［摘? 要］ 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)認(rèn)真研究教材內(nèi)容，按照教材內(nèi)容重構(gòu)原則進(jìn)行適度有效的刪減、增補(bǔ)、置換，將教材內(nèi)容轉(zhuǎn)化為適合學(xué)生發(fā)展的教學(xué)內(nèi)容，以此提高教學(xué)有效性. 針對“函數(shù)與方程”中的零點(diǎn)處理問題，除了按照教材內(nèi)容開展教學(xué)活動外，教師還應(yīng)結(jié)合教學(xué)實(shí)際挖掘?qū)W生的認(rèn)知誤區(qū)，滲透解決問題的方法，以此讓學(xué)生認(rèn)清問題的本質(zhì)，形成解題策略，提升教學(xué)品質(zhì).

［關(guān)鍵詞］ 教材內(nèi)容；內(nèi)容重構(gòu)；教學(xué)品質(zhì)

數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的深度和廣度是以數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)的，其滲透著編者對數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的主觀解讀，是編者對數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的一種具體化解讀過程. 同理，數(shù)學(xué)教師的“教”是對數(shù)學(xué)教材的一個具體化解讀過程. 教師要搞好教學(xué)工作，除了認(rèn)真解讀教材外，還要結(jié)合教學(xué)主客觀條件及學(xué)生實(shí)際情況對教材內(nèi)容進(jìn)行重構(gòu)，將教材內(nèi)容轉(zhuǎn)化為教學(xué)內(nèi)容，以此提升教學(xué)質(zhì)量，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 不過，由于教師的教學(xué)水平和學(xué)生的實(shí)際學(xué)情等方面存在差異，部分教師并沒有按照學(xué)生實(shí)際學(xué)情將教材內(nèi)容進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化和重構(gòu)，只是簡單地“照本宣科”，因教材內(nèi)容與學(xué)生實(shí)際學(xué)情不符而挫傷了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信心. 因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師必須從學(xué)生實(shí)際學(xué)情出發(fā)，認(rèn)真研究教材、研究教學(xué)，通過適當(dāng)重構(gòu)使教材內(nèi)容更具普適性，更適合學(xué)生的發(fā)展. 本文以“函數(shù)與方程”中的零點(diǎn)處理為例，談幾點(diǎn)筆者對教材內(nèi)容重構(gòu)的認(rèn)識，僅供參考.

對教材內(nèi)容重構(gòu)的認(rèn)識

1. 何為教材內(nèi)容重構(gòu)

所謂教材內(nèi)容重構(gòu)，指教師依據(jù)具體教學(xué)情境和學(xué)生實(shí)際學(xué)情對教材內(nèi)容進(jìn)行適度有效的增加、刪減、置換、改編，將其整合為新的教學(xué)內(nèi)容.

2. 教材內(nèi)容和教學(xué)內(nèi)容

顧名思義，教材內(nèi)容就是書本上的內(nèi)容，包括文字、圖片等. 一般來講，教材內(nèi)容因限于篇幅往往會省略一些思維過程，因此教材內(nèi)容不直接適用學(xué)生. 教師需要運(yùn)用一些設(shè)計(jì)理論和方法對教材內(nèi)容進(jìn)行一定整合、改編，使其轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)內(nèi)容，以此充分發(fā)揮教材內(nèi)容的價值，提升教學(xué)有效性.

3. 重構(gòu)教材內(nèi)容的原則

重構(gòu)教材內(nèi)容不能憑借教師個人興趣愛好而隨意進(jìn)行增加、刪減和改編，那樣容易出現(xiàn)脫離考綱，限制學(xué)生發(fā)展等負(fù)面影響. 在重構(gòu)教材內(nèi)容時應(yīng)該遵循如下原則：

（1）遵循數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn). 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)體現(xiàn)的是對學(xué)生的基本要求，是實(shí)施素質(zhì)教育的主要依據(jù)，是開展教學(xué)活動的指導(dǎo)性文件，因此重構(gòu)教材內(nèi)容時必須以數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)為綱，遵循數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)所提出的培養(yǎng)目標(biāo)和教學(xué)要求.

（2）遵循教學(xué)實(shí)際. 因受地區(qū)差異、教學(xué)環(huán)境、師資水平、學(xué)生學(xué)情等諸多因素的影響，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力往往會呈現(xiàn)一定的差異性，因此在具體教學(xué)中要避免“一刀切”. 教師應(yīng)在遵循數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和教學(xué)實(shí)際的情況下，對教材內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，使其更適合學(xué)生學(xué)情，更適合學(xué)生發(fā)展.

（3）遵循考試要求. 重構(gòu)教材的目的是更好地教學(xué)，而考試是衡量教學(xué)的重要依據(jù)，因此教師要認(rèn)真研究命題方法，研究命題特點(diǎn)，從而通過有效重構(gòu)更好地服務(wù)于教學(xué)、服務(wù)于學(xué)生.

