王晶晶 占劍峰 何春玲通訊作者

（1.黃岡師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 湖北黃岡 438000；2.黃岡師范學(xué)院生物與農(nóng)業(yè)資源學(xué)院 湖北黃岡 438000）

引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中指出：提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，這使得“數(shù)學(xué)問題”在課程中處于更加核心的地位[1]?！皢栴}式教學(xué)”是以“解決問題”為目標(biāo)，以“提出問題”為引導(dǎo)，以“分析問題”為手段，幫助學(xué)生進行知識建構(gòu)、問題解決的教學(xué)模式[2]。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)營造合適的問題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)欲望的同時，引導(dǎo)他們進行自主思考和深入探究，從而達到分析問題、解決問題的目的[3]。

深度學(xué)習(xí)是指學(xué)習(xí)者以知識理解為基礎(chǔ)，以問題解決為目標(biāo)，批判性地學(xué)習(xí)新的知識和思想,將它們與原有的認知結(jié)構(gòu)相結(jié)合，并將已有的知識遷移到新的認知情境中，進而達到對知識的深度理解和問題解決的學(xué)習(xí)[4][5]。深度學(xué)習(xí)要求學(xué)生能夠從多個角度出發(fā)對知識進行全面的分析，強調(diào)創(chuàng)新能力和高階思維的發(fā)展，學(xué)生在理解學(xué)習(xí)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，帶有批判性的眼光和質(zhì)疑的思維面對新知識，將有助于加深對新知識的理解和掌握。

在當(dāng)前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中淺層學(xué)習(xí)現(xiàn)象普遍存在，究其原因，主要是教學(xué)內(nèi)容的碎片化導(dǎo)致學(xué)習(xí)的遷移度降低，不重視知識的形成過程以及忽視學(xué)生研究思路和研究方法經(jīng)驗的積累等方面。深度學(xué)習(xí)的前提是深度理解，而深度理解可以通過問題教學(xué)為手段。因此，教師在數(shù)學(xué)課堂中可以開展問題式教學(xué)，以“問題”為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)一系列問題鏈推動課堂教學(xué)，引起學(xué)生深度思考，促進學(xué)生深度理解，從而實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

一、教學(xué)內(nèi)容分析

“誘導(dǎo)公式”是人教A版（2019）必修1第5章第3節(jié)的內(nèi)容，本節(jié)課既是“任意角和弧度制”及“三角函數(shù)的概念”內(nèi)容的延續(xù)，又是今后學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的基礎(chǔ)，起到承前啟后的重要作用。教材以“探究”和“思考”為核心，引導(dǎo)學(xué)生通過自主探究發(fā)現(xiàn)角的終邊分別關(guān)于原點、坐標(biāo)軸對稱時，角也分別關(guān)于原點、坐標(biāo)軸對稱，進而得到點的坐標(biāo)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)終邊分別關(guān)于原點、坐標(biāo)軸對稱的角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系.將誘導(dǎo)公式（數(shù)）與單位圓（形）緊密結(jié)合起來，形成利用單位圓的對稱性研究三角函數(shù)性質(zhì)的探究路徑，進而發(fā)現(xiàn)和證明誘導(dǎo)公式，加深學(xué)生對三角函數(shù)的理解和掌握。

二、指向深度學(xué)習(xí)的問題式教學(xué)思路

對教材內(nèi)容中的主要問題進行梳理后發(fā)現(xiàn)：要探究分別關(guān)于原點、坐標(biāo)軸對稱的角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，要經(jīng)歷四個研究過程：（1）建立角的終邊之間的關(guān)系；（2）建立角之間的關(guān)系；（3）建立角的坐標(biāo)之間的關(guān)系；（4）得到三角函數(shù)的關(guān)系。

依據(jù)上述研究過程，本節(jié)課以單位圓為載體，以問題式教學(xué)為主要教學(xué)模式，構(gòu)建“圓的對稱性→角的終邊的關(guān)系→角的關(guān)系→坐標(biāo)的關(guān)系→三角函數(shù)的關(guān)系”的研究路徑。在問題情境環(huán)節(jié)提出誘導(dǎo)公式一的作用和反映圓的什么特性兩個問題，引導(dǎo)學(xué)生深入體會圓的性質(zhì)在推導(dǎo)誘導(dǎo)公式中的重要作用；在公式二的探究中，依據(jù)四個探究過程設(shè)置四個核心問題，繼而將核心問題分解生成遞進式問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生逐步探究后得到誘導(dǎo)公式二；在公式三、公式四的探究中，引導(dǎo)學(xué)生類比公式二的探究思路，展開對公式三、公式四的探究，通過四個探究問題依次推導(dǎo)出公式三、公式四。

