楊宏英 廣東省深圳市育新學校

數(shù)學概念是人類對現(xiàn)實世界數(shù)量關系和空間形式的概括反映，是建立數(shù)學法則、公式、定理的基礎，也是運算、推理、判斷和證明的基石，更是數(shù)學思維、數(shù)學交流的工具。[1]數(shù)學概念作為數(shù)學核心知識與數(shù)學思想方法的載體，一部分來源于現(xiàn)實世界，是由現(xiàn)實世界的事物、現(xiàn)象及其關系抽象而產生（函數(shù)與圓），另一部分來自數(shù)學內部，是通過對已有數(shù)學對象的本質進行再抽象、組合或拓展而得到的進一步概念（復數(shù)與極限）。

準確認識和理解概念，是數(shù)學教學的一個難點。如果教師能夠借助信息技術合理創(chuàng)設情境，讓學生積極參與到學習中，那么學生對概念的理解將更加深入。[2]創(chuàng)設數(shù)學情境可以彌補直接傳授結論的局限，為數(shù)學的學術形態(tài)轉變?yōu)榻逃螒B(tài)提供自然的通道，為數(shù)學的呈現(xiàn)方式轉變?yōu)閿?shù)學的生成方式提供具體的環(huán)境，有利于實現(xiàn)知識“再創(chuàng)造”。[3]

下面，筆者以“十四五”職業(yè)教育國家規(guī)劃教材——高教社出版的中等職業(yè)學校數(shù)學基礎模塊上冊《函數(shù)的單調性》為例，探索如何運用信息技術創(chuàng)設真實情境，讓學生經歷從具體的直觀描述到結構化表達的抽象過程，加深對函數(shù)單調性概念的認識和理解。

● 確定目標

1.學情分析

教師利用問卷星為學生做學情前測，前測內容包括學習方式與學習認知水平兩個方面。

（1）學習方式。有38.96%的學生表示希望“通過師生共同創(chuàng)建活動，探索概念的生成過程”，28.57%的學生贊同“教師畫圖分析導入概念”，24.68%的學生愿意“聽教師陳述定義，介紹概念”，而7.79%的學生表示會通過“自己課后百度求助”。

數(shù)據(jù)表明，學生關于數(shù)學概念學習方式的選擇具有差異性，但其中大部分學生希望通過適當?shù)姆绞綄敫拍罨蛟诨顒又刑剿鞲拍畹纳伞?/p>

（2）學習認知水平。學生對二次函數(shù)f(x)=-x2圖像特征的認識存在很大的偏差，只有32.47%的學生正確回答該函數(shù)圖像是開口朝下先升后降的拋物線，錯誤率高達67.53%。對于函數(shù)在比較f(-2)與f(-3)的大小關系時，只有40.26%的學生能正確比較大小。

數(shù)據(jù)表明，中職學校學生對二次函數(shù)圖像及其特征缺乏清晰的認識，數(shù)量關系比較能力有待加強。

2.課標分析

《中職學校數(shù)學課程標準（2020年版）》（以下簡稱“課標”）對函數(shù)的單調性給出的內容要求為“理解函數(shù)的單調性”，教學提示為“通過熟悉的函數(shù)圖像，幫助學生理解函數(shù)的單調性”。

從課標要求可以看到，函數(shù)單調性的學習需要結合學生身邊熟悉的實例，從“形”出發(fā)，經歷從具體的直觀描述到符號語言“數(shù)”的結構化表達。

3.確定目標

基于以學習者特征與課標核心素養(yǎng)為導向的教學要求，教師將課標中的“理解函數(shù)的單調性”拆解為“描述曲線幾何特征”“抽象出函數(shù)模型”“結構化表達函數(shù)變化規(guī)律”三部分，以確定本節(jié)課的教學目標與重難點。

①借助COVID-19曲線走勢直觀描述其幾何特征，培養(yǎng)直觀想象能力與洞察能力（教學目標）。

②通過幾何畫板軌跡追蹤功能抽象出函數(shù)模型，培養(yǎng)數(shù)學抽象能力與模型意識（重點）。

③通過幾何畫板數(shù)據(jù)制表功能探索函數(shù)的變化規(guī)律，用符號語言對函數(shù)的單調性進行結構化表達，培養(yǎng)數(shù)學建模素養(yǎng)（難點）。

