章飛等

摘要：針對《義務教育數學課程標準（2022年版）》突出的概念、強調的理念及其如何在教學中落地，采用線上“十人談”的方式展開研討。對數學核心素養(yǎng)在課程內容中的體現和“三會”表達、代數推理、概念產生的必要性、教學內容的結構化、數學教學中的一致性、解題教學中序的思想、數學德育、數學教學生活化以及跨學科學習、綜合與實踐等話題結合教學實踐做了解讀。

關鍵詞：新課標；初中數學；核心素養(yǎng)；跨學科學習；代數推理

趙維坤：《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）頒布后，按照教育部的要求，我們未來的教學，包括2022—2023這個依然使用老教材的學年的教學，就應該要較好地體現新課標的理念。所以，《教育研究與評論》雜志就組織了這樣一個線上“十人談”活動，請大家來談談這個話題。下面，我們就圍繞大家預先提出的一些感興趣的子話題來談一談。首先請章飛教授給我們開篇。

章飛：新課標多次明確核心素養(yǎng)導向。這一點從課程內容的選擇來看，就已經很清楚了。對每個課程內容領域，都首先把對應的核心素養(yǎng)表現說得很清楚。比如，初中部分的統(tǒng)計與概率領域，就是數據觀念。對于數據觀念，在課程目標里，有一段具體、全面的描述，把它的內涵、外延、價值都講得很清楚。那么，我就在想：在課程內容里，到底怎么體現這一核心素養(yǎng)呢？

我只談這次增加的兩個內容。一個是“經歷數據分類的活動，知道按照組內離差平方和最小的原則對數據進行分類的方法”，另一個是“會計算四分位數，了解四分位數和箱線圖的關系，感悟百分位數的意義”。這兩個內容，實際上一線教師都不熟悉。對“征求意見稿”提建議時，很多人都問：為什么要講這兩個內容？我現在的理解是，總的來講，它們確實關注了學生的未來發(fā)展，關注了對數據本身的一種整體認識（這是統(tǒng)計學最核心的東西），所以是有很清晰的核心素養(yǎng)導向的。

先來看第一個內容——數據分類，從思維的要求上來講，實際上很簡單——人們對很多東西都會進行分類，比如一堆蘋果，其中可能有大、中、小之分。在現代社會，很多互聯網公司，需要對用戶進行“畫像”——具體地知道這個用戶到底有什么需求。比如閱讀網站，可能就要了解用戶的興趣、喜歡的風格等。這時候實際上，對每一個維度，就要對用戶進行分類了。比如，作品的風格有哪幾類？什么樣的人喜歡這個作品的風格？也就是，在現代社會，有了大數據以后，自然就要進行分類，所以，新課標希望將這個內容放進來。但是，二維數據的分組（分類）是很難的，學生的能力要求也不夠，所以，新課標新增的是一維數據，也就是一組數的分組。一維數據的分組要遵循“組內差不多，組間差得多”的原則，那么，怎么實現這個原則？實際上，沒有絕對統(tǒng)一的辦法。新課標提供了一個傳統(tǒng)的方法，即組內離差平方和最小的方法——這實際上是統(tǒng)計與概率領域十分重要的最小二乘法（一維數據的均值、二維數據的線性回歸方程都是由它得到的）的體現?？梢姡x這個內容就是因為學生未來真的需要它。所以，新課標的課程內容選擇特別關注學生的未來發(fā)展。

再來看第二個內容——箱線圖、四分位數。過去，拿到一組數據，一般是求均值、方差。但是，只有均值、方差，并不能完全反映一組數據的整體分布。在數據分布比較正態(tài)的情況下，只要均值、方差定了，數據的整體狀況就有了，刻畫百分之多少的數據也都是很清楚的。但問題是，生活中的數據不一定是正態(tài)的，偏態(tài)的數據很多。比如，學生的考試成績一般都是偏態(tài)的。再者，即使數據是正態(tài)的，如果沒有分布的圖像，只有均值和方差，要初中生直觀地感受到數據的分布，也是很困難的。而新課標增加的箱線圖，就可以很好地反映數據的分布。箱線圖中有中位數，還有25%、75%這兩個四分位數，此外有最高值、最低值，相當于100%、0%的數。這樣，就相當于把一組數據用五個點分成四段，清清楚楚。所以，通過箱線圖一下子就能看出數據的分布狀況。我想，這一點修改可能也表明，新課標對整個統(tǒng)計的認識發(fā)生了變化。也就是說，教統(tǒng)計不只要教數據的具體的特征數值（如均值、方差等），更重要的是對整個數據的總體把握。

