盧鳳婷

（太原師范學(xué)院 山西晉中 030619）

數(shù)與代數(shù)部分是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的四大板塊之一，是學(xué)生認(rèn)知數(shù)量關(guān)系、探索數(shù)學(xué)規(guī)律、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)，能夠讓學(xué)生從數(shù)的角度清晰認(rèn)識、理解和表達(dá)世界。數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生形成抽象能力、推理能力和模型觀念，發(fā)展幾何直觀和運(yùn)算能力[1]。

數(shù)與代數(shù)部分同樣也是中考數(shù)學(xué)的重要組成部分，主要涵蓋了數(shù)與式、方程與不等式和函數(shù)三個板塊，是學(xué)生在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必須掌握的重點(diǎn)知識，在中考數(shù)學(xué)中占據(jù)了一半的分值。數(shù)學(xué)思想作為數(shù)學(xué)解題的重要思想，在解決數(shù)與代數(shù)問題時有重要的作用。

一、函數(shù)思想在中考數(shù)學(xué)數(shù)與代數(shù)部分解題中的應(yīng)用

對于中學(xué)數(shù)學(xué)，函數(shù)思想的應(yīng)用主要體現(xiàn)在：首先是能夠借助初等函數(shù)的性質(zhì)來解決相關(guān)含參問題；其次是在解決問題的過程中，建立函數(shù)關(guān)系式，把鉆研的問題轉(zhuǎn)變?yōu)榕c函數(shù)相關(guān)的問題，以實(shí)現(xiàn)化繁為簡，化難為易[2]。在具體的解題過程中，面對很多實(shí)際問題，我們無法利用相同領(lǐng)域內(nèi)的知識完成問題的分析和解決，這時需要我們將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，從而完成求解[3]。

例1如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，正四邊形OABC的頂點(diǎn)O落在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊長為2，A點(diǎn)，C點(diǎn)分別位于x軸和y軸的正半軸上。函數(shù)y=2x的圖象與CB交于點(diǎn)D，函數(shù)（k為常數(shù)，k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，與AB相交于點(diǎn)E，與函數(shù)y=2x的圖象在第三象限內(nèi)交于點(diǎn)F，連接AF、EF。求函數(shù)的表達(dá)式，并寫出E點(diǎn)和F點(diǎn)的坐標(biāo)。

圖1

問題分析：該題目是山西省2017年中考題第18題。解決這一題目的關(guān)鍵就是要利用函數(shù)思想，將幾何問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題進(jìn)行求解。在解題中，可以借助待定系數(shù)法完成求解。首先根據(jù)題目條件，我們可以知道正方形OABC且邊長為2，點(diǎn)A，點(diǎn)C分別在x軸，y軸的正半軸上，所以A點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，0），C點(diǎn)坐標(biāo)是（0，2）；函數(shù)y=2x的圖象與CB交于點(diǎn)D，CB的解析式為y=2，所以兩個方程構(gòu)建二元一次方程組，聯(lián)立求解得到交點(diǎn)D的坐標(biāo)（1，2）；函數(shù)（k為常數(shù)，k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，所以點(diǎn)D函數(shù)上，點(diǎn)D的坐標(biāo)滿足該函數(shù)的解析式，利用待定系數(shù)法，就可以求得函數(shù)的表達(dá)式。E的坐標(biāo)可以根據(jù)點(diǎn)A坐標(biāo)和數(shù)的表達(dá)式求得，F(xiàn)的坐標(biāo)是點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，可根據(jù)點(diǎn)D坐標(biāo)求得。這一題目主要考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活轉(zhuǎn)化能力，從題型上看，本題主要是正方形和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，單純通過反比例函數(shù)的相關(guān)知識去解決這一問題難度較大，如果通過構(gòu)建函數(shù)的方式分析問題，借助函數(shù)思想和待定系數(shù)法就能夠?qū)⑦@一復(fù)雜的問題簡單化，提高學(xué)生的解題效率。

二、轉(zhuǎn)化思想在中考數(shù)學(xué)數(shù)與代數(shù)部分解題中的應(yīng)用

轉(zhuǎn)化思想就是指從不同的角度思考，另辟蹊徑地將新知識與舊知識聯(lián)系到一起。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，轉(zhuǎn)化思想是學(xué)生解決數(shù)學(xué)習(xí)題的有效途徑。學(xué)生靈活應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，解決某些難以入手的證明題、計(jì)算題，能提高學(xué)習(xí)信心[4]。

例2，如圖2，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為2，以點(diǎn)A為圓心，以AC為半徑畫弧交AB的延長線于點(diǎn)E，交AD的延長線于點(diǎn)F，則圖中陰影部分的面積是（）。

