孫俊松，馬女森，郭懷明

(北京航空航天大學(xué) 物理學(xué)院，北京 100089)

英國的兩位物理學(xué)家蓋姆和諾奧肖洛夫由于對石墨烯的開創(chuàng)性研究而獲得2010年的諾貝爾物理學(xué)獎.石墨烯是由碳原子排列在六角晶格上的二維量子材料.它具有很高的強度，同時還有很好的韌性、超強導(dǎo)熱性與導(dǎo)電性，這使其具有廣泛的應(yīng)用前景.石墨烯是具有獨特電子結(jié)構(gòu)的半金屬，其低能激發(fā)由無質(zhì)量狄拉克費米子來描述.因此石墨烯表現(xiàn)出很多新奇的量子物態(tài)，比如：克萊因隧穿和零朗道能級的量子霍爾效應(yīng)等.石墨烯中的豐富物理性質(zhì)吸引了理論和實驗上的廣泛研究.用力學(xué)方法調(diào)控電子結(jié)構(gòu)是石墨烯研究中的一個重要研究內(nèi)容.特別是，人們發(fā)現(xiàn)應(yīng)變可以在石墨烯中誘導(dǎo)出贗磁場.該現(xiàn)象首先在鉑表面生長的石墨烯納米氣泡[1]中發(fā)現(xiàn).觀察到的朗道能級對應(yīng)于大于300特斯拉的磁場，這遠遠超出了當前的實驗室條件，為研究在極高磁場下的新奇物理現(xiàn)象提供了獨特的機會.將石墨烯放置在彎曲或預(yù)先設(shè)計的基板上，隨后的實驗中也實現(xiàn)了很高的贗磁場.理論上提出了各種不同調(diào)控應(yīng)力產(chǎn)生均勻贗磁場的方法，如三軸應(yīng)力[2]，彎曲石墨烯納米帶[3]，非均勻單軸應(yīng)力[4]和具有特定形狀石墨烯納米帶上的單軸應(yīng)力等.在贗磁場中，狄拉克費米子形成類似真實磁場下的贗朗道能級，其可由低能有效哈密頓量出發(fā)解析求解.贗朗道能級的解析求解最后往往會轉(zhuǎn)化為解為特殊函數(shù)的本征微分方程，因此這些科學(xué)前沿的內(nèi)容可以擴充到數(shù)理方程的教學(xué)內(nèi)容中，拓展大學(xué)生的知識視野，同時在求解過程中培養(yǎng)扎實的解析基礎(chǔ).本文擬介紹石墨烯在非均勻單軸應(yīng)力下贗朗道能級的解析求解，詳細展示在求解過程中對數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用.

1 非均勻單軸應(yīng)力下的有效哈密頓量

采用考慮最近鄰相互作用的緊束縛模型哈密頓量來描述石墨烯系統(tǒng)，即

(1)

其中求和對近鄰格點對進行，在單軸應(yīng)力下躍遷幅度t2=t3≠t1.因為該模型中沒有相互作用，僅包含兩算符項，可以寫成矩陣形式對哈密頓量直接對角化即得到系統(tǒng)的能帶如圖1所示.

圖1 能帶色散圖：對角化哈密頓量得到的精確數(shù)值解(黑色實線)；低能有效哈密頓量解析解(黑色虛線).這里只展示了右邊狄拉克點附近的解析解，左邊的解析解是類似的

對哈密頓量式(1)做如下傅里葉變換：

h(k)=dx(k)σx+dy(k)σy，

(2)

這里σx,y是泡利矩陣；tn=t(1-γΔun)， Δu1=εyy,Δu2=Δu3=εyy/4.

(3)

其中vF=3t/2?是費米速度.

應(yīng)變張量會產(chǎn)生如下的贗磁場：

(4)

(5)

2 贗朗道能級的求解

在狄拉克點附近有效哈密頓量的本征值問題為

(6)

這里的本征值對應(yīng)系統(tǒng)在狄拉克點附近的能級，波函數(shù)可以得到電子在系統(tǒng)中的分布.展開上式中的矩陣乘積，可以得到兩個一階微分方程：

(7)

(8)

把式(7)帶入式(8)消去φA，得到一個變系數(shù)的二階常微分方程：

(9)

(10)

(11)

為了使u(z)是一個多項式從而有限，α應(yīng)該為0 或負整數(shù)，即α=-n,n=0,1,2,….于是我們得到本征能量的表達式：

(12)

這里的n是原來的n+1，所以現(xiàn)在n=1,2,….在c很小的情況下，可以將本征能量近似為

(13)

上式表明非均勻單軸應(yīng)變產(chǎn)生的贗朗道能級類似于真實磁場下的朗道等級，都是正比于能級序列數(shù)的開方.但是不同的是，贗朗道能級還依賴于qx，因此在垂直于應(yīng)力施加的平移不變的x方向上有色散，從而能級不是平的.我們把式(13)中的En與精確對角化的結(jié)果進行對比.如圖1所示，在進行近似求解的狄拉克點附近，解析解與數(shù)值精確解符合得非常好.

3 總結(jié)與討論

基于低能有效哈密頓量，石墨烯中非均勻單軸應(yīng)變產(chǎn)生的贗朗道能級的求解轉(zhuǎn)變?yōu)榻庾兿禂?shù)的二階常微分方程.類似于量子力學(xué)中氫原子徑向方程的求解，將極限情況下的漸進形式從解中分離，從而得到標準的合流超幾何方程，從其本征值得到贗朗道能級的解析解.該贗朗道能級的求解將數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)知識和凝聚態(tài)理論前沿問題密切聯(lián)系起來，在理論物理教學(xué)中很有參考價值.

本文在寫作中與深圳大學(xué)宣本金教授和中山大學(xué)林瓊桂教授進行了很多有益的討論，在此表示感謝.