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        對分課堂在高等代數(shù)課程教學(xué)中的實(shí)踐與探索

        2023-01-17 07:18:50吳校良牛英春
        關(guān)鍵詞:維數(shù)小組討論測驗(yàn)

        吳校良,孫 飛,牛英春,田 楊

        (1.內(nèi)蒙古民族大學(xué),內(nèi)蒙古 通遼 028043;2.通遼職業(yè)學(xué)院師范教育系,內(nèi)蒙古 通遼 028000)

        高等代數(shù)是數(shù)學(xué)類專業(yè)的一門基礎(chǔ)核心課程,該課程對于后繼課程的學(xué)習(xí)有很大的影響。高等代數(shù)課程的特點(diǎn)是比較抽象、理論性比較強(qiáng)。傳統(tǒng)的高等代數(shù)課堂主要以講授為主,學(xué)生參與性較差,不利于學(xué)生主動學(xué)習(xí)、發(fā)現(xiàn)問題、勇于思考、合作交流等能力的培養(yǎng)[1-2]。

        首先介紹了對分課堂,并以文獻(xiàn)[3]中第6章第5節(jié)“線性子空間”為例,展示了在對分課堂教學(xué)理念下如何進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)實(shí)踐情況以及教學(xué)效果分析,最后對應(yīng)用對分課堂需要注意的事項(xiàng)進(jìn)行了說明。

        1 對分課堂教學(xué)模式

        1.1 對分課堂介紹[4-5]對分課堂是復(fù)旦大學(xué)張學(xué)新教授于2014年基于腦科學(xué)與學(xué)習(xí)科學(xué)創(chuàng)立的本土教學(xué)新模式,其核心理念是將課堂時間對半分,一半給老師講授,一半給學(xué)生討論,并且將講授與討論的時間錯開。這種教學(xué)模式將傳統(tǒng)的講授式教學(xué)、學(xué)生自學(xué)、小組合作和師生互動等形式結(jié)合了起來[2-4]。對分課堂承繼傳統(tǒng)文化,創(chuàng)新教育理念,構(gòu)建有效方法,顯著增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動性,提升教學(xué)效果。對分課堂自提出之日起就迅速在全國高校及中小學(xué)傳播開來[2]。通過長期的教學(xué)實(shí)踐,筆者認(rèn)為高等代數(shù)課程教學(xué)可以采用對分課堂教學(xué)模式,融入對分課堂教學(xué)理念。

        1.2 對分課堂的基本流程[5-7]見圖1。

        圖1 對分課堂基本流程Fig.1 Basic process of PAD class

        1.3 對分課堂教學(xué)模式的特點(diǎn)[5,8](1)對分課堂普適性強(qiáng),既能用于文科,也能用于理工科;既能用于理論課,也能用于實(shí)踐課;既能用于高等院校,也能用于中小學(xué)校;既能用于小班授課,也能用于大班授課。(2)對分課堂操作簡單,容易上手。老師在接受培訓(xùn)后甚至是了解對分的操作流程后就能在自己的課堂上實(shí)踐。對分課堂可以單獨(dú)使用,也可以結(jié)合線上平臺進(jìn)行使用。(3)對分課堂能顯著提升學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性,個性得到發(fā)展,合作交流能力得到提升。(4)對分課堂在講授和討論之間留有一定的時間間隔,利于學(xué)生消化吸收,同時為討論做好充分的準(zhǔn)備。(5)“亮考幫”作業(yè)是對分課堂的一個特色,是對所學(xué)知識的有效梳理,也為開展小組討論做好準(zhǔn)備。其中,“亮”是指學(xué)生寫出自己能掌握、比較擅長的知識內(nèi)容,在小組討論環(huán)節(jié)在小組內(nèi)進(jìn)行展示;“考”是指針對自己擅長的知識提出一個問題,考考小組同學(xué);“幫”是指學(xué)生沒有掌握、存在疑問的內(nèi)容,在小組討論中尋求同學(xué)幫助。

        1.4 高等代數(shù)對分課堂環(huán)節(jié) 根據(jù)高等代數(shù)課程的特點(diǎn),建議主要采取隔堂對分的形式,也就是把講授與討論錯開,把講授放于一次課的第二小節(jié),把討論放于下一次課的第一小節(jié)。

