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        巧構(gòu)直線方程 讓函數(shù)不等式放縮有“度”

        2023-01-11 01:39:12浙江省安吉縣高級中學(xué)
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年17期
        關(guān)鍵詞:割線垂線切線

        浙江省安吉縣高級中學(xué)

        林蘭蘭

        函數(shù)不等式的放縮問題不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點,更是近年來各地高考命題的一個熱點.其思維的獨特性、解題手段的靈活性、知識內(nèi)容的綜合性等特點,在對形成學(xué)生理性思維、科學(xué)精神和促進學(xué)生個人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著重要作用,但也使不少學(xué)生望而卻步.筆者選取構(gòu)造直線方程的角度談?wù)勅绾伟盐蘸瘮?shù)不等式放縮的“度”.

        1 構(gòu)造垂線放縮

        (1)當a=0時,判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;

        (2)若f(x)≥4x-6恒成立,求a的取值范圍;

        (3)設(shè)b∈R,若關(guān)于x的方程f(x)=b-8有實數(shù)解,求a2+b2的最小值.

        解析:(1)(2)略.

        點評:本題從a2+b2的結(jié)構(gòu)出發(fā),聯(lián)想到原點與點(a,b)的距離的平方.點(a,b)的軌跡是什么?從已知條件出發(fā),構(gòu)造兩條直線方程,巧妙地利用“垂線段最短”,使問題獲解.

        2 構(gòu)造切線放縮

        例2(2020年高考全國卷Ⅰ第21題)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x.

        (1)當a=1時,討論f(x)的單調(diào)性;

        解析:(1)略.

        ①當x=0時,得a∈R.

        3 構(gòu)造割線放縮

        例3(2021年高考全國卷Ⅰ第22題)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

        (1)討論f(x)的單調(diào)性;

        解析:(1)略.

        對x1進行割線放縮:作直線y=x,其與直線y=m交于點(m,m),而y=m與y=f(x)交于點(x1,m),于是x1

        對x2進行切線放縮:作y=f(x)在(e,0)處的切線:y=-x+e,它與直線y=m交于點(e-m,m),故x2

        從而x1+x2

        點評:本題以直代曲,抓住函數(shù)在特定范圍內(nèi)區(qū)間端點特征,對x1進行割線放縮,對x2進行切線放縮,合理把握了放縮的“度”.這種放縮方法,需要充分理解函數(shù)的圖象性質(zhì),特別是函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性.它不同于常見的放縮手段,讓學(xué)生有耳目一新之感,這對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的拓展大有幫助.

        4 構(gòu)造隱性直線放縮

        (1)求f(x)在x∈(0,1]上的最大值;

        (2)若g(x)≤0對任意的b∈[a,+∞)及x∈(0,1]恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.注:e是自然對數(shù)的底數(shù).

        解析:(1)易得f(x)的最大值為f(1)=2.

        (2)由于g(x)≤0對任意x∈(0,1]恒成立,故g(1)≤0.而g(1)=-2ab-2a+2b+2=-2(a-1)·(b+1),且b≥a>0,所以a≥1.

        下面證明當a≥1時,恒有g(shù)(x)≤0.

        g(x)≤-2abex-1+b(2x-2)-2a+2b+2

        =-2abex-1+2bx+2(1-a) ≤

        -2abex-1+2bx

        =2b(x-aex-1)≤

        2b(x-ex-1).

        因為ex≥x+1(切線放縮),所以ex-1≥x,因此g(x)≤2b(x-ex-1)≤0.

        綜上可得a≥1.

        點評:含多個參數(shù)的不等式恒成立問題,往往先是必要性探路,再論證其充分性.本題對(x+1)lnx的放縮,采用了待定系數(shù)法,借助第(1)問的結(jié)論,構(gòu)造出直線y=2x-2,使問題在不斷的放縮中逐漸柳暗花明.

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