教學(xué)實(shí)踐

1. 函數(shù)零點(diǎn)教材內(nèi)容解讀

函數(shù)零點(diǎn)是高考的重要考點(diǎn)，也是公認(rèn)的教學(xué)難點(diǎn). 認(rèn)真研讀教材不難發(fā)現(xiàn)，其主要涉及如下幾個知識點(diǎn)：

（1）函數(shù)零點(diǎn)的含義. 對于函數(shù)y=f（x）（x∈A），若存在實(shí)數(shù)x（x0∈A）使f（x）=0，則稱x為函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn).

（2）函數(shù)零點(diǎn)的意義. 函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)實(shí)際就是函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

（3）函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì). 若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，且f（a）f（b）<0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上至少存在一個零點(diǎn).

若在實(shí)際教學(xué)中僅按照以上內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)，很難讓學(xué)生理解函數(shù)零點(diǎn)的本質(zhì)，這樣也就難以實(shí)現(xiàn)知識的融會貫通. 因此，在實(shí)際教學(xué)中有必要進(jìn)行一定拓展和延伸，以此幫助學(xué)生認(rèn)清問題的本質(zhì)，提高學(xué)生分析和解決問題的能力.

2. 函數(shù)零點(diǎn)教材內(nèi)容重構(gòu)

在函數(shù)零點(diǎn)的教學(xué)中，教師可以引入一些錯誤，滲透一些方法，以此深化學(xué)生對知識的理解，消除思維誤區(qū)，提升解題效率.

（1）借助錯誤，消除認(rèn)知誤區(qū).

數(shù)學(xué)知識是抽象的、復(fù)雜的，在學(xué)習(xí)過程中學(xué)生難免會誤入“歧途”，從而出現(xiàn)各種各樣的錯誤. 對于這些錯誤，教師要認(rèn)真分析，找到真正的錯因，以此通過有效修補(bǔ)讓學(xué)生學(xué)懂學(xué)會.

根據(jù)學(xué)生平時作業(yè)、考試反饋進(jìn)行分析，學(xué)生在函數(shù)零點(diǎn)的處理上最容易陷入以下兩個誤區(qū)：一是片面認(rèn)為若函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，那么它就有且僅有一個零點(diǎn)；二是認(rèn)為存在極值的函數(shù)的零點(diǎn)至少有兩個.

例1 設(shè)a>1，函數(shù)f（x）=（1+x2）ex-a，求證：函數(shù)f（x）在R上有且僅有一個零點(diǎn).

錯解：由已知得f′（x）=（1+x）2ex≥0，所以函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f（x）在R上有且僅有一個零點(diǎn).

錯因剖析：函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增并不是判斷函數(shù)f（x）在R上存在零點(diǎn)的充要條件，如指數(shù)函數(shù)f（x）=2x在R上單調(diào)遞增，但是其與x軸并沒有交點(diǎn)，不存在零點(diǎn). 可見，以上證明過程缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性，應(yīng)運(yùn)用函數(shù)零點(diǎn)存在定理論證函數(shù)零點(diǎn)存在且唯一.

正解：由已知得f′（x）=（1+x）2ex≥0，所以函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，且f（0）=1-a<0. 當(dāng)x>0時，ex>1，所以f（a）=（1+a2）ea-a>1+a2-a. 又1+a2-a=a-+>0，即f（a）>0，故函數(shù)f（x）在R上有且僅有一個零點(diǎn).

例2 設(shè)函數(shù)f（x）=x2lnx-ax2+b在點(diǎn)（x，f（x））處的切線方程為y=-x+b.

（1）求實(shí)數(shù)a及x的值；

（2）求證：對任意實(shí)數(shù)b∈0，函數(shù)f（x）有且僅有兩個零點(diǎn).

錯解：本題的錯解主要集中在第（2）問. 由第（1）問可知f（x）=x2lnx-x2+b，所以f′（x）=2xlnx-x. 令f′（x）=0，得x=. 當(dāng)x∈（0，）時，f′（x）<0；當(dāng)x∈（，+∞）時，f′（x）>0. 所以函數(shù)f（x）的極小值f（）=b-<0，即對任意實(shí)數(shù)b∈0，函數(shù)f（x）有且僅有兩個零點(diǎn).

錯因剖析：本題中的函數(shù)存在零點(diǎn)與極值密切相關(guān)，但是根據(jù)極值小于0直接得出函數(shù)有兩個零點(diǎn)有失嚴(yán)謹(jǐn). 在此類問題求解過程中應(yīng)該在極值點(diǎn)附近取一個特殊常數(shù)，通過函數(shù)值是否異號判定函數(shù)是否存在零點(diǎn).

