劉 健

（黑龍江省大慶市教師發(fā)展學(xué)院 黑龍江大慶 163000）

單元教學(xué)是實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的一種有效途徑。初中階段如何利用單元教學(xué)范式開展公式課學(xué)習(xí)，“乘法公式”是一個代表。公式也是一種命題，是用數(shù)學(xué)符號表達幾個量的關(guān)系及規(guī)律的命題形式。公式課學(xué)習(xí)不是簡單地讓學(xué)生記住公式，而是要讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題再創(chuàng)造的過程，在過程中體現(xiàn)公式的意義和本質(zhì)，感悟其中蘊含的數(shù)學(xué)思想?！俺朔ü健钡膶W(xué)習(xí)過程為后續(xù)學(xué)生獨立自主地研究陌生的公式提供了一個研究范式。本文以“乘法公式”（參考北師大版本）為例，設(shè)計一個單元的教學(xué)。

一、教材解析

從教材內(nèi)容分析：乘法公式是整式乘法的特殊情形，是整式乘法的延續(xù)和發(fā)展。教材一般采用分課時依次學(xué)習(xí)兩個公式，先學(xué)習(xí)平方差公式，再學(xué)習(xí)完全平方公式。這樣分課時的學(xué)習(xí)雖然有利于分散難點，逐個突破，但容易忽略知識之間的聯(lián)系，使得所學(xué)習(xí)的知識是碎片化的，缺乏整體性，不利于學(xué)生形成良好的知識結(jié)構(gòu)。單元教學(xué)可以在知識的整體性上抓住研究路徑和方法，引導(dǎo)學(xué)生主動建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)，利用原有的知識探索發(fā)現(xiàn)新知，進而同化和順應(yīng)新知識的過程。

乘法公式在教學(xué)中的難點是對乘法公式結(jié)構(gòu)及公式中等號的再創(chuàng)造、再認(rèn)識。突破難點的關(guān)鍵是讓學(xué)生在乘法運算及幾何圖形解釋過程中理解結(jié)構(gòu)特征及等號存在意義。兩個多項式相乘的公式結(jié)構(gòu)特征的不變性是統(tǒng)領(lǐng)本單元研究問題的大概念。

二、目標(biāo)定位

第1課時：主要引導(dǎo)學(xué)生探索并推導(dǎo)平方差公式和完全平方公式，重視學(xué)生對公式的認(rèn)識，理解算理及幾何推理。滲透分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

第2課時：能夠在符號變化中正確辨析公式，體會字母可以是數(shù)也可以是式，加深對字母廣泛性含義的理解。

第3課時：設(shè)計綜合性習(xí)題，進一步增強辨析能力，能夠在復(fù)雜的題目中找到符合公式結(jié)構(gòu)且能運用公式的式子，體會利用公式結(jié)構(gòu)的不變性解決問題的簡潔性。

教學(xué)重點：①探索并推導(dǎo)乘法公式，理解公式的本質(zhì)，體會乘法公式結(jié)構(gòu)的不變性。

②靈活運用公式進行簡單的計算。

教學(xué)難點：①對乘法公式結(jié)構(gòu)的不變性的再創(chuàng)造、再認(rèn)識的過程。

②理解公式中的字母含義的廣泛性，能正確辨析要計算的代數(shù)式是否符合公式結(jié)構(gòu)。

三、教學(xué)過程

第一課時

1.復(fù)習(xí)引入

活動1：發(fā)現(xiàn)多項式乘法的特殊形式。

問題1：完成下列計算，觀察式子及結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（1）(4a+1)(a+b)（2）(2x+1)(x-2) （3）(x-3)(x-3)

（4）(x+1)(x-1)（5）(m+2)(m+2)（6）(2m+1)(2m-1)

問題2：你能將上述式子進行分類嗎？說出你的分類標(biāo)準(zhǔn)。

處理方式：問題1，獨立完成計算。問題2，學(xué)生先獨立完成，再小組交流，重點交流你是怎么分類的，分類標(biāo)準(zhǔn)是什么？

設(shè)計意圖：問題1的設(shè)計讓學(xué)生先經(jīng)歷從一般到特殊的過程，在計算過程中發(fā)現(xiàn)多項式乘法的特殊形式。問題2，引導(dǎo)學(xué)生觀察式子的結(jié)構(gòu)特征進行分類，并語言描述分類標(biāo)準(zhǔn)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，引發(fā)猜想，進而激發(fā)學(xué)生的研究熱情，探索具有特殊形式的多項式乘法，自然、合理地引出新知。

