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        盤點二項式定理中的“系數(shù)”問題

        2023-03-09 22:52:45鄧高宣
        高中數(shù)理化 2023年1期
        關(guān)鍵詞:項為展開式二項式

        鄧高宣

        (湖北省恩施市第三高級中學)

        二項式定理在近幾年的高考中多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),涉及的題型主要有求展開式中的特定項、求特定項的系數(shù)、整除(求余)、求近似值等問題.本文就二項式定理中的“系數(shù)”問題加以歸類和解析.

        1 利用二項展開式通項公式求特定項的系數(shù)

        變式二項式的展開式中常數(shù)項為-20,則含x4項的系數(shù)為( ).

        A.-6 B.-15 C.6 D.15

        2 求多個二項式的和(或積)展開式中特定項的系數(shù)

        例2(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)10展開式中x3的系數(shù)為_________.

        例3(x+y-2z)5的展開式中xy2z2的系數(shù)是( ).

        A.120 B.-120 C.60 D.30

        例4(x+y)(2x-y)6的展開式中x4y3的系數(shù)為( ).

        A.-80 B.-40 C.40 D.80

        例5已 知(x+1)6=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a6(x-1)6,則a2=________.

        (t+2)6=a0+a1t+a2t2+…+a6t6,故

        3 求多項式展開式中各項的系數(shù)之和或某些項的系數(shù)之和

        例6已知(1+x)(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,則a1+a2+…+a7=( ).

        A.-2 B.-3 C.125 D.-131

        變式已知(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,則|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=_________.

        4 求二項式展開式中系數(shù)最大的項

        例7若展開式中前三項的二項式系數(shù)之和為79,求展開式中系數(shù)最大的項.

        設(shè)Tk+1項的系數(shù)最大,因為

        解得9.4≤k≤10.4,又k=1,2,…,12,所以k=10,則展開式中系數(shù)最大的項為T11,故

        變式若展開式中各項系數(shù)之和大于8,但小于32,則展開式中系數(shù)最大的項為________.

        5 求二項式展開式中與系數(shù)有關(guān)的參數(shù)

        例8已知(2+ax)(1-2x)5的展開式中含x2項的系數(shù)為70,則實數(shù)a的值為( ).

        A.1 B.-1

        C.2 D.-2

        由于(2+ax)(1-2x)5=2(1-2x)5+ax(1-2x)5,據(jù)此可知含x2項的系數(shù)為

        結(jié)合題意可知80-10a=70,解得a=1,故選A.

        變式1若的二項展開式中x3的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

        總之,對于二項式定理“系數(shù)”的考查,主要題型有求特定項的系數(shù)(二項式系數(shù))、求系數(shù)(二項式系數(shù))的最大(或最小)項、與系數(shù)有關(guān)的參數(shù)問題以及綜合應(yīng)用等.我們在解答與二項式定理系數(shù)有關(guān)的問題時,一般是先利用通項公式進行化簡,根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)系式,然后再利用其他相關(guān)知識來求解.

        (完)

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