        教師在課堂應(yīng)當(dāng)把課程微視頻、課件、鏈接等資料發(fā)布到學(xué)習(xí)通平臺,并明確指出教學(xué)目標(biāo)與具體要求,布置好小測驗(yàn)和作業(yè)。

        (1)課堂講授:教師講框架,講重點(diǎn),根據(jù)學(xué)生程度適當(dāng)留白。(2)內(nèi)化吸收:閱讀教材,完成課堂留白,完成小測驗(yàn),完成作業(yè),完成“亮考幫”。在此環(huán)節(jié),教師要及時查看學(xué)習(xí)通小測驗(yàn)和作業(yè)情況,分析存在的主要問題,并在下次課及時反饋給學(xué)生。(3)小組討論:教師回顧主要內(nèi)容,學(xué)生分組討論,教師抽查,學(xué)生自由發(fā)言,教師總結(jié)。在此之后,教師可根據(jù)實(shí)際情況就重點(diǎn)內(nèi)容安排1~2道題目進(jìn)行隨堂測驗(yàn)。

        2 教學(xué)設(shè)計(jì)

        2.1 教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì) (1)了解線性子空間的概念、生成子空間的概念和相關(guān)結(jié)論。(2)掌握線性子空間的判別方法,并能求出一些特殊子空間基和維數(shù)。(3)了解基的擴(kuò)充定理的內(nèi)容及其證明思路。(4)培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、歸納總結(jié)、合作共享的意識和能力。(5)培養(yǎng)轉(zhuǎn)化的解題思想與方法。

        教學(xué)重點(diǎn):掌握子空間的判別方法。教學(xué)難點(diǎn):不同類型子空間基與維數(shù)的求法。

        2.2 教學(xué)方法設(shè)計(jì) 采用對分課堂教學(xué)模式,即“講授+內(nèi)化吸收+討論”,教師先進(jìn)行知識的精講,學(xué)生課后內(nèi)化吸收,完成課后任務(wù),下節(jié)課第一節(jié)進(jìn)行小組討論。

        2.3 講授環(huán)節(jié)設(shè)計(jì) (1)線性子空間的概念與判別方法。首先復(fù)習(xí)線性空間的概念,并從集合角度比較線性空間P[x]和線性空間P[x]n,從而引出線性子空間的概念。

        定義1數(shù)域P上的線性空間V的一個非空子集W稱為V的一個線性子空間(或簡稱子空間),如果W對于V的兩種運(yùn)算也構(gòu)成數(shù)域P上的線性空間。

        對于線性空間V的非空子集W,線性空間V中的兩種運(yùn)算所滿足的一些規(guī)律在W中自然成立,由此引出線性子空間簡化的判別方法。

        定理1設(shè)W是線性空間V的一個非空子集,則W是V的一個子空間當(dāng)且僅當(dāng)W對于V兩種運(yùn)算是封閉的,即① ?α,β∈W,有α+β∈W;② ?α∈W,k∈P,有kα∈W。

        對于該定理,教師并不書寫詳細(xì)的證明,留給學(xué)生補(bǔ)充。

        通過例題鞏固判別方法。

        例1設(shè)A是數(shù)域P上的s×n矩陣,則齊次線性方程組AX=0 的所有解的集合W是線性空間Pn的子空間,稱為是齊次線性方程組AX=0 的解空間。并且齊次線性方程組AX=0 的基礎(chǔ)解系就是其解空間的一組基,維數(shù)為n-r,其中,r是矩陣A的秩。

        對于例1,教師從齊次線性方程組解的性質(zhì)給予解釋,詳細(xì)過程留給學(xué)生書寫。

        (2)生成子空間的概念與性質(zhì)。

        定義2設(shè)α1,α2,…,αr是線性空間V中一組向量,這組向量所有可能的線性組合所成的集合記為

        則它是V的一個子空間,稱其為由生成元α1,α2,…,αr生成的子空間。

        根據(jù)子空間對兩種運(yùn)算的封閉性以及基的判別方法可得:

