吳校良，孫 飛，牛英春，田 楊

（1.內(nèi)蒙古民族大學(xué)，內(nèi)蒙古 通遼 028043；2.通遼職業(yè)學(xué)院師范教育系，內(nèi)蒙古 通遼 028000）

高等代數(shù)是數(shù)學(xué)類專業(yè)的一門(mén)基礎(chǔ)核心課程，該課程對(duì)于后繼課程的學(xué)習(xí)有很大的影響。高等代數(shù)課程的特點(diǎn)是比較抽象、理論性比較強(qiáng)。傳統(tǒng)的高等代數(shù)課堂主要以講授為主，學(xué)生參與性較差，不利于學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、勇于思考、合作交流等能力的培養(yǎng)［1-2］。

首先介紹了對(duì)分課堂，并以文獻(xiàn)［3］中第6章第5節(jié)“線性子空間”為例，展示了在對(duì)分課堂教學(xué)理念下如何進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)實(shí)踐情況以及教學(xué)效果分析，最后對(duì)應(yīng)用對(duì)分課堂需要注意的事項(xiàng)進(jìn)行了說(shuō)明。

1 對(duì)分課堂教學(xué)模式

1.1 對(duì)分課堂介紹［4-5］對(duì)分課堂是復(fù)旦大學(xué)張學(xué)新教授于2014年基于腦科學(xué)與學(xué)習(xí)科學(xué)創(chuàng)立的本土教學(xué)新模式，其核心理念是將課堂時(shí)間對(duì)半分，一半給老師講授，一半給學(xué)生討論，并且將講授與討論的時(shí)間錯(cuò)開(kāi)。這種教學(xué)模式將傳統(tǒng)的講授式教學(xué)、學(xué)生自學(xué)、小組合作和師生互動(dòng)等形式結(jié)合了起來(lái)［2-4］。對(duì)分課堂承繼傳統(tǒng)文化，創(chuàng)新教育理念，構(gòu)建有效方法，顯著增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性，提升教學(xué)效果。對(duì)分課堂自提出之日起就迅速在全國(guó)高校及中小學(xué)傳播開(kāi)來(lái)［2］。通過(guò)長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐，筆者認(rèn)為高等代數(shù)課程教學(xué)可以采用對(duì)分課堂教學(xué)模式，融入對(duì)分課堂教學(xué)理念。

1.2 對(duì)分課堂的基本流程［5-7］見(jiàn)圖1。

圖1 對(duì)分課堂基本流程Fig.1 Basic process of PAD class

1.3 對(duì)分課堂教學(xué)模式的特點(diǎn)［5，8］（1）對(duì)分課堂普適性強(qiáng)，既能用于文科，也能用于理工科；既能用于理論課，也能用于實(shí)踐課；既能用于高等院校，也能用于中小學(xué)校；既能用于小班授課，也能用于大班授課。（2）對(duì)分課堂操作簡(jiǎn)單，容易上手。老師在接受培訓(xùn)后甚至是了解對(duì)分的操作流程后就能在自己的課堂上實(shí)踐。對(duì)分課堂可以單獨(dú)使用，也可以結(jié)合線上平臺(tái)進(jìn)行使用。（3）對(duì)分課堂能顯著提升學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，個(gè)性得到發(fā)展，合作交流能力得到提升。（4）對(duì)分課堂在講授和討論之間留有一定的時(shí)間間隔，利于學(xué)生消化吸收，同時(shí)為討論做好充分的準(zhǔn)備。（5）“亮考幫”作業(yè)是對(duì)分課堂的一個(gè)特色，是對(duì)所學(xué)知識(shí)的有效梳理，也為開(kāi)展小組討論做好準(zhǔn)備。其中，“亮”是指學(xué)生寫(xiě)出自己能掌握、比較擅長(zhǎng)的知識(shí)內(nèi)容，在小組討論環(huán)節(jié)在小組內(nèi)進(jìn)行展示；“考”是指針對(duì)自己擅長(zhǎng)的知識(shí)提出一個(gè)問(wèn)題，考考小組同學(xué)；“幫”是指學(xué)生沒(méi)有掌握、存在疑問(wèn)的內(nèi)容，在小組討論中尋求同學(xué)幫助。

1.4 高等代數(shù)對(duì)分課堂環(huán)節(jié) 根據(jù)高等代數(shù)課程的特點(diǎn)，建議主要采取隔堂對(duì)分的形式，也就是把講授與討論錯(cuò)開(kāi)，把講授放于一次課的第二小節(jié)，把討論放于下一次課的第一小節(jié)。

