鄧高宣
(湖北省恩施市第三高級(jí)中學(xué))
二項(xiàng)式定理在近幾年的高考中多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),涉及的題型主要有求展開(kāi)式中的特定項(xiàng)、求特定項(xiàng)的系數(shù)、整除(求余)、求近似值等問(wèn)題.本文就二項(xiàng)式定理中的“系數(shù)”問(wèn)題加以歸類和解析.
變式二項(xiàng)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為-20,則含x4項(xiàng)的系數(shù)為( ).
A.-6 B.-15 C.6 D.15
例2(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)10展開(kāi)式中x3的系數(shù)為_(kāi)________.
例3(x+y-2z)5的展開(kāi)式中xy2z2的系數(shù)是( ).
A.120 B.-120 C.60 D.30
例4(x+y)(2x-y)6的展開(kāi)式中x4y3的系數(shù)為( ).
A.-80 B.-40 C.40 D.80
例5已 知(x+1)6=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a6(x-1)6,則a2=________.
(t+2)6=a0+a1t+a2t2+…+a6t6,故
例6已知(1+x)(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,則a1+a2+…+a7=( ).
A.-2 B.-3 C.125 D.-131
變式已知(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,則|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=_________.
例7若展開(kāi)式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為79,求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).
設(shè)Tk+1項(xiàng)的系數(shù)最大,因?yàn)?/p>
解得9.4≤k≤10.4,又k=1,2,…,12,所以k=10,則展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T11,故
變式若展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和大于8,但小于32,則展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為_(kāi)_______.
例8已知(2+ax)(1-2x)5的展開(kāi)式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為70,則實(shí)數(shù)a的值為( ).
A.1 B.-1
C.2 D.-2
由于(2+ax)(1-2x)5=2(1-2x)5+ax(1-2x)5,據(jù)此可知含x2項(xiàng)的系數(shù)為
結(jié)合題意可知80-10a=70,解得a=1,故選A.
變式1若的二項(xiàng)展開(kāi)式中x3的系數(shù)為(用數(shù)字作答).
總之,對(duì)于二項(xiàng)式定理“系數(shù)”的考查,主要題型有求特定項(xiàng)的系數(shù)(二項(xiàng)式系數(shù))、求系數(shù)(二項(xiàng)式系數(shù))的最大(或最小)項(xiàng)、與系數(shù)有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題以及綜合應(yīng)用等.我們?cè)诮獯鹋c二項(xiàng)式定理系數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí),一般是先利用通項(xiàng)公式進(jìn)行化簡(jiǎn),根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)系式,然后再利用其他相關(guān)知識(shí)來(lái)求解.
(完)