圖2

A.4π-4 B.4π-8 C.8π-4 D.8π-8

問題分析：該題目是山西省2018年中考題選擇題最后一題，從這道題的位置來看，處于選擇題壓軸題的位置，學(xué)生一開始可能會產(chǎn)生畏難情緒。但是仔細(xì)看這道題，我們發(fā)現(xiàn)陰影部分的面積可以轉(zhuǎn)化，利用在轉(zhuǎn)化思想，我們可以把不易解決的問題轉(zhuǎn)化成已解決的問題或者易解決的問題。圖中陰影部分的面積是分散的，我們利用拼補(bǔ)的方法可以把上半圓的陰影補(bǔ)到下半圓的空白地方，陰影部分的面積就完整了，求分散的陰影部分的面積我們就可以轉(zhuǎn)化成求一個整體的陰影面積。而轉(zhuǎn)化后的整體面積就是大扇形面積減去一個三角形的面積，大扇形的面積和三角形的面積都是學(xué)生易解決的問題，這道題就迎刃而解了。所以在日常教學(xué)中加強(qiáng)學(xué)生的聯(lián)想思考，讓學(xué)生在面對難題時能迅速找到解題的切入點(diǎn)，采用補(bǔ)形轉(zhuǎn)化、換元轉(zhuǎn)化、化繁為簡、問題變更等方法，完成習(xí)題的解析與論證。

三、數(shù)形結(jié)合思想在中考數(shù)學(xué)數(shù)與代數(shù)部分解題中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合是將數(shù)學(xué)之中的“數(shù)”與“形”相結(jié)合，將復(fù)雜的問題簡單化，將抽象的問題直觀化，利用圖形的直接性和數(shù)據(jù)的嚴(yán)謹(jǐn)性更好地解決問題[5]。數(shù)學(xué)教師在講課過程中應(yīng)有意識地利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，讓學(xué)生多養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的思維，更好地解決數(shù)學(xué)問題。

例3：已知點(diǎn)A,（x1，y1），B（x2，y2）,C（x3，y3）都在反比例函數(shù)（k＜0）的圖象上，且x1＜x2＜0＜x3，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（ ）。

A.y2＞y1＞y3B.y3＞y2＞y1C.y1＞y2＞y3D.y3＞y1＞y2

問題分析：該題目是山西省2020年中考題選擇題第7題。對于這一問題，如果單純地通過函數(shù)和取值范圍的角度去思考，很難找到解題的突破口，尤其是對于反比例函數(shù)這類極為抽象的知識點(diǎn)。借助數(shù)形結(jié)合思想，能夠完美解決。在解題的過程中，可以將函數(shù)轉(zhuǎn)化為圖形，根據(jù)反比例函數(shù)中k的正負(fù)，判定函數(shù)圖像的走勢，這樣就將原來的函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)的圖像問題，最后將關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)代入就可以完成求解。當(dāng)k＜0時，函數(shù)圖像就是從左往右逐漸上升的，y值會隨著x值的增大不斷增大。此時，整個問題就會變得思路清晰，解題難度就會降低。

四、分類討論思想在中考數(shù)學(xué)數(shù)與代數(shù)部分解題中的應(yīng)用

分類討論思想是一種最基礎(chǔ)的解決困難的思維戰(zhàn)略，旨在將所要研究的對象按照標(biāo)準(zhǔn)分為若干不同的類別，在挨個研究的進(jìn)程中，實(shí)現(xiàn)分而治之。分類討論思想貫穿初中數(shù)學(xué)教學(xué)，包括概念、定理、公式、運(yùn)算性質(zhì)、不確定的量等，它同樣也是培養(yǎng)學(xué)生良好數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的關(guān)鍵方法。分類討論思想也是中考數(shù)學(xué)解題中一種重要的解題思想，該思想主要應(yīng)用于函數(shù)部分問題中，尤其是對于二次函數(shù)，a取值的不同直接影響著整個解題思路。在解題的過程中，要注重對二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)和常數(shù)項(xiàng)的正負(fù)做好分類討論，根據(jù)不同的情況判斷函數(shù)曲線。

圖3

問題分析：該題目是山西省2020年中考第23題1，2小問。在求解這一問題的時候，解析問題（1）只需要學(xué)生將函數(shù)所對應(yīng)的方程值為0時就可求得與x軸的交點(diǎn)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再聯(lián)合點(diǎn)D和點(diǎn)A的坐標(biāo)，求得直線l的函數(shù)表達(dá)式。但是，對于問題（2）動點(diǎn)問題，則需要學(xué)生考慮實(shí)際情況，進(jìn)行分類討論，在此過程中，教師應(yīng)該起到引領(lǐng)的作用，啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用該思想進(jìn)行探索：

PM與直線l交于點(diǎn)N當(dāng)點(diǎn)N是線段PM的三等分點(diǎn)，而點(diǎn)N是線段PM的三等分點(diǎn)，可以是靠近P的三等分點(diǎn)，也可以是靠近M的三等分點(diǎn)。所以可分兩種情況進(jìn)行討論：

第一種是|MN|=2|PN|，第二種是2|MN|=|PN|，M、N、P三點(diǎn)的坐標(biāo)均可以用含m的代數(shù)式表達(dá)，所以根據(jù)不同的等量關(guān)系可以列出等式，即可解出滿足關(guān)系的m，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)。在動點(diǎn)問題中，應(yīng)用分類討論思想，使得學(xué)生在解析問題的時候，能夠全面分析影響因素，做到高效解題。分類討論思想的運(yùn)用可以提高學(xué)生的思維能力，又可以使學(xué)生形成良好的解題習(xí)慣。

