尹亞南

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》倡導(dǎo)教師在教學(xué)實踐中重視教、學(xué)、評的一致性?！澳嫦蚪虒W(xué)”模式在確定教學(xué)活動之前，率先實施教學(xué)評估，此種以終為始的教學(xué)理念更關(guān)注教學(xué)過程與教學(xué)評價的相關(guān)性，將該模式應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中，有利于教師及時反饋學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，從而促進數(shù)學(xué)課程教、學(xué)、評的一致。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用逆向教學(xué)模式，教師應(yīng)重構(gòu)教學(xué)體系，將“結(jié)果是什么、學(xué)生需要什么”作為教學(xué)起點，將“預(yù)期結(jié)果→評估證據(jù)→學(xué)習(xí)體驗”作為課程教學(xué)的流程，以學(xué)生為主體設(shè)置能夠促進學(xué)生學(xué)習(xí)的教學(xué)活動或任務(wù)，在提升學(xué)生主體地位的基礎(chǔ)上協(xié)調(diào)教、學(xué)、評三者之間的關(guān)系。

一、確定預(yù)期結(jié)果

（一）研讀課程標(biāo)準(zhǔn)

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，“函數(shù)概念”被看作一個核心概念，課標(biāo)要求學(xué)生在初中學(xué)習(xí)經(jīng)驗的基礎(chǔ)上應(yīng)用集合語言與對應(yīng)關(guān)系去描述函數(shù)，了解函數(shù)的構(gòu)成要求，應(yīng)用函數(shù)概念去計算函數(shù)的定義域，從而構(gòu)建完善的函數(shù)概念知識體系。

（二）梳理教學(xué)內(nèi)容

在高一學(xué)段，函數(shù)概念教學(xué)內(nèi)容起著承上啟下的作用，一方面連接了學(xué)生初中階段所接觸的函數(shù)概念知識，另一方面連接了學(xué)生學(xué)習(xí)過的集合知識，所以函數(shù)概念教學(xué)能夠幫助學(xué)生構(gòu)建一個完整的知識結(jié)構(gòu)，并為學(xué)生后續(xù)的冪函數(shù)、指數(shù)與對數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)的學(xué)習(xí)做好鋪墊。課程所涉及的重點知識為函數(shù)概念及其三要素，即定義域、值域以及對應(yīng)法則。

（三）確定預(yù)期結(jié)果

雖然通過研讀課程標(biāo)準(zhǔn)、梳理教學(xué)內(nèi)容兩個環(huán)節(jié)已經(jīng)初步確定了預(yù)期的學(xué)習(xí)結(jié)果，但如何科學(xué)、準(zhǔn)確地續(xù)寫出來，使教師明確學(xué)生學(xué)習(xí)所要達到的程度尤為重要，這也是逆向教學(xué)模式中確定預(yù)期學(xué)習(xí)結(jié)果最重要的一環(huán)?，F(xiàn)階段國內(nèi)教育領(lǐng)域在確定預(yù)期“教”與“學(xué)”結(jié)果的過程中主要以“行為目標(biāo)”為主，其優(yōu)點在于續(xù)寫的方式清晰，更具可操作性，適用于課時的實際應(yīng)用。從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度來看，“行為目標(biāo)”涵蓋四個要素，分別為對象、行為、條件以及標(biāo)準(zhǔn)，通常將其簡稱為ABCD模式，在教學(xué)函數(shù)概念時，基于ABCD模式確定預(yù)期結(jié)果：

A——對象。課程教學(xué)的對象為學(xué)生，所以續(xù)寫預(yù)期學(xué)習(xí)結(jié)果的過程中應(yīng)將學(xué)生的學(xué)習(xí)行為作為切入點，在函數(shù)概念中，經(jīng)歷本節(jié)課程的學(xué)習(xí)，應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，幫助學(xué)生養(yǎng)成清晰、有條理地表述問題與解決問題的習(xí)慣，使學(xué)生的數(shù)學(xué)表達能力得到提升。B——行為。行為主要指學(xué)生完成學(xué)習(xí)任務(wù)后可以觀察和評測的行為表現(xiàn)，即對學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)概念后可以做什么的具體描述。經(jīng)歷本節(jié)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能理解函數(shù)的定義，掌握函數(shù)的三要素，如定義域的求法、值域的求法等。C——條件。條件主要指說明上述行為在何種條件下產(chǎn)生。在本節(jié)課程中，學(xué)生通過回顧初中階段的函數(shù)概念能夠理解高中階段概述的定義，從變量觀轉(zhuǎn)向集合觀，學(xué)生通過生活化的問題理解函數(shù)概念中所存在的對應(yīng)關(guān)系等。D——標(biāo)準(zhǔn)。標(biāo)準(zhǔn)主要指向?qū)υu定上述學(xué)習(xí)行為是否合格的標(biāo)準(zhǔn)進行規(guī)定。在本節(jié)課程中，學(xué)生能夠分清常量與變量；學(xué)生能夠正確地找出函數(shù)的定義域與值域；學(xué)生能夠規(guī)范化地應(yīng)用函數(shù)表達式去解決實際問題等。