● 教學實施

1.課前

①通過問卷星做學情前測；②教師通過公眾號發(fā)布推文《解讀COVID-19圖表曲線，培養(yǎng)學生理性精神》[4]，為學生進入本課學習預熱；③學生根據(jù)每天發(fā)布的新冠疫情信息收集數(shù)據(jù)資源，制作數(shù)字化視頻，為情境化教學提供準備。

設計意圖：學生是本課的學習者，也是信息化資源的創(chuàng)建者，體現(xiàn)了學習者為中心的教學理念。

2.課中

（1）創(chuàng)設情境（5min）

在初中階段，學生已經初步了解一次函數(shù)、反比例函數(shù)以及二次函數(shù)的圖像具有單調性的特征。高中階段可以創(chuàng)設真實情境，從直觀認識出發(fā)，提出問題，通過任務驅動，經歷函數(shù)單調性的抽象過程。

問題1：2020年2—11月，觀察海外新冠病例確診趨勢曲線圖，請根據(jù)曲線走勢，說出新冠病例確診數(shù)與時間的變化關系。

問題2：2020年2—11月，觀察我國新冠病例確診趨勢曲線圖，請根據(jù)曲線走勢，說出新冠病例確診數(shù)與時間的變化關系。

設計意圖：熟悉的情境容易產生代入感；從幾何直觀出發(fā)，發(fā)現(xiàn)曲線特征，為抽象函數(shù)模型做好鋪墊。

（2）抽象模型（8min）

用幾何畫板模擬曲線，指導學生多次更換f(x)=ax的底部參數(shù)，發(fā)現(xiàn)函數(shù)f(x)=1.66x（如圖1）與f(x)=0.2x（如下頁圖2）與疫情曲線最為契合，從而抽象出函數(shù)模型。

圖1

圖2

設計意圖：通過信息技術對疫情曲線反復實驗抽象出函數(shù)模型，將真實情境數(shù)學化，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模意識。

（3）揭示本質（8min）

為了進一步揭示函數(shù)單調性的內涵，教師利用幾何畫板的制表功能，分析如下頁圖3所示函數(shù)圖像中函數(shù)值與自變量之間的變化關系。

圖3

設計意圖：利用信息技術呈現(xiàn)函數(shù)中的數(shù)量關系，使函數(shù)單調性概念的生成過程可視化，有利于函數(shù)單調性概念的理解與表達。

通過自然語言建構增函數(shù)與減函數(shù)的概念之后，引導學生通過小組合作討論用符號語言刻畫函數(shù)的單調性，這是本課的難點。為突破難點，可以通過“問題驅動+動畫演示”的策略為學生創(chuàng)建思維腳手架。

問題1：對于給定區(qū)間上的增函數(shù)，當自變量越大，函數(shù)值越大，如何用符號語言描述增函數(shù)的這種特征。

問題2：對于給定區(qū)間上的減函數(shù)，當自變量越大，函數(shù)值越小，如何用符號語言描述增函數(shù)的這種特征。

動畫演示：通過動畫點的軌跡追蹤，確定當x1＜x2時，f(x1)與f(x2)的大小關系（如圖4）。

圖4

通過問題驅動與函數(shù)圖像上點的軌跡跟蹤，得出增函數(shù)與減函數(shù)的符號語言結構化表達模型。

設計意圖：引導學生從用圖形語言認識函數(shù)單調性與用自然語言描述函數(shù)的單調性過渡到用符號語言表達函數(shù)的單調性，是一個從感性認知上升到理性認知，思維方式不斷優(yōu)化與深入的過程，有助于培養(yǎng)學生獲得更為一般的數(shù)學概念模型，發(fā)展函數(shù)建模素養(yǎng)。

為了深化學生對函數(shù)單調性的理解，還需要進一步討論單調區(qū)間上自變量x1與x2的任意性。為此，設計問題3。

問題3：對于給定區(qū)間D上的函數(shù)y=f(x)，若x1∈D、x2∈D，且x1＜x2時，有f(x1)＜f(x2)，那么該函數(shù)是增函數(shù)嗎？

動畫演示：如圖5所示，如果給定區(qū)間上的自變量不滿足任意性，那么可能存在變量x2、x3，雖然滿足x3＜x2，但f(x3)＞f(x2)，不符合增函數(shù)的關鍵特征。究其原因，是自變量沒有滿足“任意性”所致。

