吳校良，孫 飛，牛英春，田 楊

（1.內(nèi)蒙古民族大學(xué)，內(nèi)蒙古 通遼 028043；2.通遼職業(yè)學(xué)院師范教育系，內(nèi)蒙古 通遼 028000）

高等代數(shù)是數(shù)學(xué)類專業(yè)的一門基礎(chǔ)核心課程，該課程對于后繼課程的學(xué)習(xí)有很大的影響。高等代數(shù)課程的特點是比較抽象、理論性比較強(qiáng)。傳統(tǒng)的高等代數(shù)課堂主要以講授為主，學(xué)生參與性較差，不利于學(xué)生主動學(xué)習(xí)、發(fā)現(xiàn)問題、勇于思考、合作交流等能力的培養(yǎng)［1-2］。

首先介紹了對分課堂，并以文獻(xiàn)［3］中第6章第5節(jié)“線性子空間”為例，展示了在對分課堂教學(xué)理念下如何進(jìn)行教學(xué)設(shè)計、教學(xué)實踐情況以及教學(xué)效果分析，最后對應(yīng)用對分課堂需要注意的事項進(jìn)行了說明。

1 對分課堂教學(xué)模式

1.1 對分課堂介紹［4-5］對分課堂是復(fù)旦大學(xué)張學(xué)新教授于2014年基于腦科學(xué)與學(xué)習(xí)科學(xué)創(chuàng)立的本土教學(xué)新模式，其核心理念是將課堂時間對半分，一半給老師講授，一半給學(xué)生討論，并且將講授與討論的時間錯開。這種教學(xué)模式將傳統(tǒng)的講授式教學(xué)、學(xué)生自學(xué)、小組合作和師生互動等形式結(jié)合了起來［2-4］。對分課堂承繼傳統(tǒng)文化，創(chuàng)新教育理念，構(gòu)建有效方法，顯著增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動性，提升教學(xué)效果。對分課堂自提出之日起就迅速在全國高校及中小學(xué)傳播開來［2］。通過長期的教學(xué)實踐，筆者認(rèn)為高等代數(shù)課程教學(xué)可以采用對分課堂教學(xué)模式，融入對分課堂教學(xué)理念。

1.2 對分課堂的基本流程［5-7］見圖1。

圖1 對分課堂基本流程Fig.1 Basic process of PAD class

1.3 對分課堂教學(xué)模式的特點［5，8］（1）對分課堂普適性強(qiáng)，既能用于文科，也能用于理工科；既能用于理論課，也能用于實踐課；既能用于高等院校，也能用于中小學(xué)校；既能用于小班授課，也能用于大班授課。（2）對分課堂操作簡單，容易上手。老師在接受培訓(xùn)后甚至是了解對分的操作流程后就能在自己的課堂上實踐。對分課堂可以單獨使用，也可以結(jié)合線上平臺進(jìn)行使用。（3）對分課堂能顯著提升學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，個性得到發(fā)展，合作交流能力得到提升。（4）對分課堂在講授和討論之間留有一定的時間間隔，利于學(xué)生消化吸收，同時為討論做好充分的準(zhǔn)備。（5）“亮考幫”作業(yè)是對分課堂的一個特色，是對所學(xué)知識的有效梳理，也為開展小組討論做好準(zhǔn)備。其中，“亮”是指學(xué)生寫出自己能掌握、比較擅長的知識內(nèi)容，在小組討論環(huán)節(jié)在小組內(nèi)進(jìn)行展示；“考”是指針對自己擅長的知識提出一個問題，考考小組同學(xué)；“幫”是指學(xué)生沒有掌握、存在疑問的內(nèi)容，在小組討論中尋求同學(xué)幫助。

1.4 高等代數(shù)對分課堂環(huán)節(jié) 根據(jù)高等代數(shù)課程的特點，建議主要采取隔堂對分的形式，也就是把講授與討論錯開，把講授放于一次課的第二小節(jié)，把討論放于下一次課的第一小節(jié)。