若想呈現(xiàn)一個科學(xué)的“預(yù)期結(jié)果”，教師應(yīng)從課標(biāo)、內(nèi)容、續(xù)寫三個方面綜合考慮，如此才能高效地啟動函數(shù)概念的逆向教學(xué)。

二、設(shè)定評估證據(jù)

（一）成就水平劃分

1.記憶

指學(xué)生能夠從以往的記憶中提取知識。高一的學(xué)生在學(xué)習(xí)高中函數(shù)概念之前，在義務(wù)教育階段已經(jīng)接觸了基于變量觀的函數(shù)概念，但學(xué)生利用這一函數(shù)概念并不能解決部分實際問題，所以產(chǎn)生了對函數(shù)概念進一步學(xué)習(xí)的欲望。在學(xué)習(xí)進階視角下“記憶”階層更側(cè)重學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗的總結(jié)與歸納，學(xué)生通過總結(jié)以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，并將其作為基礎(chǔ)開展高一函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，實現(xiàn)新舊函數(shù)概念的有效銜接。

2.理解

指學(xué)生能夠了解和掌握某一數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵、意義。高一學(xué)段的學(xué)生經(jīng)歷函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，對函數(shù)概念的理解需要從以往的變量觀過渡為集合觀，即從集合與對應(yīng)關(guān)系的角度去理解函數(shù)概念、三要素以及函數(shù)符號所代表的數(shù)學(xué)意義。

3.應(yīng)用

指在某一特定的問題情境中學(xué)生能夠應(yīng)用數(shù)學(xué)程序去解決問題。在函數(shù)概念教學(xué)中，“應(yīng)用”泛指學(xué)生能夠判斷對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)、同一函數(shù)，通過具體的計算求出函數(shù)的定義域、值域。

4.分析

指學(xué)生針對某一知識點所開展的具有辨析性的學(xué)習(xí)活動，在參與活動的過程中，學(xué)生通過辨析與思考能夠進一步了解某一知識的內(nèi)涵。在函數(shù)概念教學(xué)中，“分析”泛指學(xué)生從運動與集合的角度去思考初、高中函數(shù)概念之間的聯(lián)系，通過概念對比實現(xiàn)邏輯思維能力的提升。

5.創(chuàng)造

指學(xué)生在現(xiàn)階段學(xué)習(xí)成就水平的基礎(chǔ)上完成以往無法完成的成就。在函數(shù)概念教學(xué)中，“創(chuàng)造”泛指學(xué)生在掌握函數(shù)概念后能夠獨立、正確地解決與函數(shù)概念相關(guān)的問題，并能夠從集合觀去思考與函數(shù)概念相關(guān)的問題。

（二）評估證據(jù)設(shè)定

將成就水平劃分作為基礎(chǔ)，以“本原→價值”的方式基于學(xué)習(xí)進階視角構(gòu)建“函數(shù)概念”的評估證據(jù)框架：①記憶：回顧初中階段所學(xué)習(xí)的函數(shù)概念與相關(guān)知識→新舊函數(shù)概念的銜接，在學(xué)習(xí)過程中能夠分清楚常量與變量。②理解：基于集合觀理解函數(shù)概念的內(nèi)涵→在特定的學(xué)習(xí)活動中找到變量間存在的關(guān)系。③應(yīng)用：掌握“y=f（x），x∈A”中各字母所代表的數(shù)學(xué)意義，掌握定義域、值域、對應(yīng)法則以及函數(shù)表達式的應(yīng)用→在特定的問題情境中正確地找到函數(shù)的定義域和值域，并應(yīng)用函數(shù)表達式規(guī)范地解決具體的問題。④分析：區(qū)分初、高中兩個學(xué)段的函數(shù)概念，構(gòu)建完整的知識體系→通過新舊知識的銜接，基于集合觀分析特定問題情境中的函數(shù)關(guān)系。⑤創(chuàng)造：全面掌握函數(shù)概念→應(yīng)用函數(shù)概念體系解決生活中或教材中除例題以外的，存在一定難度的實際問題。