正解：由第（1）問知f（x）=x2lnx-x2+b，所以f′（x）=2xlnx-x. 令f′（x）=0，可得x=. 當(dāng)x∈（0，）時，f′（x）<0；當(dāng)x∈（，+∞）時，f′（x）>0. 所以函數(shù)f（x）的極小值f（）=b-<0. 因?yàn)閒（e）=e2-e2+b=b>0，所以函數(shù)f（x）在x∈（，e）上存在唯一零點(diǎn).

下證函數(shù)f（x）在x∈（0，）上存在x，使f（x）>0：設(shè)h（x）=xlnx-x+1，則h′（x）=lnx. 當(dāng)x∈（0，1）時，h′（x）<0，所以函數(shù)h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，因此當(dāng)x∈（0，1）時，h（x）=xlnx-x+1>h（1）=0，所以x2lnx-x2+b>b-x. 取x=min｛1，b｝，則f（x）>b-x≥0，即函數(shù)f（x）在x∈（x，）上存在唯一零點(diǎn).

綜上可知，對于任意實(shí)數(shù)b∈0，函數(shù)f（x）有且僅有兩個零點(diǎn).

以上兩個誤區(qū)是學(xué)生在解題時最易出現(xiàn)的，教師要利用好這些錯誤的生成性資源，對錯因進(jìn)行深度剖析，幫助學(xué)生理清問題的來龍去脈，以此消除學(xué)生的認(rèn)知誤區(qū)，讓學(xué)生學(xué)懂會用.

（2）滲透方法，形成解決策略.

在教學(xué)中，學(xué)生常常會有這樣的困惑，概念、定理、結(jié)論等基礎(chǔ)知識背得滾瓜爛熟，在平時解題時也是得心應(yīng)手，怎么在綜合訓(xùn)練時就時常束手無策呢？究其原因，這與“教”和“學(xué)”的模式息息相關(guān)，教師喜歡“講授”，學(xué)生喜歡“套用”，平時練習(xí)的針對性強(qiáng)，多數(shù)范例可以用于模仿，所以學(xué)生通過模仿和套用能夠解決大多問題，但面對一些新穎別致的問題時，常常感覺無所適從. 若要改變這一現(xiàn)狀，教學(xué)中教師要帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷一些過程，滲透一些方法，以此形成解題策略，提升解題能力. 不過，解題策略屬于一種思維意識，是難以靠講授形成的，需要在解決問題的過程中逐漸感悟、抽象，從而形成符合個體認(rèn)知的解題策略.

例3 若函數(shù)f（x）=x2-2x-a在（0，4）上有且只有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解法1：分類討論思想.

第一，當(dāng)函數(shù)f（x）=x2-2x-a在R上只存在一個零點(diǎn)，則Δ=0，解得a=-1，零點(diǎn)x=1，滿足要求；第二，若x=0是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，此時a=0，另一個零點(diǎn)為x=2，滿足要求；第三，若x=4是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，此時a=8，另一個零點(diǎn)為x=-2，不符合要求；第四，若函數(shù)f（x）存在兩個零點(diǎn)，一個在區(qū)間（0，4）內(nèi)，一個在區(qū)間（0，4）外，且不是端點(diǎn)，則f（0）·f（4）<0，求得0

解法2：數(shù)形結(jié)合思想.

由已知可知函數(shù)f（x）=x2-2x-a的開口向上，對稱軸為x=1，繪制圖1. 結(jié)合圖形可知，當(dāng)Δ=0，即a=-1時，函數(shù)f（x）在（0，4）上只有一個零點(diǎn)；若函數(shù)f（x）存在兩個零點(diǎn)，一個在區(qū)間（0，4）內(nèi)，一個在區(qū)間（0，4）外，則Δ>0，

f（0）≤0，f（4）>0，代入相關(guān)數(shù)值得4+4a>0，-a≤0，8-a>0，解得0≤a<8. 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是-1或［0，8）.

解法3：化歸思想.

函數(shù)f（x）=x2-2x-a所對應(yīng)的方程為x2-2x-a=0，變式為a=x2-2x=（x-1）2-1，即a+1=（x-1）2. 由于函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，4）上只存在一個零點(diǎn)，所以方程a+1=（x-1）2在區(qū)間（0，4）上只有一個根. 根據(jù)已知繪制函數(shù)y=（x-1）2和直線y=a+1在區(qū)間（0，4）上的圖像，如圖2所示. 當(dāng)直線y=a+1上下移動，只有在a+1=0和1≤a+1<9時，方程在區(qū)間范圍上只有一個根，于是可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是-1或［0，8）.

在教學(xué)中，教師要落實(shí)多元的教學(xué)機(jī)制，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度分析，應(yīng)用不同方式解答，從而在優(yōu)化解題方案的同時，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

總之，在實(shí)際教學(xué)中，教師要認(rèn)真研究教材內(nèi)容，認(rèn)真研究學(xué)生，認(rèn)真研究考試，通過有效重構(gòu)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，提高教學(xué)質(zhì)量.

作者簡介：孫少仙（1986—），本科學(xué)歷，一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.