三、指向深度學(xué)習(xí)的問題式教學(xué)設(shè)計與實施

根據(jù)上述研究路徑，將核心問題分解生成遞進式問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生進行知識建構(gòu)，促進學(xué)生對所學(xué)知識的深度理解，進而實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

1.創(chuàng)設(shè)情境，提出問題，引發(fā)學(xué)生思考

導(dǎo)入：“一切立體圖形中最美的是球，一切平面圖形中最美的是圓”，這是數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯的一句名言.前面我們就利用單位圓得到了三角函數(shù)的定義，并且由定義推導(dǎo)出了誘導(dǎo)公式一，大家還記得嗎？

問題1：誘導(dǎo)公式一有什么作用？

問題2：反映了圓的什么特性？

師：圓的性質(zhì)還有對稱性，對稱性也是函數(shù)的重要性質(zhì).那我們可以借助單位圓的對稱性來研究三角函數(shù)的對稱性嗎？

設(shè)計意圖：三角函數(shù)的定義是學(xué)習(xí)誘導(dǎo)公式的基礎(chǔ)，以誘導(dǎo)公式一反映的周期性出發(fā)，引出利用單位圓的對稱性開展三角函數(shù)的研究，幫助學(xué)生規(guī)劃研究方案，打開研究思路。

2.實踐探索，分析問題，生成“問題鏈”

探究1：角α，π+α的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系？

（1）建立角α，β的終邊之間的關(guān)系

問題1：在平面直角坐標(biāo)系中，圓有哪些對稱性？（關(guān)于原點、坐標(biāo)軸對稱等）

追問：當(dāng)單位圓關(guān)于原點對稱時，你能作出點p'，使其與點p關(guān)于原點對稱嗎？如圖1所示：

圖1

（2）建立角α，β之間的關(guān)系

問題2：角β與角α有什么關(guān)系？它們的三角函數(shù)值分別有什么關(guān)系？

教師引導(dǎo)：要研究角的三角函數(shù)值的關(guān)系，要先研究角的關(guān)系。那么你能用α表示一個以op’為終邊的角嗎？

預(yù)設(shè)：π+α.

追問1：角β和角π+α有什么關(guān)系？

預(yù)設(shè)：以op為終邊的角β都是與角π+α的終邊相同的角，即β=2kπ+（π+α）（k∈Z）。

教師引導(dǎo)：根據(jù)公式一，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等，因此可以先研究角π+α和角α的三角函數(shù)值之間關(guān)系。

（3）建立坐標(biāo)之間的關(guān)系

問題3：設(shè)點p（x，y），根據(jù)點p’與點p關(guān)于原點對稱，你能得到點p’的坐標(biāo)嗎？

追問：知道了點的坐標(biāo)，應(yīng)如何繼續(xù)探究角的三角函數(shù)值的關(guān)系？

學(xué)生根據(jù)三角函數(shù)的定義，嘗試寫出角α與角π+α的三角函數(shù)式：

（4）三角函數(shù)值之間的關(guān)系

問題4：仔細觀察角α與角π+α以及它們對應(yīng)的三角函數(shù)值，你有什么特殊發(fā)現(xiàn)？

由此可得誘導(dǎo)公式二：

（5）梳理探究思路

問題5：回顧剛才的探究過程，你能說說我們是如何推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式二的嗎？

設(shè)計意圖：探究過程以“問題”為主導(dǎo)，由淺入深，幫助學(xué)生在問題解決過程中感受邏輯思維和綜合思維的發(fā)展。通過將核心問題分解成遞進式問題鏈引導(dǎo)學(xué)生在實際的教學(xué)情境中全面、系統(tǒng)、深入地分析數(shù)學(xué)問題，為學(xué)生指明探索方向，促使學(xué)生對問題進行深度探索和剖析。在教學(xué)過程中注重誘導(dǎo)公式二的探究過程，引導(dǎo)學(xué)生建立起以單位圓為載體的誘導(dǎo)公式研究路徑，為后續(xù)類比上述研究過程展開誘導(dǎo)公式三、公式四的研究做鋪墊。

3.類比聯(lián)想，深化問題，實現(xiàn)知識遷移

師：單位圓又關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，根據(jù)公式二的探究思路，你能試著來研究一下三角函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱性嗎？