趙維坤：感謝章教授給我們開了個頭，后面還需要您繼續(xù)把脈、指點。章教授結合具體的課程內容，告訴了我們新課標在課程目標上最重要的一個變化。下面請朱建明主任再給我們指指方向。

朱建明：2021年年初，我們把史寧中校長請到南京，給我們做了關于新課標的一個培訓。史校長特別提出，新課標在兩個方面有了比較大的變化：一個是代數推理，另一個是幾何作圖。我個人的認識是，這兩個方面其實都是推理能力或者說推理素養(yǎng)培養(yǎng)的重要載體。所以從這個角度來講，以素養(yǎng)為導向的新課標應該說對教育教學提出了更高的要求。

這里，我想就代數推理談一些想法。我們南京的初中數學團隊領銜了一個課題，就是代數推理的研究。推理是數學基本的思維方式，也是思維過程。推理包括合情推理和演繹推理。在以往的數學教學中，推理（特別是演繹推理）應該說在圖形與幾何這一領域中體現得更為充分，而相對來說在數與代數這一領域中體現得還不夠充分——當然，運算也是推理?，F在，我們將代數推理分成兩個方面：一是運算推理，二是命題推理。對運算推理，不管是新課標還是舊課標，都非常重視；而對命題推理，重視程度則是不足的。

我們查閱了一些資料，發(fā)現美國、英國、澳大利亞這些國家或者它們一些州的數學課程標準，對代數推理也提出了專門的要求。我們還研究了一些教材。比如，從20世紀80年代末到21世紀初這十幾年，南京的一些學校實驗過一套教材，即著名華人數學家項武義先生主編的《中學數學實驗教材》。在這套教材中，有大量的代數命題推理。這套教材是從結構的觀點出發(fā)編寫的，邏輯上比較嚴謹——當然，也就有一定的難度。我認為，使用這套教材的學生的數學素養(yǎng)是比較好的，或者說是有一些優(yōu)勢的。最為典型的是南京市第一中學的初中，在使用這套教材期間，他們在南京市中考數學考試中，連續(xù)十多年取得了很好的成績。

我也做過高中教研員。在高中數學內容中，有大量的代數命題推理。比如函數的單調性證明、奇偶性證明，還有導數中的一些證明、數列中的一些證明、復數中的一些證明。那么，從初高銜接的角度來講，初中在代數命題推理這一方面，從內容到教學確實都存在著很大的缺失。

現在，新課標在代數推理方面，明確地提出了兩個基本事實：一個是相等關系的傳遞性，另一個是等式的基本性質（以及不等式的基本性質）。依據這兩個基本事實，可以對一些相關的內容進行一些代數推理（特別是命題推理）的教學，并開展一些研究。我們在這個方面已經開設了十幾節(jié)課，感覺到非常有意思：在控制好難度、精選好內容的情況下，應該說能達到非常好的效果。

舉一個例子，學完不等式的基本性質后，我們讓學生比較一些式子的大小，并且說明理由。比如，比較a+3與a的大小，要學生利用不等式的基本性質來說明得到的結論。再如，比較b-1與b、c-2與c+1等的大小。這是一種，還有一種就是已知一定的條件，比較式子的大小，并且說明理由。比如，已知a＜1，比較a和a+12的大小。

學生經過演繹推理三段論的訓練后，應該說還是能很好地掌握的。當然，這里有方法上的一些選擇，如比較法、分析法、綜合法等。對此，我們又形成了一些結論：使用綜合法作為主流的方法，而將比較法作為輔助的方法，分析法作為工具（分析的工具）來使用。當然，在初中數學教學過程中滲透代數命題推理，要把控好難度：三步（三個推斷）以內，學生完全是可以掌握的。而且，對代數推理進行方法上的學習，對后面幾何證明的學習有非常大的促進作用。