三、規(guī)劃學(xué)習(xí)體驗

（一）記憶——問題引導(dǎo)知識回顧

首先，教師創(chuàng)設(shè)問題情境：“同學(xué)們回憶一下初中階段我們學(xué)習(xí)過的函數(shù)概念?！薄俺踔须A段，我們學(xué)習(xí)了哪些函數(shù)？”與學(xué)生共同回顧初中階段學(xué)習(xí)過的函數(shù)概念，此環(huán)節(jié)中教師結(jié)合學(xué)生回答的內(nèi)容做適當(dāng)?shù)陌鍟源藥椭鷮W(xué)生鞏固初中階段所學(xué)習(xí)的函數(shù)知識。其次，教師板書具體的問題鼓勵學(xué)生嘗試解決問題，板書①：“y=2，x∈R”，教師與學(xué)生交互：“同學(xué)們請看黑板，判斷板書內(nèi)容是否是一個函數(shù)？”板書②：“y=x，y=■”，教師與學(xué)生交互：“你認(rèn)為y=x與y=■所表達的是否為一個函數(shù)？”此環(huán)節(jié)中，教師通過設(shè)定問題情境使學(xué)生的意見產(chǎn)生分歧，借機評價學(xué)生是否能夠區(qū)分變量與常量，同時還能為學(xué)生新舊知識的有效銜接創(chuàng)設(shè)良好的契機。當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)已經(jīng)無法應(yīng)用初中所學(xué)知識解決問題、證明觀點時，對函數(shù)概念的認(rèn)知將會得到潛移默化的轉(zhuǎn)變，而此種轉(zhuǎn)變能為后續(xù)教學(xué)環(huán)節(jié)中學(xué)生順利地接受集合觀的函數(shù)概念奠定良好的基礎(chǔ)。

（二）理解——聚焦實例引出概念

1.實例呈現(xiàn)

為使學(xué)生能夠體會到函數(shù)概念中所存在的對應(yīng)關(guān)系，教師需要借助生活實例，用以承載函數(shù)概念?！耙阎幻杜趶椀纳涑谈叨葹?45 m，炮彈發(fā)射后經(jīng)過26 s后落至地面并擊中目標(biāo)。在這一實例中，地面的高度h隨著時間t的變化規(guī)律為130 t-5 t2，求t的變化范圍與h的變化范圍，是否可以應(yīng)用集合的方式分別表示變量h與變量t？”并給予班級學(xué)生一定的思考時間，待學(xué)生能夠應(yīng)用集合的方式表示兩個變量A=t|0≤t≤26、B=h|0≤h≤845后，教師提出“對于集合A中的任意一個時間t在集合B中是否有唯一的高度h與其對應(yīng)？”的教學(xué)問題，學(xué)生現(xiàn)有的知識水平很難做出回答。所以此環(huán)節(jié)中，教師可以利用幾何畫板為學(xué)生呈現(xiàn)炮彈發(fā)射時間與發(fā)射高度之間對應(yīng)關(guān)系的動態(tài)視頻，使學(xué)生能夠直觀地感知兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，從而達成滲透集合與對應(yīng)的觀點，幫助學(xué)生轉(zhuǎn)化思維。

2.概念引出

在動態(tài)視頻演示后，教師引導(dǎo)學(xué)生思考、總結(jié)實例中存在的數(shù)學(xué)規(guī)律“兩個數(shù)集間存在一種對應(yīng)關(guān)系”，并引出本節(jié)課程的核心概念——函數(shù)。結(jié)合實例，學(xué)生能夠理解“對于數(shù)集A的每一個t，按照某種對應(yīng)關(guān)系f，在數(shù)集B中均有唯一確定的h與其對應(yīng)，可以將其記作f：A→B”，但這一定義并非完整的函數(shù)概念，所以本環(huán)節(jié)中教師仍需引導(dǎo)學(xué)生“在生活實例之中的集合是否存在空集”，并將初始階段的t與h用x與y替代，從而通過師生交互引出完整的概述概念，使學(xué)生能夠感知函數(shù)概念的建立過程。