探究2：角α，-α的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系？

（1）建立角α，-α的終邊之間的關(guān)系

問題1：應(yīng)該如何作出點p關(guān)于x軸對稱的點p'？

追問：角-α和角α的終邊有什么關(guān)系？

（2）建立角α和角-α之間的關(guān)系

問題2：角α和角-α的三角函數(shù)值有什么關(guān)系？

教師引導(dǎo)：要想知道兩個角的三角函數(shù)值的關(guān)系，要先知道角α和角-α的關(guān)系。

（3）建立坐標(biāo)之間的關(guān)系

問題3：根據(jù)點p'是點p關(guān)x軸的對稱軸，你能得到點p'的坐標(biāo)嗎？

追問：知道了坐標(biāo)之間的關(guān)系，接下來該怎么做？

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生利用三角函數(shù)的定義探究角α和角-α的三角函數(shù)之間的關(guān)系。

（4）三角函數(shù)值之間的關(guān)系

問題4：仔細觀察角α與角-α以及它們對應(yīng)的三角函數(shù)值，你有什么特殊發(fā)現(xiàn)？

由此推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式三：

sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=tanα

探究3：角π-α和角α的三角函數(shù)之間的關(guān)系。

師生活動：學(xué)生自主探究，并上臺展示研究成果。

問題5：如何作出點關(guān)于軸對稱的點p’？

問題6：角α和角π-α的三角函數(shù)值有什么關(guān)系？

問題7：根據(jù)點p’是關(guān)于軸的對稱軸，能得到點p'的坐標(biāo)嗎？

問題8：仔細觀察角與角π-α以及它們對應(yīng)的三角函數(shù)值，你有什么特殊發(fā)現(xiàn)？

由此推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式四：

sin（π-α)=sinα

cos（π-α）=-cosα

tan（π-α）=-tanα

設(shè)計意圖：類比公式二的研究思路，引導(dǎo)學(xué)生自主開展公式三、四的探究，由教師引導(dǎo)變?yōu)閷W(xué)生自主探究，使學(xué)生進一步意識到數(shù)學(xué)的邏輯性和嚴謹性，深入體會研究思路和研究方法的一致性。

4.鞏固應(yīng)用，解決問題，促進思維發(fā)展

例1：將下列三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)。

1問題1：你是怎么轉(zhuǎn)化的？誘導(dǎo)公式起到了什么作用？

例2：利用公式求下列三角函數(shù)值。

問題2：解決這些問題時，你分別選擇了哪個誘導(dǎo)公式？我們在解題時應(yīng)該如何選擇恰當(dāng)?shù)恼T導(dǎo)公式呢？

設(shè)計意圖：在例題教學(xué)中鍛煉學(xué)生利用誘導(dǎo)公式進行求值、轉(zhuǎn)化、化簡的同時，引導(dǎo)學(xué)生體會解題的一般思路，明確利用誘導(dǎo)公式解決問題的思路和方法，促進學(xué)生對誘導(dǎo)公式及其作用進行深度理解，實現(xiàn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。

四、指向深度學(xué)習(xí)的問題式教學(xué)設(shè)計反思

1.創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生探究欲望

一個好的問題情境能夠引起學(xué)生深層次的思考和持續(xù)性的探究，并在學(xué)習(xí)過程中不斷產(chǎn)生新的問題，引起深度思考和深度理解，從而實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。在實際教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì)，充分考慮學(xué)生原有認知水平和知識經(jīng)驗，創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫常寣W(xué)生在探究過程中帶著問題思考。

2.設(shè)置核心問題，生成遞進式問題鏈

核心問題是課堂教學(xué)活動的“主心骨”，也是傳遞數(shù)學(xué)知識、實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的重要途徑，可以起到促進學(xué)生深入思考和探究的作用。教師在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，依據(jù)教學(xué)目標(biāo)和重難點設(shè)計核心問題，再將核心問題分解生成遞進式問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生從小問題出發(fā)，逐個分析、逐個突破，一步步分析問題，直至解決問題。

3.構(gòu)建研究路徑，促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)

問題式教學(xué)是以問題為核心，以問題解決為目標(biāo)，引領(lǐng)學(xué)生感受知識的習(xí)得、建構(gòu)的過程。在知識的建構(gòu)過程中，通過問題式教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建研究路徑，然后根據(jù)研究路徑和研究方法逐步展開探究，親身經(jīng)歷知識的形成過程，從中感受問題解決的一般思路和方法，在滿足學(xué)生探究欲望的同時，為他們開拓更廣闊的深度思考空間，從而實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。