教師在課堂應(yīng)當(dāng)把課程微視頻、課件、鏈接等資料發(fā)布到學(xué)習(xí)通平臺(tái)，并明確指出教學(xué)目標(biāo)與具體要求，布置好小測(cè)驗(yàn)和作業(yè)。

（1）課堂講授：教師講框架，講重點(diǎn)，根據(jù)學(xué)生程度適當(dāng)留白。（2）內(nèi)化吸收：閱讀教材，完成課堂留白，完成小測(cè)驗(yàn)，完成作業(yè)，完成“亮考幫”。在此環(huán)節(jié)，教師要及時(shí)查看學(xué)習(xí)通小測(cè)驗(yàn)和作業(yè)情況，分析存在的主要問(wèn)題，并在下次課及時(shí)反饋給學(xué)生。（3）小組討論：教師回顧主要內(nèi)容，學(xué)生分組討論，教師抽查，學(xué)生自由發(fā)言，教師總結(jié)。在此之后，教師可根據(jù)實(shí)際情況就重點(diǎn)內(nèi)容安排1~2道題目進(jìn)行隨堂測(cè)驗(yàn)。

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì) （1）了解線性子空間的概念、生成子空間的概念和相關(guān)結(jié)論。（2）掌握線性子空間的判別方法，并能求出一些特殊子空間基和維數(shù)。（3）了解基的擴(kuò)充定理的內(nèi)容及其證明思路。（4）培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、歸納總結(jié)、合作共享的意識(shí)和能力。（5）培養(yǎng)轉(zhuǎn)化的解題思想與方法。

教學(xué)重點(diǎn)：掌握子空間的判別方法。教學(xué)難點(diǎn)：不同類型子空間基與維數(shù)的求法。

2.2 教學(xué)方法設(shè)計(jì) 采用對(duì)分課堂教學(xué)模式，即“講授+內(nèi)化吸收+討論”，教師先進(jìn)行知識(shí)的精講，學(xué)生課后內(nèi)化吸收，完成課后任務(wù)，下節(jié)課第一節(jié)進(jìn)行小組討論。

2.3 講授環(huán)節(jié)設(shè)計(jì) （1）線性子空間的概念與判別方法。首先復(fù)習(xí)線性空間的概念，并從集合角度比較線性空間P[x]和線性空間P[x]n，從而引出線性子空間的概念。

定義1數(shù)域P上的線性空間V的一個(gè)非空子集W稱為V的一個(gè)線性子空間（或簡(jiǎn)稱子空間），如果W對(duì)于V的兩種運(yùn)算也構(gòu)成數(shù)域P上的線性空間。

對(duì)于線性空間V的非空子集W，線性空間V中的兩種運(yùn)算所滿足的一些規(guī)律在W中自然成立，由此引出線性子空間簡(jiǎn)化的判別方法。

定理1設(shè)W是線性空間V的一個(gè)非空子集，則W是V的一個(gè)子空間當(dāng)且僅當(dāng)W對(duì)于V兩種運(yùn)算是封閉的，即① ?α,β∈W，有α+β∈W；② ?α∈W,k∈P，有kα∈W。

對(duì)于該定理，教師并不書(shū)寫(xiě)詳細(xì)的證明，留給學(xué)生補(bǔ)充。

通過(guò)例題鞏固判別方法。

例1設(shè)A是數(shù)域P上的s×n矩陣，則齊次線性方程組AX=0 的所有解的集合W是線性空間Pn的子空間，稱為是齊次線性方程組AX=0 的解空間。并且齊次線性方程組AX=0 的基礎(chǔ)解系就是其解空間的一組基，維數(shù)為n-r，其中，r是矩陣A的秩。

對(duì)于例1，教師從齊次線性方程組解的性質(zhì)給予解釋，詳細(xì)過(guò)程留給學(xué)生書(shū)寫(xiě)。

（2）生成子空間的概念與性質(zhì)。

定義2設(shè)α1,α2,…,αr是線性空間V中一組向量，這組向量所有可能的線性組合所成的集合記為

則它是V的一個(gè)子空間，稱其為由生成元α1,α2,…,αr生成的子空間。

根據(jù)子空間對(duì)兩種運(yùn)算的封閉性以及基的判別方法可得：

推論1L(α1,α2,…,αr)是線性空間V的包含α1,α2,…,αr的最小子空間，即如果子空間W包含α1,α2,…,αr，則L(α1,α2,…,αr)?W。

推論2線性空間V任何一個(gè)有限維子空間W都是生成子空間。

定理2①兩個(gè)向量組生成相同子空間的充要條件是這兩個(gè)向量組等價(jià)。②L(α1,α2,…,αr)的維數(shù)等于向量組α1,α2,…,αr的秩，而它的一組基就是α1,α2,…,αr的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。