教師在課堂應(yīng)當(dāng)把課程微視頻、課件、鏈接等資料發(fā)布到學(xué)習(xí)通平臺，并明確指出教學(xué)目標(biāo)與具體要求，布置好小測驗和作業(yè)。

（1）課堂講授：教師講框架，講重點，根據(jù)學(xué)生程度適當(dāng)留白。（2）內(nèi)化吸收：閱讀教材，完成課堂留白，完成小測驗，完成作業(yè)，完成“亮考幫”。在此環(huán)節(jié)，教師要及時查看學(xué)習(xí)通小測驗和作業(yè)情況，分析存在的主要問題，并在下次課及時反饋給學(xué)生。（3）小組討論：教師回顧主要內(nèi)容，學(xué)生分組討論，教師抽查，學(xué)生自由發(fā)言，教師總結(jié)。在此之后，教師可根據(jù)實際情況就重點內(nèi)容安排1~2道題目進(jìn)行隨堂測驗。

2 教學(xué)設(shè)計

2.1 教學(xué)目標(biāo)設(shè)計 （1）了解線性子空間的概念、生成子空間的概念和相關(guān)結(jié)論。（2）掌握線性子空間的判別方法，并能求出一些特殊子空間基和維數(shù)。（3）了解基的擴(kuò)充定理的內(nèi)容及其證明思路。（4）培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、歸納總結(jié)、合作共享的意識和能力。（5）培養(yǎng)轉(zhuǎn)化的解題思想與方法。

教學(xué)重點：掌握子空間的判別方法。教學(xué)難點：不同類型子空間基與維數(shù)的求法。

2.2 教學(xué)方法設(shè)計 采用對分課堂教學(xué)模式，即“講授+內(nèi)化吸收+討論”，教師先進(jìn)行知識的精講，學(xué)生課后內(nèi)化吸收，完成課后任務(wù)，下節(jié)課第一節(jié)進(jìn)行小組討論。

2.3 講授環(huán)節(jié)設(shè)計 （1）線性子空間的概念與判別方法。首先復(fù)習(xí)線性空間的概念，并從集合角度比較線性空間P[x]和線性空間P[x]n，從而引出線性子空間的概念。

定義1數(shù)域P上的線性空間V的一個非空子集W稱為V的一個線性子空間（或簡稱子空間），如果W對于V的兩種運算也構(gòu)成數(shù)域P上的線性空間。

對于線性空間V的非空子集W，線性空間V中的兩種運算所滿足的一些規(guī)律在W中自然成立，由此引出線性子空間簡化的判別方法。

定理1設(shè)W是線性空間V的一個非空子集，則W是V的一個子空間當(dāng)且僅當(dāng)W對于V兩種運算是封閉的，即① ?α,β∈W，有α+β∈W；② ?α∈W,k∈P，有kα∈W。

對于該定理，教師并不書寫詳細(xì)的證明，留給學(xué)生補(bǔ)充。

通過例題鞏固判別方法。

例1設(shè)A是數(shù)域P上的s×n矩陣，則齊次線性方程組AX=0 的所有解的集合W是線性空間Pn的子空間，稱為是齊次線性方程組AX=0 的解空間。并且齊次線性方程組AX=0 的基礎(chǔ)解系就是其解空間的一組基，維數(shù)為n-r，其中，r是矩陣A的秩。

對于例1，教師從齊次線性方程組解的性質(zhì)給予解釋，詳細(xì)過程留給學(xué)生書寫。

（2）生成子空間的概念與性質(zhì)。

定義2設(shè)α1,α2,…,αr是線性空間V中一組向量，這組向量所有可能的線性組合所成的集合記為

則它是V的一個子空間，稱其為由生成元α1,α2,…,αr生成的子空間。

根據(jù)子空間對兩種運算的封閉性以及基的判別方法可得：

推論1L(α1,α2,…,αr)是線性空間V的包含α1,α2,…,αr的最小子空間，即如果子空間W包含α1,α2,…,αr，則L(α1,α2,…,αr)?W。

推論2線性空間V任何一個有限維子空間W都是生成子空間。

定理2①兩個向量組生成相同子空間的充要條件是這兩個向量組等價。②L(α1,α2,…,αr)的維數(shù)等于向量組α1,α2,…,αr的秩，而它的一組基就是α1,α2,…,αr的一個極大線性無關(guān)組。