2.探索新知

活動2：公式探究

（1）探究平方差公式

問題3：請你舉出形如式子（4）（6）的多項式乘法，并計算結(jié)果，觀察式子，你有什么猜想？驗證你的猜想。

（4）(x+1)(x-1) （6）(2m+1)(2m-1)

歸納1：文字?jǐn)⑹觯篲_________________________

乘法公式1：(a+b)(a-b)=a2-b2

問題4：如圖1-1、圖1-2所示，你能根據(jù)圖形的面積解釋平方差公式嗎？

圖1-1 幾何解釋

圖1-2 幾何解釋

設(shè)計意圖：學(xué)生舉例的過程就是學(xué)生對平方差公式結(jié)構(gòu)特征再認(rèn)識的過程，能正確舉例就說明初步掌握了公式特征，為歸納一般性結(jié)論做好鋪墊。舉例過程中，讓學(xué)生體會從特殊到一般的研究思路。利用幾何圖形解釋公式對有些學(xué)生有難度，所以采取先獨立思考再組內(nèi)交流的學(xué)習(xí)方式，目的是讓學(xué)生在交流過程中深挖掘自己思考的過程，培養(yǎng)學(xué)生高階思維。利用整式乘法運算法則和幾何圖形兩種方式說明了公式的正確性，建立起代數(shù)與幾何內(nèi)在的聯(lián)系。GeoGebra輔助教學(xué)，讓學(xué)生能夠在圖形動態(tài)變化的過程中解釋公式的正確性，直觀的動畫效果能夠讓學(xué)生更深入理解公式。

（2）探究完全平方公式

問題5：類比平方差公式的研究過程，完成形如（3）（5）式子的研究過程。

（3）(x-3)(x-3) （5）(m+2)(m+2)

歸納2：文字?jǐn)⑹觯篲_______________________________

乘法公式1：(a+b)2=a2+2ab+b2

問題6：如圖2-1、圖2-2所示，利用圖形的面積解釋完全平方公式。

圖2-1 幾何解釋

圖2-2 幾何解釋

處理方式：學(xué)生先獨立推導(dǎo)，然后合作交流、展示，教師用GeoGebra（圖形計算器）。

設(shè)計意圖：問題5，類比平方差公式的研究過程，學(xué)生獨立開展研究完全平方公式，目的是培養(yǎng)學(xué)生的遷移能力，進而發(fā)展到遇到一個新的公式能夠類比曾經(jīng)研究公式的經(jīng)驗獨立研究問題的能力。

3.例題

利用乘法公式進行計算。

（1）(3x-2y)(3x+2y)（2）(4m+n)2

4.鞏固運用

（1）將下面各式按要求填空（填序號）。

（1）(m+1)(1+m)（2）(-a+b)(-a+b)（3）(2a+b)(b-2a)

（4）(3+2x)(-3+2x)（5）(1-2y)(1+2y)（6）(2-x)(-x+2)

符合平方差公式結(jié)構(gòu)的式子：_______________；符合完全平方公式結(jié)構(gòu)的式子：_______________。

（2）分別利用乘法公式進行計算。

（1）(2a-3b)(3b+2a) （2）(x-3y)2

設(shè)計意圖：在學(xué)生獨自完成題目的過程中，教師要觀察學(xué)生能否準(zhǔn)確找到公式中的a和b對應(yīng)的數(shù)或者式，并運用公式進行計算.同時讓學(xué)生總結(jié)運用公式的經(jīng)驗，以及運用公式解決問題應(yīng)注意的事項。

（3）學(xué)生自編題目，要求其他同學(xué)辨析乘法公式，并能給出正確答案。

設(shè)計意圖：學(xué)生只有明晰公式結(jié)構(gòu)才能編出合理的題目，自編題目的過程可以加深學(xué)生對公式結(jié)構(gòu)的進一步認(rèn)識。

5.歸納小結(jié)，思維提升

（1）平方差公式和完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征？（2）運用平方差公式和完全平方公式的注意事項？（3）你還有什么收獲？

設(shè)計意圖：通過總結(jié)歸納，能夠讓學(xué)生歸納本節(jié)課的內(nèi)容，進一步記憶完全平方公式和認(rèn)識公式的特征，為運用公式積累經(jīng)驗。

6.布置作業(yè)