對(duì)于②，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧基的定義和極大無(wú)關(guān)組的定義，通過(guò)比較得到結(jié)論。

例2在線性空間P3中求子空間L(α1,α2,α3,α4)的基與維數(shù)。

通過(guò)例2，鞏固定理2結(jié)論，進(jìn)一步強(qiáng)化子空間基的求法。教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧極大無(wú)關(guān)組的求法，完成題目的解答。

（3）基的擴(kuò)充定理。由子空間的定義可知，子空間的維數(shù)不能超過(guò)原線性空間的維數(shù)，由子空間的基出發(fā)，可以得到線性空間的一組基。

定理3設(shè)W是數(shù)域P上n維線性空間V的一個(gè)m維子空間，α1,α2,…,αm是W的一組基，那么這組向量必可擴(kuò)充為整個(gè)線性空間V的基。也就是說(shuō)，在V中必定可以找到n-m個(gè)向量αm+1,αm+2,…,αn使得α1,…,αm,αm+1,…,αn是V的一組基。

教師首先從逐個(gè)添加的角度進(jìn)行直觀的解釋說(shuō)明，再利用數(shù)學(xué)歸納法給出完整嚴(yán)密的證明。

最后，教師再通過(guò)例題鞏固本節(jié)的重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。

例3設(shè)。（1）證明W是線性空間P2×2的子空間。（2）求W的基和維數(shù)。

分析：（1）利用定理1證明W是子空間（證明留給學(xué)生）。（2）利用基的判別方法：W中一組線性無(wú)關(guān)的向量，且W中每個(gè)向量都能被這組向量線性表示。

考慮取出線性空間P2×2的一組基：

則W中每個(gè)向量都可以由E11,E12,E21,E22線性表示，

顯然E11,E12,E21,E22線性無(wú)關(guān)，且可以表示W(wǎng)中的每個(gè)向量。

思考：這能說(shuō)明E11,E12,E21,E22是子空間W的一組基嗎？如果是，請(qǐng)說(shuō)明為什么，如果不是，請(qǐng)給出子空間W的一組基。

思考部分的解答留給學(xué)生課后作業(yè)完成。

（4）總結(jié)與布置作業(yè)?？偨Y(jié)本節(jié)主要內(nèi)容：子空間的概念與判別定理；生成子空間的概念與性質(zhì)；基的擴(kuò)充定理。

布置課后任務(wù)：①通讀教材本節(jié)內(nèi)容，補(bǔ)充完整課上的留白，可以到學(xué)習(xí)通觀看課程視頻。②完成學(xué)習(xí)通本節(jié)客觀題測(cè)驗(yàn)（主要針對(duì)概念與相關(guān)結(jié)論）。③完成學(xué)習(xí)通作業(yè)，包括完成“亮考幫”的書(shū)寫(xiě)，完成一道子空間的證明，完成課上例3的解答，完成教材課后習(xí)題第15題的解答（選做）。

2.4 課后內(nèi)化吸收環(huán)節(jié)設(shè)計(jì) 學(xué)生完成教師所布置的任務(wù)（閱讀教材、補(bǔ)充留白、測(cè)驗(yàn)、作業(yè)、“亮考幫”）。

2.5 小組討論環(huán)節(jié)設(shè)計(jì) ①小組討論：學(xué)生按課前分組開(kāi)展討論大約20分鐘。②全班交流：在小組討論結(jié)束后教師提問(wèn)2~3 組同學(xué)匯報(bào)討論情況或存在的問(wèn)題，大約5 分鐘，再讓3~4 名同學(xué)自由發(fā)言，大約7分鐘。對(duì)于存在的問(wèn)題，可以由老師解答，也可以由同學(xué)解答，最后老師做總結(jié)，大約5分鐘。③重點(diǎn)內(nèi)容隨堂測(cè)驗(yàn)設(shè)計(jì)：教師在學(xué)習(xí)通發(fā)放事先準(zhǔn)備好的測(cè)驗(yàn)題目，學(xué)生完成后拍照提交，大約8分鐘。

以上是文獻(xiàn)［3］中“線性子空間”一節(jié)在對(duì)分課堂模式下簡(jiǎn)略的教學(xué)設(shè)計(jì)，具體實(shí)踐情況及效果如下。

3 教學(xué)實(shí)踐及效果分析

3.1 講授環(huán)節(jié)及效果分析 學(xué)生參與比較積極，聽(tīng)課率較高。全班41名同學(xué)，只有1名同學(xué)有注意力不集中的表現(xiàn)。

