周 越，張國鋒

(1. 北京林業(yè)大學 理學院，北京 100083；2. 北京航空航天大學 物理學院，北京 100191)

根據(jù)振動方向和傳播方向的關(guān)系，機械波可分為橫波和縱波. 橫波的振動方向與傳播方向相垂直，在介質(zhì)中產(chǎn)生交替出現(xiàn)的波峰和波谷，與波形曲線一致，比較清晰直觀；縱波的振動方向與傳播方向相平行，在介質(zhì)中產(chǎn)生交替出現(xiàn)的密部和疏部. 與橫波相比，縱波的振動傳播過程比較抽象，僅靠靜態(tài)的圖像不易講清楚. 縱波的能量是學生疑問較多的內(nèi)容，例如，直觀上密部中的能量密度要比疏部中的大，而在普通物理教材中給出的能量密度分布以半波長為周期，并未體現(xiàn)介質(zhì)密度變化的影響；再如，在縱波中有一半的體積元運動方向是和能流方向相反的. 本文詳細討論了縱波中的能量密度分布和能流的成因，以澄清這些疑問.

1 教材中對簡諧波能量的處理

普通物理教材在討論機械波的能量問題時，一般考慮一列平面簡諧行波：

y=Acos(ωt-kx+φ)

(1)

在介質(zhì)中取一個體積元dV，當波通過體積元傳播時，體積元在平衡位置附近振動，因而具有動能：

(2)

由于各體積元的振動相位不同，會使介質(zhì)發(fā)生形變，因而具有彈性勢能[1]：

(3)

對于固體中傳播的機械縱波，Y表示楊氏彈性模量.將式(1)代入式(2)和式(3)，并利用Y=ρu2和k=ω/u等關(guān)系，可得

(4)

因此單位體積介質(zhì)包含的波動能量即能量密度可表示為

(5)

波的傳播伴隨著能量在介質(zhì)中的流動，這一特性可以由能流描述.由式(5)可知，介質(zhì)中的能量分布是整體向x軸正方向平移的，且速度就是簡諧波的波速u.如果取一個垂直于波傳播方向的截面S，則在dt時間內(nèi)通過S的能量是體積Sudt內(nèi)所包含的波動能量.因此，單位時間內(nèi)垂直通過S的能量即能流可以表示為

P(x,t)=w(x,t)Su

(6)

2 縱波的能量密度按實際空間位置的分布

根據(jù)式(5)，能量密度在空間中呈周期分布，周期是簡諧波波長的一半. 但如果考察介質(zhì)中體積元的分布和運動狀態(tài)，可以發(fā)現(xiàn)在縱波中能量密度的實際分布并非如此. 如圖1，取一個整周期的波形，波形曲線如下方所示. 平衡位置位于a、c、e的體積元在最大位移處，無形變且振動速度為0，因此無波動能量；平衡位置位于b、d的體積元恰好經(jīng)過平衡位置，振動速度和形變均最大，波動能量取極大值.但由于縱波的振動方向與傳播方向平行，體積元實際位置和平衡位置的x坐標一般并不相同.例如，平衡位置在a、c、e的體積元實際上分別位于a’、c’和e’處，a’、c’和e’才是真正能量密度零點.因此，相鄰兩個能量密度零點間距不是λ/2，而是λ/2-2A和λ/2+2A相間排列.此外，縱波的傳播會產(chǎn)生交替分布的密部和疏部，a、c間的介質(zhì)被壓縮到a’、c’之間，對應(yīng)于密部；c、e間的介質(zhì)被拉伸到c’、e’之間，對應(yīng)于疏部.如果將最大位移處的體積元視為密部和疏部的邊界，每個密部和疏部包含相等的波動能量，但密部的總體積小于疏部，這說明密部比疏部中的對應(yīng)點(即振動相位相差π的體積元)應(yīng)具有更大的能量密度. 總之，要想精確地描述介質(zhì)中能量密度的分布情況，必須考慮體積元實際位置與平衡位置的差別以及介質(zhì)中的密度分布.