圖5

設計意圖：利用信息技術演示不滿足函數(shù)單調性對自變量的“任意性”要求，出現(xiàn)不符合增函數(shù)特征的反例，加強對函數(shù)單調性概念嚴謹性的理解。

（4）問題解決（14min）

教師推送函數(shù)單調性高考真題，利用雨課堂APP的“學生視角”功能了解學生情況。學生在給定時間內解答“雨課堂”推送的學習任務，在“雨課堂”后臺可收藏學習資源。

設計意圖：通過高考真題實戰(zhàn)演練，提高學生的問題解決能力與數(shù)學核心素養(yǎng)；實時測評，數(shù)據(jù)驅動；及時發(fā)現(xiàn)問題并調整教學策略。

（5）歸納總結（5min）

教師引導學生歸納總結函數(shù)的單調性。學生用思維導圖梳理出函數(shù)單調性的脈絡。

設計意圖：用“幕布”做思維導圖，形成學習管理習慣。

3.課后

教師通過雨課堂APP收集學習數(shù)據(jù)，針對性地推送函數(shù)單調性作業(yè)。

● 教學反思

1.關于教學策略

通過信息技術創(chuàng)建基于真實問題的學習情境，創(chuàng)新數(shù)學概念教學方式，可避免知識的刻板復制。充分利用信息技術重構教學內容，優(yōu)化知識的呈現(xiàn)形式，將抽象概念形象化、靜態(tài)概念動態(tài)化，有利于深化數(shù)學概念的理解，揭示數(shù)學概念的本質。本課例創(chuàng)設的情境來自學生熟悉的生活事實，不僅能培養(yǎng)學生的理性精神，而且有利于學生形成面對全球公共危機，更加需要構建人類命運共同體的價值觀念。

此外，信息技術創(chuàng)設真實情境要考慮三個要素：

①師生共建。學生不僅是資源的消費者，還是資源的創(chuàng)建者。充分利用學生的數(shù)字化意識與信息技術能力，師生共建學習資源，在資源建設中體驗概念產生的背景與過程。

②問題導向。利用信息技術創(chuàng)設真實情境，要以核心素養(yǎng)為導向，通過問題驅動激發(fā)學生興趣，引導學生做中學、創(chuàng)中學、用中學，在協(xié)作與對話中，尋求問題解決方案。

③注重本質。信息化教學資源力求體現(xiàn)情境的鮮活性與時代特點，更重要的是在資源建設過程中，體現(xiàn)數(shù)學的相關性，注重通過信息技術揭示數(shù)學概念的本質。

2.關于學習主體

將信息技術融入數(shù)學概念的學習，使學生成為函數(shù)單調性概念“再造”的積極建構者；基于信息化創(chuàng)建學習資源與數(shù)學實驗，學生經歷真實情境的數(shù)學化過程，從幾何直觀到數(shù)學抽象，從數(shù)學模型到符號語言的結構化表達，圍繞具有挑戰(zhàn)性的學習主題，全身心積極參與，體驗成功，獲得有意義的學習，體現(xiàn)了學習者為中心的教學理念。

3.關于學習評價

根據(jù)布魯姆教育目標分類學原理，教學設計應該圍繞“目標、教學、評價”三個維度展開，形成“學教評一致性”的教學設計原則。本課例教學實施的每一個環(huán)節(jié)都圍繞學習目標展開，力求目標、教學、評價兩兩匹配。

對比課前測與課后測的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，本課的學習目標的達成度較好。課前，只有32.47%的學生正確回答函數(shù)f(x)=-x2的幾何特征，課后，60.83%的學生能正確解答更復雜的函數(shù)f(x)=x2-2x+3的函數(shù)單調區(qū)間，學生的認知增量達到將近50%；課前，對給出的函數(shù)在比較f(-2)與f(-3)的大小關系時，只有40.26%的學生通過計算正確比較大小，課后，45.83%的學生能根據(jù)函數(shù)單調性概念規(guī)范表達該函數(shù)的單調區(qū)間。學生答題的正確率不高，可見關于反比例函數(shù)問題，是學生的薄弱點，需要在后續(xù)教學中進一步強化。雖然前后增量只有5%，但是后者的難度更大。前后比對發(fā)現(xiàn)，本課題的信息技術教學策略，對實現(xiàn)“學教評一致性”具有借鑒意義。