五、方程思想在中考數(shù)學(xué)數(shù)與代數(shù)部分解題中的應(yīng)用

方程思想作為中學(xué)數(shù)學(xué)中主要的思想之一，它主要是立足于具體數(shù)學(xué)問題，在正確理解的基礎(chǔ)上，將問題中文字語言轉(zhuǎn)變?yōu)橄鄳?yīng)的數(shù)學(xué)語言，并建立起相關(guān)的數(shù)學(xué)關(guān)系——方程或方程組，然后通過解方程（組），從而解決問題，習(xí)得一種新型的思維方式.通俗而言，方程思想就是“實(shí)際問題→數(shù)學(xué)問題→代數(shù)問題→方程問題”這樣一個過程。

例5：2020年5月，太原舉行了“活力太原·樂購晉陽”消費(fèi)暖心活動，此次活動中的電器消費(fèi)券單筆消費(fèi)滿600元立減128元（一次只能使用一張）。某品牌電飯煲以進(jìn)價(jià)的150%進(jìn)行標(biāo)價(jià)，假如按標(biāo)價(jià)的80%售賣，一位客人購置該電飯煲時，使用一張電器消費(fèi)券后，又付了568元。請問該電飯煲的進(jìn)價(jià)是多少。

問題分析：該題目是山西省2020年中考第17題。這道題是生活中常見的銷售問題，依據(jù)是商場售價(jià)=買家應(yīng)付款這一等量關(guān)系，由于題目中已知標(biāo)價(jià)為銷售價(jià)的15%，且八折銷售，買家在付款時有滿600減128的優(yōu)惠，買家在優(yōu)惠后付款568，所以買家應(yīng)付款為568+128。因此可設(shè)進(jìn)價(jià)為x，根據(jù)這一等量關(guān)系，x·（1+50%）·0.8=568+128，解得x=580。類似的實(shí)際問題可以讓學(xué)生熟悉生活常見模型，將未知數(shù)表示出來后代入等量關(guān)系中。列方程解應(yīng)用題的學(xué)習(xí)能讓學(xué)生直觀感受和應(yīng)用方程思想，明白未知量與已知量之間的等量關(guān)系。

六、建模思想在中考數(shù)學(xué)數(shù)與代數(shù)部分解題中的應(yīng)用

在新課標(biāo)理念下，中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)慢慢向教學(xué)生如何解決現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)變。對于學(xué)生來說，解決繁雜的實(shí)際問題還是有一定的挑戰(zhàn)，而數(shù)學(xué)建模可以幫助學(xué)生將煩瑣的現(xiàn)實(shí)問題抽象為易懂的數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)知識去求解，這樣能夠大幅度地提高了學(xué)生的解題的速度，而且培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。

例6：圖4是某車站的一組智能通道閘機(jī)，當(dāng)行人通過時智能閘機(jī)會自動識別行人身份，識別成功后，兩側(cè)的圓弧翼閘會收回到兩側(cè)閘機(jī)箱內(nèi)，這時行人即可通過。圖5是兩圓弧翼展開時的截面圖，扇形ABC和DEF是閘機(jī)的“圓弧翼”，兩圓弧翼成軸對稱，BC和EF均垂直于地面，扇形的圓心角∠ABC=∠DEF=28°，半徑BA=ED=60cm，點(diǎn)A與點(diǎn)D在同一水平線上，且它們之間的距離為10cm.求閘機(jī)通道的寬度，即BC與EF之間的距離（參考數(shù)據(jù)：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）；

圖4

圖5

問題分析：該題目是山西省2020年中考第21題第1小問。這道題把實(shí)際生活中遇到的閘機(jī)問題抽象成了兩圓弧翼展開時的截面圖，構(gòu)建了一個數(shù)學(xué)模型，從而幫助解題。題目中給了扇形圓心角的大小，給了半徑的長度，我們可以分別過C，D點(diǎn)作BC和EF的垂線從而構(gòu)造直角三角形，以此達(dá)到解題的目的。通過構(gòu)建幾何模型并轉(zhuǎn)變?yōu)槿呛瘮?shù)問題來解，將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，從而解決問題。與實(shí)際模型比較，在初中數(shù)學(xué)中根據(jù)建模思想建立各種數(shù)學(xué)模型還處于初級階段。數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該把學(xué)習(xí)知識、應(yīng)用知識、探索發(fā)現(xiàn)和建模求解更好地聯(lián)系在一起，使學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想，學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考。

我們由以上的例子可以看到，數(shù)學(xué)思想方法是處理數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想和基本策略，是形成學(xué)生數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)意識的橋梁，是數(shù)學(xué)的靈魂。所以，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，學(xué)生需要不斷對方法和思想進(jìn)行總結(jié)滲透，使它上升至一個高度，形成數(shù)學(xué)思想方法，并用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)我們解題，這樣才能運(yùn)用數(shù)學(xué)和駕馭數(shù)學(xué)，成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的真正主人。