對于②，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧基的定義和極大無關(guān)組的定義，通過比較得到結(jié)論。

例2在線性空間P3中求子空間L(α1,α2,α3,α4)的基與維數(shù)。

通過例2，鞏固定理2結(jié)論，進(jìn)一步強(qiáng)化子空間基的求法。教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧極大無關(guān)組的求法，完成題目的解答。

（3）基的擴(kuò)充定理。由子空間的定義可知，子空間的維數(shù)不能超過原線性空間的維數(shù)，由子空間的基出發(fā)，可以得到線性空間的一組基。

定理3設(shè)W是數(shù)域P上n維線性空間V的一個m維子空間，α1,α2,…,αm是W的一組基，那么這組向量必可擴(kuò)充為整個線性空間V的基。也就是說，在V中必定可以找到n-m個向量αm+1,αm+2,…,αn使得α1,…,αm,αm+1,…,αn是V的一組基。

教師首先從逐個添加的角度進(jìn)行直觀的解釋說明，再利用數(shù)學(xué)歸納法給出完整嚴(yán)密的證明。

最后，教師再通過例題鞏固本節(jié)的重點，突破難點。

例3設(shè)。（1）證明W是線性空間P2×2的子空間。（2）求W的基和維數(shù)。

分析：（1）利用定理1證明W是子空間（證明留給學(xué)生）。（2）利用基的判別方法：W中一組線性無關(guān)的向量，且W中每個向量都能被這組向量線性表示。

考慮取出線性空間P2×2的一組基：

則W中每個向量都可以由E11,E12,E21,E22線性表示，

顯然E11,E12,E21,E22線性無關(guān)，且可以表示W(wǎng)中的每個向量。

思考：這能說明E11,E12,E21,E22是子空間W的一組基嗎？如果是，請說明為什么，如果不是，請給出子空間W的一組基。

思考部分的解答留給學(xué)生課后作業(yè)完成。

（4）總結(jié)與布置作業(yè)?？偨Y(jié)本節(jié)主要內(nèi)容：子空間的概念與判別定理；生成子空間的概念與性質(zhì)；基的擴(kuò)充定理。

布置課后任務(wù)：①通讀教材本節(jié)內(nèi)容，補(bǔ)充完整課上的留白，可以到學(xué)習(xí)通觀看課程視頻。②完成學(xué)習(xí)通本節(jié)客觀題測驗（主要針對概念與相關(guān)結(jié)論）。③完成學(xué)習(xí)通作業(yè)，包括完成“亮考幫”的書寫，完成一道子空間的證明，完成課上例3的解答，完成教材課后習(xí)題第15題的解答（選做）。

2.4 課后內(nèi)化吸收環(huán)節(jié)設(shè)計 學(xué)生完成教師所布置的任務(wù)（閱讀教材、補(bǔ)充留白、測驗、作業(yè)、“亮考幫”）。

2.5 小組討論環(huán)節(jié)設(shè)計 ①小組討論：學(xué)生按課前分組開展討論大約20分鐘。②全班交流：在小組討論結(jié)束后教師提問2~3 組同學(xué)匯報討論情況或存在的問題，大約5 分鐘，再讓3~4 名同學(xué)自由發(fā)言，大約7分鐘。對于存在的問題，可以由老師解答，也可以由同學(xué)解答，最后老師做總結(jié)，大約5分鐘。③重點內(nèi)容隨堂測驗設(shè)計：教師在學(xué)習(xí)通發(fā)放事先準(zhǔn)備好的測驗題目，學(xué)生完成后拍照提交，大約8分鐘。