        推論1L(α1,α2,…,αr)是線性空間V的包含α1,α2,…,αr的最小子空間,即如果子空間W包含α1,α2,…,αr,則L(α1,α2,…,αr)?W。

        推論2線性空間V任何一個有限維子空間W都是生成子空間。

        定理2①兩個向量組生成相同子空間的充要條件是這兩個向量組等價。②L(α1,α2,…,αr)的維數(shù)等于向量組α1,α2,…,αr的秩,而它的一組基就是α1,α2,…,αr的一個極大線性無關(guān)組。

        對于②,教師引導(dǎo)學(xué)生回顧基的定義和極大無關(guān)組的定義,通過比較得到結(jié)論。

        例2在線性空間P3中求子空間L(α1,α2,α3,α4)的基與維數(shù)。

        通過例2,鞏固定理2結(jié)論,進(jìn)一步強(qiáng)化子空間基的求法。教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧極大無關(guān)組的求法,完成題目的解答。

        (3)基的擴(kuò)充定理。由子空間的定義可知,子空間的維數(shù)不能超過原線性空間的維數(shù),由子空間的基出發(fā),可以得到線性空間的一組基。

        定理3設(shè)W是數(shù)域P上n維線性空間V的一個m維子空間,α1,α2,…,αm是W的一組基,那么這組向量必可擴(kuò)充為整個線性空間V的基。也就是說,在V中必定可以找到n-m個向量αm+1,αm+2,…,αn使得α1,…,αm,αm+1,…,αn是V的一組基。

        教師首先從逐個添加的角度進(jìn)行直觀的解釋說明,再利用數(shù)學(xué)歸納法給出完整嚴(yán)密的證明。

        最后,教師再通過例題鞏固本節(jié)的重點(diǎn),突破難點(diǎn)。

        例3設(shè)。(1)證明W是線性空間P2×2的子空間。(2)求W的基和維數(shù)。

        分析:(1)利用定理1證明W是子空間(證明留給學(xué)生)。(2)利用基的判別方法:W中一組線性無關(guān)的向量,且W中每個向量都能被這組向量線性表示。

        考慮取出線性空間P2×2的一組基:

        則W中每個向量都可以由E11,E12,E21,E22線性表示,

        顯然E11,E12,E21,E22線性無關(guān),且可以表示W(wǎng)中的每個向量。

        思考:這能說明E11,E12,E21,E22是子空間W的一組基嗎?如果是,請說明為什么,如果不是,請給出子空間W的一組基。

        思考部分的解答留給學(xué)生課后作業(yè)完成。

        (4)總結(jié)與布置作業(yè)??偨Y(jié)本節(jié)主要內(nèi)容:子空間的概念與判別定理;生成子空間的概念與性質(zhì);基的擴(kuò)充定理。

        布置課后任務(wù):①通讀教材本節(jié)內(nèi)容,補(bǔ)充完整課上的留白,可以到學(xué)習(xí)通觀看課程視頻。②完成學(xué)習(xí)通本節(jié)客觀題測驗(yàn)(主要針對概念與相關(guān)結(jié)論)。③完成學(xué)習(xí)通作業(yè),包括完成“亮考幫”的書寫,完成一道子空間的證明,完成課上例3的解答,完成教材課后習(xí)題第15題的解答(選做)。

        2.4 課后內(nèi)化吸收環(huán)節(jié)設(shè)計(jì) 學(xué)生完成教師所布置的任務(wù)(閱讀教材、補(bǔ)充留白、測驗(yàn)、作業(yè)、“亮考幫”)。

        2.5 小組討論環(huán)節(jié)設(shè)計(jì) ①小組討論:學(xué)生按課前分組開展討論大約20分鐘。②全班交流:在小組討論結(jié)束后教師提問2~3 組同學(xué)匯報(bào)討論情況或存在的問題,大約5 分鐘,再讓3~4 名同學(xué)自由發(fā)言,大約7分鐘。對于存在的問題,可以由老師解答,也可以由同學(xué)解答,最后老師做總結(jié),大約5分鐘。③重點(diǎn)內(nèi)容隨堂測驗(yàn)設(shè)計(jì):教師在學(xué)習(xí)通發(fā)放事先準(zhǔn)備好的測驗(yàn)題目,學(xué)生完成后拍照提交,大約8分鐘。