3.概念辨析

若想使學(xué)生全面理解函數(shù)概念，教師還需將函數(shù)概念的內(nèi)容作為基礎(chǔ)從四個方面指導(dǎo)學(xué)生明確函數(shù)概念的內(nèi)涵。其一，在函數(shù)概念中定義在集合上的一個函數(shù)f所表示的是變量y與x之間的對應(yīng)關(guān)系，但在實例中這種對應(yīng)關(guān)系不止一種；其二，對于函數(shù)概念中的y=f（x），f與x二者之間并非屬于乘積關(guān)系，所指為x對應(yīng)的函數(shù)值。其三，對于函數(shù)概念中的f（x）屬于一個數(shù)學(xué)符號，指的是“y是x的函數(shù)”，對于一個數(shù)學(xué)符號，同樣可以應(yīng)用h（x）、d（x）等表示函數(shù)，并非僅局限于f（x）。其四，函數(shù)的三要素涵蓋定義域、值域以及對應(yīng)關(guān)系，如果能夠確定其中兩個要素，那么第三個要素也能確定。為使學(xué)生深層理解函數(shù)三要素，教師可以利用多媒體設(shè)備為學(xué)生呈現(xiàn)初中階段的三種函數(shù)圖象，分別為一次函數(shù)、二次函數(shù)以及反比例函數(shù)，如二次函數(shù)，基于高中函數(shù)三要素視角對其分析：對應(yīng)關(guān)系應(yīng)為“y=ax2+bx+c（a≠0）”；定義域為“R”；值域為“當(dāng)a＞0y|y≥■，當(dāng)a＜0y|y≤■”。

（三）應(yīng)用——例題演練知識遷移

在學(xué)生理解函數(shù)概念之后，教師應(yīng)及時開展例題演練，使學(xué)生能夠?qū)⒑瘮?shù)概念內(nèi)化到知識框架中，也可以優(yōu)先選擇教材中的例題展開教學(xué)，或者借助網(wǎng)絡(luò)渠道中的優(yōu)質(zhì)課例甄選例題，并在學(xué)生解題的過程中了解學(xué)生對函數(shù)概念的掌握情況，考查學(xué)生是否能夠?qū)W以致用。例如，教師呈現(xiàn)“g（x）=■”，要求學(xué)生利用所學(xué)知識求出函數(shù)的定義域，呈現(xiàn)“f（x）=■”，要求學(xué)生求出函數(shù)f（x）值域等。

（四）分析——初高概念異同對比

在函數(shù)概念教學(xué)中，對初中、高中兩個學(xué)段函數(shù)概念異同的對比能夠再次強化學(xué)生的新舊知識銜接效果，幫助學(xué)生進一步從變量觀過渡到集合觀，從而使學(xué)生建立完整、清晰的函數(shù)概念框架。初高中函數(shù)概念相同之處主要在于對應(yīng)關(guān)系滿足的條件相同，即唯一性和任意性，不同之處主要在于初中階段所針對的是變量與變量之間的依賴關(guān)系，而高中階段的函數(shù)概念是兩個非空集合的對應(yīng)關(guān)系。

（五）創(chuàng)造——布置練習(xí)促進應(yīng)用

根據(jù)評估證據(jù)，在函數(shù)概念教學(xué)的最后一個階段，教師應(yīng)為學(xué)生布置與函數(shù)概念相關(guān)的、具有一定難度的練習(xí)題目，要求學(xué)生結(jié)合已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗自主完成練習(xí)題目。一方面，教師可以將練習(xí)題目作為隨堂練習(xí)，利用課堂教學(xué)冗余時間結(jié)合學(xué)生的習(xí)題完成情況評價學(xué)生的知識應(yīng)用能力、評價學(xué)生是否全面地掌握了函數(shù)概念。另一方面，教師可以將練習(xí)題目作為課后作業(yè)，通過批閱了解學(xué)生的函數(shù)概念知識掌握情況。

綜上所述，逆向教學(xué)模式的應(yīng)用關(guān)鍵在于立足預(yù)期的學(xué)習(xí)結(jié)果設(shè)定評估證據(jù)，將評估證據(jù)作為基礎(chǔ)規(guī)劃學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗，在評估證據(jù)設(shè)定階段本文引用了學(xué)習(xí)進階的一般模型，即“記憶→理解→應(yīng)用→分析→創(chuàng)造”，在這一模型的指導(dǎo)下，所設(shè)定的評估證據(jù)、所規(guī)劃的學(xué)習(xí)體驗也將具備一定的進階屬性，能夠進一步提升函數(shù)概念課程“教”與“學(xué)”的實效。

（作者單位：江蘇省徐州市第一中學(xué)）

編輯：溫雪蓮