以上是文獻(xiàn)［3］中“線性子空間”一節(jié)在對分課堂模式下簡略的教學(xué)設(shè)計，具體實踐情況及效果如下。

3 教學(xué)實踐及效果分析

3.1 講授環(huán)節(jié)及效果分析 學(xué)生參與比較積極，聽課率較高。全班41名同學(xué)，只有1名同學(xué)有注意力不集中的表現(xiàn)。

相比于傳統(tǒng)兩小節(jié)講授的模式，對分課堂模式下講授環(huán)節(jié)只有一小節(jié)，學(xué)生在心理預(yù)期上能接受，壓力不大。同時，由于上一小節(jié)是小組討論，學(xué)生大腦處于興奮的狀態(tài)，不易產(chǎn)生困倦。另外，本節(jié)內(nèi)容難度不大也是原因之一。

3.2 內(nèi)化吸收環(huán)節(jié)及效果分析 教師可以通過學(xué)習(xí)通后臺觀測到全班學(xué)生小測驗及作業(yè)完成情況。

小測驗完成率較高，全班41人，有39名同學(xué)按時完成測驗，平均成績?yōu)?0.5分。由于事先告知小測驗不計成績，所以學(xué)生無負(fù)擔(dān)解答，基本能反映出實際水平。

全班41人，全部按時提交作業(yè)。作業(yè)中證明子空間的題目，按照步驟解答即可，比較容易，完成率較高；求子空間的基的題目在課堂上老師進(jìn)行過思路分析，但需要進(jìn)一步分析整理，難度中檔，完成率略有下降；課后習(xí)題第15 題難度偏大，計算量也較大，只有少部分同學(xué)進(jìn)行了解答，完成率較低；書寫“亮考幫”難度不大。由于中低檔難度的作業(yè)一定是本節(jié)的重點內(nèi)容，極有可能在隨堂測驗、單元測驗中出現(xiàn)類似的題目，而隨堂測驗、單元測驗要計入成績，所以學(xué)生會比較重視。

全班41人，根據(jù)需要有15人觀看了學(xué)習(xí)通中部分視頻，觀看率較低，這與本節(jié)內(nèi)容難度不大有一定的關(guān)系。

3.3 討論環(huán)節(jié)及效果分析 全班41人，按座位就近分成10組，每組3~5人，除1名學(xué)生外其他同學(xué)都能參加討論，狀態(tài)較好。學(xué)生討論期間，教師教室內(nèi)走動，適當(dāng)旁聽各小組討論。教師不主動參與小組討論的內(nèi)容，但對于小組的求助要給予適當(dāng)指導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)對概念的錯誤理解要及時指出。

在學(xué)生討論20分鐘后，教師提問了2名同學(xué)，另有4名同學(xué)自由發(fā)言。下面分享兩位同學(xué)發(fā)言時師生、生生交流情況：

學(xué)生A（教師點名發(fā)言）：“我們小組主要通過互相提問復(fù)習(xí)了子空間的概念和判別方法，并且就小測驗和作業(yè)內(nèi)容進(jìn)行了討論，解決了一些模糊的認(rèn)識?，F(xiàn)在面向全班提一個我們在討論中已經(jīng)解決的問題：在證明子空間的時候是否需要驗證這個子集是非空的，如何去驗證？”這個問題難度不大，教室安靜大約10秒后，就有同學(xué)回答：“必須驗證，因為定義要求是非空子集，對于如何驗證不是空集，這很簡單，那就是驗證原線性空間的零向量在這個子集中就可以了?！睂τ谶@個回答學(xué)生A給予了肯定。老師對這個問題又進(jìn)行了追問：“原線性空間的零向量為什么一定在這個子集中呢？會不會有不在的時候？”全班安靜。最后還是學(xué)生A進(jìn)行了回答：“這是因為要證明這個非空子集是子空間，所以子空間也一定有零向量，而由性質(zhì)可知，原線性空間的零向量和子空間的零向量是相同的?！?/p>