相比于傳統(tǒng)兩小節(jié)講授的模式，對(duì)分課堂模式下講授環(huán)節(jié)只有一小節(jié)，學(xué)生在心理預(yù)期上能接受，壓力不大。同時(shí)，由于上一小節(jié)是小組討論，學(xué)生大腦處于興奮的狀態(tài)，不易產(chǎn)生困倦。另外，本節(jié)內(nèi)容難度不大也是原因之一。

3.2 內(nèi)化吸收環(huán)節(jié)及效果分析 教師可以通過(guò)學(xué)習(xí)通后臺(tái)觀測(cè)到全班學(xué)生小測(cè)驗(yàn)及作業(yè)完成情況。

小測(cè)驗(yàn)完成率較高，全班41人，有39名同學(xué)按時(shí)完成測(cè)驗(yàn)，平均成績(jī)?yōu)?0.5分。由于事先告知小測(cè)驗(yàn)不計(jì)成績(jī)，所以學(xué)生無(wú)負(fù)擔(dān)解答，基本能反映出實(shí)際水平。

全班41人，全部按時(shí)提交作業(yè)。作業(yè)中證明子空間的題目，按照步驟解答即可，比較容易，完成率較高；求子空間的基的題目在課堂上老師進(jìn)行過(guò)思路分析，但需要進(jìn)一步分析整理，難度中檔，完成率略有下降；課后習(xí)題第15 題難度偏大，計(jì)算量也較大，只有少部分同學(xué)進(jìn)行了解答，完成率較低；書(shū)寫(xiě)“亮考幫”難度不大。由于中低檔難度的作業(yè)一定是本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容，極有可能在隨堂測(cè)驗(yàn)、單元測(cè)驗(yàn)中出現(xiàn)類似的題目，而隨堂測(cè)驗(yàn)、單元測(cè)驗(yàn)要計(jì)入成績(jī)，所以學(xué)生會(huì)比較重視。

全班41人，根據(jù)需要有15人觀看了學(xué)習(xí)通中部分視頻，觀看率較低，這與本節(jié)內(nèi)容難度不大有一定的關(guān)系。

3.3 討論環(huán)節(jié)及效果分析 全班41人，按座位就近分成10組，每組3~5人，除1名學(xué)生外其他同學(xué)都能參加討論，狀態(tài)較好。學(xué)生討論期間，教師教室內(nèi)走動(dòng)，適當(dāng)旁聽(tīng)各小組討論。教師不主動(dòng)參與小組討論的內(nèi)容，但對(duì)于小組的求助要給予適當(dāng)指導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)對(duì)概念的錯(cuò)誤理解要及時(shí)指出。

在學(xué)生討論20分鐘后，教師提問(wèn)了2名同學(xué)，另有4名同學(xué)自由發(fā)言。下面分享兩位同學(xué)發(fā)言時(shí)師生、生生交流情況：

學(xué)生A（教師點(diǎn)名發(fā)言）：“我們小組主要通過(guò)互相提問(wèn)復(fù)習(xí)了子空間的概念和判別方法，并且就小測(cè)驗(yàn)和作業(yè)內(nèi)容進(jìn)行了討論，解決了一些模糊的認(rèn)識(shí)?，F(xiàn)在面向全班提一個(gè)我們?cè)谟懻撝幸呀?jīng)解決的問(wèn)題：在證明子空間的時(shí)候是否需要驗(yàn)證這個(gè)子集是非空的，如何去驗(yàn)證？”這個(gè)問(wèn)題難度不大，教室安靜大約10秒后，就有同學(xué)回答：“必須驗(yàn)證，因?yàn)槎x要求是非空子集，對(duì)于如何驗(yàn)證不是空集，這很簡(jiǎn)單，那就是驗(yàn)證原線性空間的零向量在這個(gè)子集中就可以了。”對(duì)于這個(gè)回答學(xué)生A給予了肯定。老師對(duì)這個(gè)問(wèn)題又進(jìn)行了追問(wèn)：“原線性空間的零向量為什么一定在這個(gè)子集中呢？會(huì)不會(huì)有不在的時(shí)候？”全班安靜。最后還是學(xué)生A進(jìn)行了回答：“這是因?yàn)橐C明這個(gè)非空子集是子空間，所以子空間也一定有零向量，而由性質(zhì)可知，原線性空間的零向量和子空間的零向量是相同的?！?/p>