圖1 波形曲線與體積元的實際位置

首先考慮密度變化的影響，在介質(zhì)中垂直于波的傳播方向隔離出原長為dx的一個薄片，其左側(cè)和右側(cè)截面平衡位置的坐標分別為x和x+dx.當波通過這段介質(zhì)時，左側(cè)和右側(cè)截面處的位移分別是y和y+dy.這時，原長dx的介質(zhì)薄片長度變?yōu)閐x+dy，如果忽略垂直方向的形變，則該處介質(zhì)的密度為

(7)

對于線性波，不會出現(xiàn)后方的體積元追上前方體積元的情況，這要求kA<1.將式(5)中的ρ用式(7)代替，可得

(8)

式(8)表示平衡位置為x的體積元所在位置的能量密度.

平衡位置為x的體積元在t時刻的實際位置是

x′=x+Acos(ωt-kx+φ)

(9)

可以把x表示為x′和t的函數(shù)

x=f(x′,t)

(10)

f(x′,t)的意義是，在t時刻位于x′處的體積元的平衡位置坐標.f(x′,t)無法用解析法表示，但從式(9)不難得出，f(x′,t)是關(guān)于t的周期函數(shù)，且周期等于簡諧波的周期T.利用式(10)可以把能量密度表示為x′和t的函數(shù)，即

(11)

w′(x′,t)即能量密度按實際位置的分布，其在一個波長內(nèi)的曲線如圖2中實線所示，窄而高的峰對應(yīng)于密部的能量密度分布，寬而低的峰對應(yīng)于疏部的能量密度分布，兩個峰寬度與高度的比例關(guān)系取決于A/λ.作為比較，w(x,t)的分布曲線以虛線表示，其兩個峰的寬度和高度均相等.當A<<λ時，f(x′,t)≈x′，kA<<1，式(11)過渡到式(5).因此，式(5)實際是在振幅遠小于波長的條件下對縱波能量密度分布的近似表示.

圖2 能量密度的空間分布(A=0.1λ)

3 縱波的能流

在介質(zhì)中，各體積元的振動狀態(tài)在空間中以u的速度傳播，波動能量也應(yīng)以相同的速度傳播.如果把ωt-kf(x′,t)+φ=const.看作x′關(guān)于t的隱函數(shù)，不難證明dx′/dt=u.因此式(6)仍然成立，只需將w(x,t)替換為式(11)中的w′(x′,t)，即

P(x′,t)=w′(x′,t)Su=

(12)

P(x′,t)在一個周期內(nèi)隨時間的變化曲線如圖3中實線所示.由能流的定義可知，P(x′,t)的變化規(guī)律與圖2中能量密度分布曲線以波速u向右平移時，在某一x′處被截得的值變化規(guī)律相同.

下面具體分析能流的組成和成因.要維持波在介質(zhì)中的傳播，波源一側(cè)必需有持續(xù)的能量輸入.在波傳播的過程中，介質(zhì)的每個體積元將對下游的體積元做功，這產(chǎn)生了向下游傳播的能流.如在x′處取一垂直波傳播方向的截面S，則由做功產(chǎn)生的能流等于截面S左側(cè)對右側(cè)介質(zhì)的功率：

P1(x′,t)=F(x′,t)v(x′,t)

(13)

平衡位置為x的介質(zhì)對右側(cè)單位面積介質(zhì)的作用力，可以表示為[2]

(14)

則對于坐標為x′的垂直截面S，此作用力為

F(x′,t)=-YSkAsin[ωt-kf(x′,t)+φ]

(15)

在該截面處，體積元的振動速度為

v(x′,t)=-ωAsin[ωt-kf(x′,t)+φ]

(16)

這里應(yīng)特別指出的是

(17)

式(17)右側(cè)給出的是出現(xiàn)在x′處(不同的)體積元的位移隨時間的變化率，而不是位于x′的體積元在時刻t的振動速度.將式(15)和式(16)代入式(13)可得

P1(x′,t)=YSωkA2sin2[ωt-kf(x′,t)+φ]

=ρω2A2Susin2[ωt-kf(x′,t)+φ]

(18)

由于對截面右側(cè)介質(zhì)的作用力總是與其振動方向一致，因此P1(x′,t)≥0.P1(x′,t)在一個周期內(nèi)隨時間的變化如圖3中虛線所示，包含寬窄不同的兩個峰，較窄的峰為截面處于密部時產(chǎn)生.由于密度的寬度較疏部窄，在一個周期中截面處于密部的時間小于半個周期.但是，截面處于密部和疏部中心時截面兩側(cè)相互作用力和截面處介質(zhì)的振動速度大小都是相等的，相應(yīng)地相互作用的功率也相等，因此兩個峰具有相同的高度.

