近一半的概率一分也得不到;

(2)概率隨著蒙對個數的增大迅速減小,全蒙對的概率僅有0.04%;

(3)計算出X的數學期望(即均值)為

(4)由于“七選五”的題型中,每題2.5分,設離散型隨機變量G表示這道“七選五”的得分,則E(G)＝,平均得分僅約為1.79分,也就是說平均蒙對的題的個數不到1個.

4 第二種蒙題方式的分析

既然第一種“蒙”題方式的期望得分如此低,那么能不能用另一種蒙題的方式,即從7個選項中隨機選出1個,然后五個空都填這個選項(比如五個空都填A),使得得分更高?

顯然,改變蒙題的方式后,隨機變量X服從兩點分布,其分布列如表3所示.

表3

此時X的數學期望(即均值)為

所以改變蒙題的方式后,X的數學期望、平均得分與第一種蒙題的方式沒有區(qū)別,得分相同.

通過對兩種蒙題方式的分析,可以知道:

(1)高考英語“七選五”題型的設置是科學的,能有效防止通過蒙題的方式得到高分;

(2)英語的“七選五”題采用蒙題的方式答題,其期望得分是非常低的,所以蒙題是非常不明智的舉措,如果你不想落入這種窘況,那就只有好好學習了.

5 進一步思考

根據前述的運算性質,可以得到

因此,在“m選n”的問題中,答對題數的數學期望是

(完)