學(xué)生B（學(xué)生自由發(fā)言）：“我們小組有一個(gè)問(wèn)題，對(duì)于作業(yè)中的子空間，能否直接猜出它的維數(shù)呢？”老師環(huán)視全班，一個(gè)同學(xué)回答：“我知道它的維數(shù)不超過(guò)4，因?yàn)樵€性空間的維數(shù)是4，子空間的維數(shù)自然不能超過(guò)4。”學(xué)生B的問(wèn)題，稍有些難度，沒(méi)接觸過(guò)的同學(xué)不好回答，但在作業(yè)中也有同學(xué)是先寫(xiě)出了維數(shù)是2，再求子空間的基。對(duì)這個(gè)問(wèn)題老師給予了正面解答：“由于作業(yè)題比較特殊，我們可以從其構(gòu)成初步判斷維數(shù)；我們先看原線性空間的一般元素，這個(gè)矩陣中4個(gè)位置上的數(shù)彼此是沒(méi)有關(guān)系的，就是說(shuō)任意取值，有4個(gè)獨(dú)立的位置，而線性空間P2×2恰好就是4維的。對(duì)于子空間中的一般元素，發(fā)現(xiàn)4個(gè)位置上的元素只有兩個(gè)是獨(dú)立的，任意取值的，所以可以初步判斷維數(shù)為2，但要注意這并不是嚴(yán)格的推理；另外，對(duì)于一些復(fù)雜的子空間，是無(wú)法猜測(cè)其維數(shù)的，比如教材習(xí)題第15題?！?/p>

提問(wèn)和自由交流之后，老師進(jìn)行了總結(jié)提升：在證明推理中要注意嚴(yán)謹(jǐn)性，有理有據(jù)；同時(shí)指出作業(yè)中容易犯的一個(gè)錯(cuò)誤是誤認(rèn)為原線性空間的基E11,E12,E21,E22也是子空間的基，錯(cuò)誤的根源在于沒(méi)有驗(yàn)證這組向量是否在子空間之中，而只是注重了基的判別定理的形式；另外，這個(gè)作業(yè)題也提示我們，在尋找子空間的基時(shí)可以考慮從原線性空間的基出發(fā)。

在小組討論之后，教師安排了重點(diǎn)內(nèi)容測(cè)驗(yàn)。課后經(jīng)查看學(xué)生提交情況，有90%以上的同學(xué)能完整地書(shū)寫(xiě)解答過(guò)程。

小組討論能順利進(jìn)行，這主要是由于前面有內(nèi)化吸收、課后小測(cè)驗(yàn)、作業(yè)、“亮考幫”的充分準(zhǔn)備，學(xué)生有備而來(lái)，有可討論的話題。

4 高等代數(shù)對(duì)分課堂需要注意的問(wèn)題

4.1 精心備課，合理留白 在課堂講授階段，教師要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際能力和教學(xué)內(nèi)容來(lái)安排哪些內(nèi)容不講，哪些內(nèi)容講，講到什么程度，這對(duì)教師提出很高的要求。高等代數(shù)課程內(nèi)容是十分抽象的，教師要逐步培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力，難度大的問(wèn)題教師要詳細(xì)講，一般難度的問(wèn)題教師主要提點(diǎn)思路或給出部分解答，較容易的問(wèn)題教師要留給學(xué)生完成。

4.2 布置分層作業(yè)，獨(dú)立完成測(cè)驗(yàn) 對(duì)于書(shū)面作業(yè)，盡量分層布置，不同程度的學(xué)生可以完成不同層次的作業(yè)，讓每位學(xué)生都有不同程度的成就感。要注意強(qiáng)調(diào)課后的小測(cè)驗(yàn)不計(jì)成績(jī)，隨堂的小測(cè)驗(yàn)計(jì)成績(jī)，其目的是讓學(xué)生能獨(dú)立完成課后小測(cè)驗(yàn)，重視隨堂測(cè)驗(yàn)，提升教學(xué)效果。“亮考幫”是討論順利進(jìn)行的保證，應(yīng)要求學(xué)生認(rèn)真完成，但不必追求“亮”“考”“幫”中問(wèn)題的數(shù)量。

4.3 自由討論，解決個(gè)性問(wèn)題 在小組討論中不必特意要求學(xué)生提出討論高難的問(wèn)題，只要有討論，就有思考，就有收獲，就能解決個(gè)性的問(wèn)題，就能培養(yǎng)合作交流能力和解決問(wèn)題能力。

對(duì)分課堂容易上手，易于操作，但是針對(duì)不同的課程與學(xué)生還要靈活掌握，有針對(duì)性進(jìn)行調(diào)整，以取得更好的教學(xué)效果。