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        方程思想在數(shù)學建模中的應用

        2023-01-11 01:39:12甘肅省秦安縣第二中學
        中學數(shù)學 2022年17期
        關鍵詞:國庫券海拔高度獎金

        甘肅省秦安縣第二中學

        王永強

        數(shù)學是研究現(xiàn)實世界數(shù)量關系和空間形式的科學.人類歷史發(fā)展中數(shù)學是最先且一直應用在實際生活中的一門科學.任何一個科學領域都離不開數(shù)學,數(shù)學是一切科學的基礎,也是一切科學的靈魂.數(shù)學的特點不僅在于概念的抽象性、邏輯的嚴密性,而且在于應用的廣泛性.我們只有掌握了數(shù)學的廣泛的應用,并能用數(shù)學知識解決各種各樣的實際問題,才能說真正學會了數(shù)學.數(shù)學建模是應用數(shù)學知識解決實際問題的重要手段和途徑之一,它可以促進學生解決實際問題的能力,引導學生應用數(shù)學知識的意識,培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣.數(shù)學知識的應用主要和數(shù)學建模的方法結合起來,利用數(shù)學建模來解決生活中的實際問題.

        其中方程思想往往通過和函數(shù)思想、不等式思想、數(shù)形結合思想等的結合,可以解決現(xiàn)實生活和生產(chǎn)過程中的很多問題.本文中選取經(jīng)濟活動、數(shù)據(jù)測量、軍事國防等方面的具體實例,尋求解決這些問題的辦法.

        1 在經(jīng)濟活動方面的應用

        現(xiàn)實生活中,我們會遇到向銀行存款時怎樣存款獲得的利息最多,按揭貸款買房時怎么貸款支付的利息最少等合理使用資金的問題.這些問題可以應用方程思想來解決,下面我們舉一個銀行存款的問題.

        1.1 問題提出

        北京大學學?;饡幸还PM萬元的基金,打算將其存入銀行或購買國庫券,當前銀行存款及各期國庫券的利息見表1.假設國庫券每年至少發(fā)行一次,發(fā)行時間不定,取款政策參考銀行的現(xiàn)行政策.

        表1 銀行存款、國庫券年利率表

        北京大學學?;饡媱澰诿磕暧貌糠直鞠①Y金獎勵優(yōu)秀的師生,要求每年發(fā)放的獎金額大致相同,并且讓基金使用N年后M萬元的基金不能減少.

        請你幫助北京大學學?;饡谌缦虑闆r下設計基金使用方案.

        假設M=5 000萬元,N=10年.北京大學在基金到位后的第3年要舉行百年校慶,基金會希望這一年的獎金比其他年度多20%.請給出具體分析結果.

        1.2 模型假設

        (1)假設銀行利率和國庫券利率一直保持不變.

        (2)假設每年存取款也就是國庫券發(fā)行期.

        (3)假設每年獎金發(fā)放時間不定,和存取款時間相同.

        1.3 模型分析

        本模型的一個目的是提高所得利率,從利率表可以看出銀行存款或國庫券時間越長,利率越大,收益越大.另一個目的是每年利用大致相同的部分本息資金獎勵優(yōu)秀師生,也就是每年要取出一部分錢來使用.滿足這兩點,模型才合理.通過對利率表的分析,時間越長,利息越多.如果在同一年期國庫券利率高時就買國庫券,銀行利率高時就把錢存入銀行,也就是把錢存在同期利率高的方式做投資.

        我們假設:

        X1表示1年期存款數(shù),一年后連本帶利發(fā)放獎金;X2表示購2年期國庫券數(shù),二年后連本帶利發(fā)放獎金;X3表示購3年期國庫券數(shù),三年后連本帶利發(fā)放獎金;X4表示購2年期國庫券數(shù),到期后連本帶利再購2年期國庫,四年后連本帶利發(fā)放獎金;X5表示購5年期國庫券數(shù),五年后連本帶利發(fā)放獎金;X6表示購3年期國庫券數(shù),到期后連本帶利再購3年期國庫券,六年后連本帶利發(fā)放獎金;X7表示購5年期國庫券數(shù),到期后連本帶利再購2年期國庫券,七年后連本帶利發(fā)放獎金;X8表示購5年期國庫券數(shù),到期后連本帶利再購3年期國庫券,八年后連本帶利發(fā)放獎金;X9表示購5年期國庫券數(shù),到期后連本帶利再購3年期國庫券,再到期后連本帶利存一年定期,(也可以購5年期國庫券,到期后連本帶利再購2年期國庫券,到期后連本帶利再購2年期國庫券,但這種方案沒有前者優(yōu)),九年后連本帶利發(fā)放獎金;X10表示購5年期國庫券數(shù),到期后連本帶利再購5年期國庫券,十年后取出,發(fā)放同等的獎金,剩余部分還是原來的基金.