學(xué)生B（學(xué)生自由發(fā)言）：“我們小組有一個問題，對于作業(yè)中的子空間，能否直接猜出它的維數(shù)呢？”老師環(huán)視全班，一個同學(xué)回答：“我知道它的維數(shù)不超過4，因為原線性空間的維數(shù)是4，子空間的維數(shù)自然不能超過4?！睂W(xué)生B的問題，稍有些難度，沒接觸過的同學(xué)不好回答，但在作業(yè)中也有同學(xué)是先寫出了維數(shù)是2，再求子空間的基。對這個問題老師給予了正面解答：“由于作業(yè)題比較特殊，我們可以從其構(gòu)成初步判斷維數(shù)；我們先看原線性空間的一般元素，這個矩陣中4個位置上的數(shù)彼此是沒有關(guān)系的，就是說任意取值，有4個獨立的位置，而線性空間P2×2恰好就是4維的。對于子空間中的一般元素，發(fā)現(xiàn)4個位置上的元素只有兩個是獨立的，任意取值的，所以可以初步判斷維數(shù)為2，但要注意這并不是嚴(yán)格的推理；另外，對于一些復(fù)雜的子空間，是無法猜測其維數(shù)的，比如教材習(xí)題第15題。”

提問和自由交流之后，老師進(jìn)行了總結(jié)提升：在證明推理中要注意嚴(yán)謹(jǐn)性，有理有據(jù)；同時指出作業(yè)中容易犯的一個錯誤是誤認(rèn)為原線性空間的基E11,E12,E21,E22也是子空間的基，錯誤的根源在于沒有驗證這組向量是否在子空間之中，而只是注重了基的判別定理的形式；另外，這個作業(yè)題也提示我們，在尋找子空間的基時可以考慮從原線性空間的基出發(fā)。

在小組討論之后，教師安排了重點內(nèi)容測驗。課后經(jīng)查看學(xué)生提交情況，有90%以上的同學(xué)能完整地書寫解答過程。

小組討論能順利進(jìn)行，這主要是由于前面有內(nèi)化吸收、課后小測驗、作業(yè)、“亮考幫”的充分準(zhǔn)備，學(xué)生有備而來，有可討論的話題。

4 高等代數(shù)對分課堂需要注意的問題

4.1 精心備課，合理留白 在課堂講授階段，教師要根據(jù)學(xué)生的實際能力和教學(xué)內(nèi)容來安排哪些內(nèi)容不講，哪些內(nèi)容講，講到什么程度，這對教師提出很高的要求。高等代數(shù)課程內(nèi)容是十分抽象的，教師要逐步培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力，難度大的問題教師要詳細(xì)講，一般難度的問題教師主要提點思路或給出部分解答，較容易的問題教師要留給學(xué)生完成。

4.2 布置分層作業(yè)，獨立完成測驗 對于書面作業(yè)，盡量分層布置，不同程度的學(xué)生可以完成不同層次的作業(yè)，讓每位學(xué)生都有不同程度的成就感。要注意強(qiáng)調(diào)課后的小測驗不計成績，隨堂的小測驗計成績，其目的是讓學(xué)生能獨立完成課后小測驗，重視隨堂測驗，提升教學(xué)效果?！傲量紟汀笔怯懻擁樌M(jìn)行的保證，應(yīng)要求學(xué)生認(rèn)真完成，但不必追求“亮”“考”“幫”中問題的數(shù)量。

4.3 自由討論，解決個性問題 在小組討論中不必特意要求學(xué)生提出討論高難的問題，只要有討論，就有思考，就有收獲，就能解決個性的問題，就能培養(yǎng)合作交流能力和解決問題能力。

對分課堂容易上手，易于操作，但是針對不同的課程與學(xué)生還要靈活掌握，有針對性進(jìn)行調(diào)整，以取得更好的教學(xué)效果。