        以上是文獻(xiàn)[3]中“線性子空間”一節(jié)在對分課堂模式下簡略的教學(xué)設(shè)計(jì),具體實(shí)踐情況及效果如下。

        3 教學(xué)實(shí)踐及效果分析

        3.1 講授環(huán)節(jié)及效果分析 學(xué)生參與比較積極,聽課率較高。全班41名同學(xué),只有1名同學(xué)有注意力不集中的表現(xiàn)。

        相比于傳統(tǒng)兩小節(jié)講授的模式,對分課堂模式下講授環(huán)節(jié)只有一小節(jié),學(xué)生在心理預(yù)期上能接受,壓力不大。同時,由于上一小節(jié)是小組討論,學(xué)生大腦處于興奮的狀態(tài),不易產(chǎn)生困倦。另外,本節(jié)內(nèi)容難度不大也是原因之一。

        3.2 內(nèi)化吸收環(huán)節(jié)及效果分析 教師可以通過學(xué)習(xí)通后臺觀測到全班學(xué)生小測驗(yàn)及作業(yè)完成情況。

        小測驗(yàn)完成率較高,全班41人,有39名同學(xué)按時完成測驗(yàn),平均成績?yōu)?0.5分。由于事先告知小測驗(yàn)不計(jì)成績,所以學(xué)生無負(fù)擔(dān)解答,基本能反映出實(shí)際水平。

        全班41人,全部按時提交作業(yè)。作業(yè)中證明子空間的題目,按照步驟解答即可,比較容易,完成率較高;求子空間的基的題目在課堂上老師進(jìn)行過思路分析,但需要進(jìn)一步分析整理,難度中檔,完成率略有下降;課后習(xí)題第15 題難度偏大,計(jì)算量也較大,只有少部分同學(xué)進(jìn)行了解答,完成率較低;書寫“亮考幫”難度不大。由于中低檔難度的作業(yè)一定是本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容,極有可能在隨堂測驗(yàn)、單元測驗(yàn)中出現(xiàn)類似的題目,而隨堂測驗(yàn)、單元測驗(yàn)要計(jì)入成績,所以學(xué)生會比較重視。

        全班41人,根據(jù)需要有15人觀看了學(xué)習(xí)通中部分視頻,觀看率較低,這與本節(jié)內(nèi)容難度不大有一定的關(guān)系。

        3.3 討論環(huán)節(jié)及效果分析 全班41人,按座位就近分成10組,每組3~5人,除1名學(xué)生外其他同學(xué)都能參加討論,狀態(tài)較好。學(xué)生討論期間,教師教室內(nèi)走動,適當(dāng)旁聽各小組討論。教師不主動參與小組討論的內(nèi)容,但對于小組的求助要給予適當(dāng)指導(dǎo),發(fā)現(xiàn)對概念的錯誤理解要及時指出。

        在學(xué)生討論20分鐘后,教師提問了2名同學(xué),另有4名同學(xué)自由發(fā)言。下面分享兩位同學(xué)發(fā)言時師生、生生交流情況:

        學(xué)生A(教師點(diǎn)名發(fā)言):“我們小組主要通過互相提問復(fù)習(xí)了子空間的概念和判別方法,并且就小測驗(yàn)和作業(yè)內(nèi)容進(jìn)行了討論,解決了一些模糊的認(rèn)識?,F(xiàn)在面向全班提一個我們在討論中已經(jīng)解決的問題:在證明子空間的時候是否需要驗(yàn)證這個子集是非空的,如何去驗(yàn)證?”這個問題難度不大,教室安靜大約10秒后,就有同學(xué)回答:“必須驗(yàn)證,因?yàn)槎x要求是非空子集,對于如何驗(yàn)證不是空集,這很簡單,那就是驗(yàn)證原線性空間的零向量在這個子集中就可以了。”對于這個回答學(xué)生A給予了肯定。老師對這個問題又進(jìn)行了追問:“原線性空間的零向量為什么一定在這個子集中呢?會不會有不在的時候?”全班安靜。最后還是學(xué)生A進(jìn)行了回答:“這是因?yàn)橐C明這個非空子集是子空間,所以子空間也一定有零向量,而由性質(zhì)可知,原線性空間的零向量和子空間的零向量是相同的?!?/p>

