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        二項(xiàng)式定理在知識(shí)交會(huì)處的應(yīng)用

        2023-03-09 22:52:45劉海濤
        高中數(shù)理化 2023年1期
        關(guān)鍵詞:二項(xiàng)式除數(shù)時(shí)應(yīng)

        劉海濤

        (安徽省蕪湖市第一中學(xué))

        1 求近似值

        方法指導(dǎo)1)當(dāng)a的絕對(duì)值很小,且n不太大時(shí),常用近似公式(1+a)n≈1+na,因?yàn)檫@時(shí)二項(xiàng)展開(kāi)式的后面部分很小,可以忽略不計(jì).類似地,有(1-a)n≈1-na.使用上述兩個(gè)公式時(shí)應(yīng)注意a滿足的條件,以及題目對(duì)計(jì)算精確度的要求.

        2)對(duì)于有些求近似值的問(wèn)題,我們常構(gòu)造(b+c)n或(b-c)n,然后利用二項(xiàng)式定理來(lái)計(jì)算.

        例1求1.029的近似值(精確到小數(shù)點(diǎn)后三位).

        2 整除或余數(shù)問(wèn)題

        方法指導(dǎo)1)利用二項(xiàng)式定理解決整除問(wèn)題,通常把底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)有密切關(guān)系的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式,再利用二項(xiàng)式定理展開(kāi).

        2)解決求余數(shù)問(wèn)題,要構(gòu)造一個(gè)與題目條件有關(guān)的二項(xiàng)式.

        例2設(shè)a∈Z,且0≤a≤16,若42020+a能被17整除,則a的值為( ).

        A.1 B.4 C.13 D.16

        因?yàn)?1和72均能被9整除,所以8011被9除的余數(shù)為8,故選C.

        3 證明不等式

        方法指導(dǎo)1)通過(guò)二項(xiàng)式定理的正用與逆用,結(jié)合不等式證明的方法進(jìn)行論證.

        2)應(yīng)用二項(xiàng)式定理時(shí)應(yīng)注意巧妙構(gòu)造二項(xiàng)式.

        3)證明不等式時(shí),應(yīng)注意運(yùn)用放縮法.

        例4請(qǐng)利用二項(xiàng)式定理證明:3n>2n2+1(n≥3,n∈N?).

        4 求代數(shù)式的值

        5 與導(dǎo)數(shù)知識(shí)的交會(huì)

        例6已知(x+2)10=a0+a1x+…+a10x10,則(a1+3a3+…+9a9)2-(2a2+4a4+…+10a10)2的值為_(kāi)_______.

        令x=1,得10×39=a1+2a2+…+10a10.

        令x=-1,得10=a1-2a2+…-10a10.

        于是

        分別賦值x=1,x=-1,即可解題.

        6 與數(shù)列知識(shí)的交會(huì)

        (完)

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