浙江省安吉縣高級(jí)中學(xué)
林蘭蘭
函數(shù)不等式的放縮問(wèn)題不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn),更是近年來(lái)各地高考命題的一個(gè)熱點(diǎn).其思維的獨(dú)特性、解題手段的靈活性、知識(shí)內(nèi)容的綜合性等特點(diǎn),在對(duì)形成學(xué)生理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)學(xué)生個(gè)人智力發(fā)展的過(guò)程中發(fā)揮著重要作用,但也使不少學(xué)生望而卻步.筆者選取構(gòu)造直線方程的角度談?wù)勅绾伟盐蘸瘮?shù)不等式放縮的“度”.
(1)當(dāng)a=0時(shí),判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)若f(x)≥4x-6恒成立,求a的取值范圍;
(3)設(shè)b∈R,若關(guān)于x的方程f(x)=b-8有實(shí)數(shù)解,求a2+b2的最小值.
解析:(1)(2)略.
點(diǎn)評(píng):本題從a2+b2的結(jié)構(gòu)出發(fā),聯(lián)想到原點(diǎn)與點(diǎn)(a,b)的距離的平方.點(diǎn)(a,b)的軌跡是什么?從已知條件出發(fā),構(gòu)造兩條直線方程,巧妙地利用“垂線段最短”,使問(wèn)題獲解.
例2(2020年高考全國(guó)卷Ⅰ第21題)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x.
(1)當(dāng)a=1時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;
解析:(1)略.
①當(dāng)x=0時(shí),得a∈R.
例3(2021年高考全國(guó)卷Ⅰ第22題)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
解析:(1)略.
對(duì)x1進(jìn)行割線放縮:作直線y=x,其與直線y=m交于點(diǎn)(m,m),而y=m與y=f(x)交于點(diǎn)(x1,m),于是x1 對(duì)x2進(jìn)行切線放縮:作y=f(x)在(e,0)處的切線:y=-x+e,它與直線y=m交于點(diǎn)(e-m,m),故x2 從而x1+x2 點(diǎn)評(píng):本題以直代曲,抓住函數(shù)在特定范圍內(nèi)區(qū)間端點(diǎn)特征,對(duì)x1進(jìn)行割線放縮,對(duì)x2進(jìn)行切線放縮,合理把握了放縮的“度”.這種放縮方法,需要充分理解函數(shù)的圖象性質(zhì),特別是函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性.它不同于常見(jiàn)的放縮手段,讓學(xué)生有耳目一新之感,這對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的拓展大有幫助. (1)求f(x)在x∈(0,1]上的最大值; (2)若g(x)≤0對(duì)任意的b∈[a,+∞)及x∈(0,1]恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.注:e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù). 解析:(1)易得f(x)的最大值為f(1)=2. (2)由于g(x)≤0對(duì)任意x∈(0,1]恒成立,故g(1)≤0.而g(1)=-2ab-2a+2b+2=-2(a-1)·(b+1),且b≥a>0,所以a≥1. 下面證明當(dāng)a≥1時(shí),恒有g(shù)(x)≤0. g(x)≤-2abex-1+b(2x-2)-2a+2b+2 =-2abex-1+2bx+2(1-a) ≤ -2abex-1+2bx =2b(x-aex-1)≤ 2b(x-ex-1). 因?yàn)閑x≥x+1(切線放縮),所以ex-1≥x,因此g(x)≤2b(x-ex-1)≤0. 綜上可得a≥1. 點(diǎn)評(píng):含多個(gè)參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題,往往先是必要性探路,再論證其充分性.本題對(duì)(x+1)lnx的放縮,采用了待定系數(shù)法,借助第(1)問(wèn)的結(jié)論,構(gòu)造出直線y=2x-2,使問(wèn)題在不斷的放縮中逐漸柳暗花明.4 構(gòu)造隱性直線放縮