研究性作業(yè)（選做）：多項式乘法的法則是(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd，你能否從多項式乘法法則中式子a，b，c，d的特殊情形出發(fā)，如a=c或者b=d，開展研究多項式乘法的特殊情形，觀察研究成果，你有什么發(fā)現(xiàn)？回顧研究路徑，你有什么收獲？

設(shè)計意圖：讓有能力的學(xué)生展開研究，體會研究數(shù)學(xué)問題的一般思路——一般到特殊。引入新知之所以沒有這種方式，是因為這種引課過于抽象，分析過程對于七年級的大多數(shù)學(xué)生有困難。

第二課時：1.復(fù)習(xí)回顧

問題1：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了幾個乘法公式，請你說出來，并用你喜歡的方式描述公式的特征。

問題2：下列各式的計算對不對？如果不對，應(yīng)當(dāng)怎樣改正？

（1）(a+3)(a-3)=a2-3 （2）(-x+y)(x+y)=y2-x2

（3）(2-x)2=4-x （4）(5+m)=25+m2

問題3：利用乘法公式進行計算

2.例題

例1：利用乘法公式計算，指出對應(yīng)公式中的a和b分別是什么？

（1）(m-n)(-m-n) （2）(-a-b)2

例2：利用乘法公式計算，你是怎么做的？

（1）(2a-b-1)(2a-b+1)（2）(x+y+z)2

例3：利用乘法公式計算：

（1）61×59（2）1012

3.鞏固運用

練習(xí)1：運用乘法公式計算：

練習(xí)2：運用乘法公式計算：

（1）(2m-n-2)2（2）(x-y-1)(x-y+1)

（3）582（4）103×97

4.歸納小結(jié)

①請你說一說對乘法公式中a，b的廣泛含義的理解。②乘法公式都有哪些應(yīng)用？③關(guān)于乘法公式你還有什么疑惑的地方？

5.布置作：選做題

（1）如圖3所示，請你設(shè)計一個幾何圖形解釋(x+y+z)2=x2+y2+z2+2yz+2yz+2xz。

圖3 幾何解釋

（2）思考：(a+b)2與(-a-b)2相等嗎？(a-b)2與(b-a)2相等嗎？(a-b)2與a2-b2相等嗎？為什么？

第三課時

1.復(fù)習(xí)回顧

①請你寫出乘法公式，指出公式結(jié)構(gòu)的不變性的含義。②請你說一說公式中字母a，b的廣泛含義。③利用乘法公式計算：

（1）(9xy-2)2（2）

（3）732（4）9972

2.例題

例1：計算：

（1）(2x-1)2-2(x+3)(x-1) （2）(x+3)(x-3)-(x-3)(x-2)

例2：利用乘法公式計算：

（1）(x+3y-1)(x-3y+1) （2）(a+5)2-(a-5)2

3.鞏固運用

練習(xí)1.計算：

（1）(m-1)(m-2)-(m+2)(m-2)（2）(2-x)2+(2+x)2

練習(xí)2.利用乘法公式計算：

（1）(x+y-1)(x-y+1) （2）(2-x)2-(2+x)2

（3）4(a-2b)2-4(a+b)(a-b) （4）(x-y)(x+y)(x2+y2)

4.歸納小結(jié)

①乘法公式與整式乘法有什么聯(lián)系？②關(guān)于乘法公式的學(xué)習(xí)過程中你有什么收獲？③對于整式的乘法，你還能發(fā)現(xiàn)哪些多項式相乘的式子和結(jié)果有規(guī)律？你將怎樣展開研究？

5.布置作業(yè)

選做題：我們知道，(a+b)2=a2+2ab+b2，由多項式的乘法你能計算：(a+b)3=？

觀察計算結(jié)果的項數(shù)和系數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？你能直接寫出(a+b)4的運算結(jié)果嗎？

結(jié)語

乘法公式教學(xué)利用單元教學(xué)的范式，將兩個分屬不同課節(jié)的平方差公式和完全平方公式放到一起進行研究，在整式乘法運算的基礎(chǔ)上，通過對研究對象的分類，完成兩個乘法公式結(jié)構(gòu)的認(rèn)知過程，教學(xué)過程始終建立在整式乘法的基礎(chǔ)上，形成相對完整的教學(xué)單元，打破了以往的教學(xué)模式，研究對象間的緊密聯(lián)系得到凸顯。本單元設(shè)計了三課時，圍繞大概念---乘法公式結(jié)構(gòu)不變性開展教學(xué)研究，力圖表達清楚如何在單元統(tǒng)領(lǐng)下開展公式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生自己構(gòu)建數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中潤物細(xì)無聲地落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。