        X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10=5 000.

        X1(1+0.018)=X2(1+2×0.025 5)

        =X4(1+2×0.025 5)2

        =X5(1+5×0.031 4)

        =X6(1+3×0.028 9)2

        =X7(1+5×0.031 4)(1+2×0.025 5)

        =X8(1+5×0.031 4)(1+3×0.028 9)

        =X9(1+5×0.031 4)(1+3×0.028 9)(1+0.018)

        =X10(1+5×0.031 4)2- 5 000

        可以把方程組②的數(shù)據(jù)依次利用換元法變成X1的代數(shù)式再代入①式,這樣就把①式變成只含有X1的一元方程來解題,就可以求出每年的基金使用計劃.限于本文主要探究數(shù)學的方程思想在數(shù)學建模中的應用,具體解題過程在此不再詳述.

        2 在數(shù)據(jù)測量方面的應用

        方程思想可以簡單快速解決許多問題,如在安裝中央空調(diào)時、架構高壓線時電阻的測量等就可以利用方程的思想來解決.以下我們舉一個關于中央空調(diào)電阻的測量問題.

        2.1 問題提出

        有一幢100層大廈安裝了中央空調(diào),裝成之后發(fā)現(xiàn)儀表顯示的溫度和實際溫度有較大的誤差.經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)由于連接儀表的三根導線電阻不相等所致,只有測出每根導線的電阻才可以解決儀表不準的問題.每根導線都從一樓連接到頂樓,很明顯直接測量每根導線電阻是不可能的,因為導線一頭在一層,另一頭在一百層.那么應該怎么辦?

        2.2 模型假設

        我們應用數(shù)學的方程思想,假設:三根導線的電阻分別是Ra,Rb,Rc.把導線a和b,b和c,c和a在樓房頂部連成一個回路,在一樓就可以使用電阻表分別測量.

        2.3 模型分析

        我們依次利用連接的三個電路,再使用電阻表在樓房底部分別測出每一個回路的電阻,假設測定的電阻分別為X,Y,Z,那么就有方程組

        Ra+Rb=X

        Rb+Rc=Y

        Rc+Ra=Z

        聯(lián)立方程組③④⑤可以算出每根導線的電阻Ra,Rb,Rc.

        再根據(jù)物理知識給三根導線分別串聯(lián)合適的電阻就可以使三根導線的電阻相等了.

        3 在軍事國防方面的應用

        測量大海上駛來的一艘軍艦的長度大小和位置方向,空中飛來的敵機的高度和位置,敵國導彈發(fā)射基地的位置,測量河流的寬度,樓房的高度,山的高度,等等,我們也可以嘗試利用數(shù)學的方程思想和數(shù)形結合思想去解決這類問題.下面我們舉例一個測量高度的問題.

        3.1 問題的提出

        大家都看過電影《攀登者》吧?為了登上珠穆朗瑪峰的山頂測量海拔高度,花費了巨大的人力物力,甚至有人為此付出了生命的代價.如果我們不用登上珠穆朗瑪峰的山頂,能否可以測量出它的海拔高度呢?

        3.2 模型的假設

        如圖1,只要測量人員在珠穆朗瑪峰的山腳下D點可以測量出D點的海拔高度,那么珠穆朗瑪峰山頂A點的海拔高度也就可以解決了.

        圖1

        假設過山頂最高點A作D點所在的水平面的垂線,垂線交水平面于B點.其中A點是我們的一個不變的觀察點.設AB的高度為H,如果我們能夠計算出H,那么珠穆朗瑪峰的海拔高度就等于D點的海拔高度加H.

        3.3 模型的分析

        首先在Rt△ABD中,測出測量人員從點D觀察珠穆朗瑪峰最高點A的仰角,即∠ADB的大小,如果再計算出AD的長度,就可以計算出H=ADsin∠ADB.

        為了計算AD的長度,需要確定一個與點D在同一水平面的觀察點C,首先測量出CD的長度,再使用儀器測量出∠ACD和∠ADC的大小,就可以計算出∠CAD=π-(∠ACD+∠ADC),最后利用正弦定理,得

        把上面結果代入H=ADsin∠ADB就可以計算出高度H.

        因此,可以計算出珠穆朗瑪峰的海拔高度=D點的海拔高度+高度H.

        通過上面的一些具體實際生活問題的探究,我們可以看出數(shù)學知識在實際生活中的應用較多,且非??茖W、嚴謹.其中方程思想在數(shù)學建模中的應用更是非常廣泛和巧妙.因此,我們必須要學好數(shù)學、用好數(shù)學,更要應用數(shù)學知識去解決實際生活中的一些問題.

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