        學(xué)生B(學(xué)生自由發(fā)言):“我們小組有一個問題,對于作業(yè)中的子空間,能否直接猜出它的維數(shù)呢?”老師環(huán)視全班,一個同學(xué)回答:“我知道它的維數(shù)不超過4,因?yàn)樵€性空間的維數(shù)是4,子空間的維數(shù)自然不能超過4。”學(xué)生B的問題,稍有些難度,沒接觸過的同學(xué)不好回答,但在作業(yè)中也有同學(xué)是先寫出了維數(shù)是2,再求子空間的基。對這個問題老師給予了正面解答:“由于作業(yè)題比較特殊,我們可以從其構(gòu)成初步判斷維數(shù);我們先看原線性空間的一般元素,這個矩陣中4個位置上的數(shù)彼此是沒有關(guān)系的,就是說任意取值,有4個獨(dú)立的位置,而線性空間P2×2恰好就是4維的。對于子空間中的一般元素,發(fā)現(xiàn)4個位置上的元素只有兩個是獨(dú)立的,任意取值的,所以可以初步判斷維數(shù)為2,但要注意這并不是嚴(yán)格的推理;另外,對于一些復(fù)雜的子空間,是無法猜測其維數(shù)的,比如教材習(xí)題第15題?!?/p>

        提問和自由交流之后,老師進(jìn)行了總結(jié)提升:在證明推理中要注意嚴(yán)謹(jǐn)性,有理有據(jù);同時指出作業(yè)中容易犯的一個錯誤是誤認(rèn)為原線性空間的基E11,E12,E21,E22也是子空間的基,錯誤的根源在于沒有驗(yàn)證這組向量是否在子空間之中,而只是注重了基的判別定理的形式;另外,這個作業(yè)題也提示我們,在尋找子空間的基時可以考慮從原線性空間的基出發(fā)。

        在小組討論之后,教師安排了重點(diǎn)內(nèi)容測驗(yàn)。課后經(jīng)查看學(xué)生提交情況,有90%以上的同學(xué)能完整地書寫解答過程。

        小組討論能順利進(jìn)行,這主要是由于前面有內(nèi)化吸收、課后小測驗(yàn)、作業(yè)、“亮考幫”的充分準(zhǔn)備,學(xué)生有備而來,有可討論的話題。

        4 高等代數(shù)對分課堂需要注意的問題

        4.1 精心備課,合理留白 在課堂講授階段,教師要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際能力和教學(xué)內(nèi)容來安排哪些內(nèi)容不講,哪些內(nèi)容講,講到什么程度,這對教師提出很高的要求。高等代數(shù)課程內(nèi)容是十分抽象的,教師要逐步培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力,難度大的問題教師要詳細(xì)講,一般難度的問題教師主要提點(diǎn)思路或給出部分解答,較容易的問題教師要留給學(xué)生完成。

        4.2 布置分層作業(yè),獨(dú)立完成測驗(yàn) 對于書面作業(yè),盡量分層布置,不同程度的學(xué)生可以完成不同層次的作業(yè),讓每位學(xué)生都有不同程度的成就感。要注意強(qiáng)調(diào)課后的小測驗(yàn)不計(jì)成績,隨堂的小測驗(yàn)計(jì)成績,其目的是讓學(xué)生能獨(dú)立完成課后小測驗(yàn),重視隨堂測驗(yàn),提升教學(xué)效果。“亮考幫”是討論順利進(jìn)行的保證,應(yīng)要求學(xué)生認(rèn)真完成,但不必追求“亮”“考”“幫”中問題的數(shù)量。

        4.3 自由討論,解決個性問題 在小組討論中不必特意要求學(xué)生提出討論高難的問題,只要有討論,就有思考,就有收獲,就能解決個性的問題,就能培養(yǎng)合作交流能力和解決問題能力。

        對分課堂容易上手,易于操作,但是針對不同的課程與學(xué)生還要靈活掌握,有針對性進(jìn)行調(diào)整,以取得更好的教學(xué)效果。

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