圖3 能流的時間分布(A=0.1λ)

文獻[2]、[3]中認為P1(x′,t)就是通過介質(zhì)的全部能流，其實也是在波長遠大于振幅時的一種近似.對于縱波，體積元的運動方向與截面S垂直，在平衡位置附近振動的過程中可能穿過截面，其所攜帶的能量也會穿過截面，這同樣對能流有貢獻.在S處，由體積元自身運動產(chǎn)生的能流為

P2(x′,t)=w′(x′,t)Sv(x′,t)

(19)

代入式(8)和式(16)可得

(20)

P2(x′,t)的曲線如圖3中的點橫線所示，由于體積元可以從任何一側(cè)穿過截面，因此P2(x′,t)既可為正，也可為負.由圖1可以看出，當截面S位于密部時，體積元從左向右穿過截面，P2(x′,t)為正；截面S位于疏部時則相反.由于密部的寬度比疏部小，在簡諧波的一個周期中P2(x′,t)為正的時間小于半個周期.但密部中的體積元具有較大的能量密度，在一個周期中從兩個方向穿過截面的體積元攜帶的總能量相等.因此P2(x′,t)只會改變能流的瞬時值，而對平均能流沒有影響.P2(x′,t)對瞬時能流影響的大小取決于A/λ，如波長遠大于振幅，由于|P2(x′,t)|∝A3而|P1(x′,t)|∝A2λ，因此|P2(x′,t)|<<|P1(x′,t)|，這時可以近似地把P1(x′,t)作為通過介質(zhì)的能流.

介質(zhì)中總的能流等于兩種機制產(chǎn)生的能流之和：

P(x′,t)=P1(x′,t)+P2(x′,t)=

(21)

這樣再次證明了式(12).可以看到，雖然體積元自身的運動可以產(chǎn)生一個向x軸負方向傳播的能流，但其絕對值小于同一時刻由體積元間做功產(chǎn)生的能流，因此總的能流恒為非負，在任意時刻能量輸運的方向均與平面簡諧波的傳播方向一致.

4 縱波的平均能量密度和平均能流

簡諧波能量密度和能流都隨時間周期性變化，在不關(guān)注瞬時值時一般可在簡諧波的一個周期內(nèi)求其平均.一個周期內(nèi)通過截面的能量等于底面為S，高為λ的柱體包含的波動能量.結(jié)合圖1可以看到，實際位置間距為λ的兩個體積元，其平衡位置間距也是λ，不受介質(zhì)壓縮和拉伸的影響.因而在計算一個波長內(nèi)的總能量時，利用式(11)與式(5)得到的結(jié)果是相同的，相應(yīng)地兩者的平均值也相同.下面直接對式(11)求平均來驗證這一結(jié)論.由于S和u都不是時變的，故有

(22)

其中T=2π/ω.定義

(23)

可以證明

(24)

由定積分的性質(zhì)可得

(25)

注意到g(x′,t)的第二項和第三項均以T為周期，當t=0和t=T時等值，因此

(26)

與由式(5)和式(6)式導出的平均能量密度和平均能流相同.

5 總結(jié)

對縱波而言，普通物理教材中給出能量密度和能流是在振幅遠小于波長時的近似表達式，當振幅較大時應(yīng)考慮介質(zhì)壓縮和拉伸引起的密度變化，以及體積元實際位置和平衡位置間的差異；能量密度和能流在一個周期內(nèi)的平均值不受這些因素的影響.在縱波中能流有兩個來源：其一是介質(zhì)中體積元之間的功；其二是攜帶波動能量的體積元自身的運動，后者可能與波的傳播方向相反，但在介質(zhì)中總的能流總是指向波的傳播方向.