趙維坤：謝謝！下面請錢德春主任接著談談這個話題。

錢德春：好的。其實，關于這個話題，我在2017年和2020年都寫過文章，發(fā)表在《中學數學教學參考》上。剛才，朱主任講到，代數推理有它的內涵。我覺得，它可以分為三個方面。一個是代數運算，它本身就是推理。什么叫演繹推理？就是從條件出發(fā)，根據定義、基本事實、定理、公式、法則等得到結論。代數運算就是這樣做的。第二個是代數變形。很多問題的解決都需要代數變形。代數運算一般指向結果的最簡化，而代數變形是將代數式向特定的代數結構轉化。再一個就是剛才朱主任說的一些命題的證明。所以，我想講的第一點是，不要把代數推理神秘化。當然，也不要把代數推理窄化，不要以為只有證明才是推理。

我想講的第二點是，要把代數推理的教學融入日常的課堂中。以“一元二次方程根的判別式”為例。比如方程x2+3x+1=0，它的判別式算出來等于5，大于0，所以它有兩個不相等的實數根。這個過程看上去很簡單，但是如果把它分解的話，就是一個標準的三段論。大前提是這樣一個一般的命題：一般的一元二次方程在判別式大于0時，有兩個不相等的實數根。小前提是，具體的一元二次方程x2+3x+1=0的判別式大于0。結論是，這個方程有兩個不相等的實數根。這個過程就是典型的演繹推理——從一般到特殊的推理。我們講課時，可以適當地滲透這種思想。

除了代數推理，新課標還強調了什么？我關注到的是概念產生的必要性、概念名稱的合理性、概念定義的科學性。我們聽課也好，教學也好，可能都沒有很好地關注到這些內容。

比如，一元二次方程概念的教學，蘇科版初中數學教材給了一些現實生活中的例子，然后讓學生列方程；列了以后，沒有整理，就讓學生歸納這些方程有什么共同的特點；最后得到“它們含有一個未知數，未知數的最高次數是2，這樣的方程就叫一元二次方程”。這樣的教學好像也可以，但是我們應該考慮：學生列出方程之后，最關心什么？我認為，他們可能并不關心概念是什么；對于根據實際問題列出的方程，他們關心的是怎么解、答案是多少。其中有一個方程是x2=2，這個方程開平方好解。還有一個增長率問題，列出的方程是（1+x）2=1.96，這個方程開平方也可以解。但是還有一些方程，學生就沒辦法解了。遇到問題后，學生就會想：能不能把它轉化為我學過的方程？但是，他們只學過一元一次方程、二元一次方程，一下子不能轉化，也就產生認知沖突了。這時，他們才覺得這個方程有研究、學習的價值。這就是概念產生的必要性。

再來看概念名稱的合理性。其實，這里的方程叫什么方程，教師不講，而直接問學生，學生也會知道：叫一元二次方程。如果教師繼續(xù)問：為什么叫一元二次方程？學生就會把初一學過的一元一次方程、二元一次方程拿來比較，發(fā)現：“一元”“二元”指未知數的個數，“一次”指未知數的次數。

還有概念定義的科學性。究竟什么叫一元二次方程呢？可能“學優(yōu)生”不會有問題，但中等生和“學困生”就有問題了。他們會機械地模仿：只含有一個未知數，未知數的次數為2的方程。這個定義是有問題的：縮小了概念的內涵，擴大了概念的外延。舉個例子：x2+3x+1=0這個方程，未知數的次數是2嗎？顯然，3x這一項未知數的次數是1。由此，可逐步完善定義，得到：未知數的最高次數為2。

當然，還有一致性的問題，我就不多說了?，F在的課堂上，如果教師不講，學生往往也不會提出這些疑問。因為他們習慣了“你講我聽”，聽懂了以后考試有用，而不去思考概念產生的必要性，不去研究它的合理性、科學性。

再如，圓周角概念的教學，很多教師都先引導學生復習圓心角的概念；再在有圓心角的圖上畫幾個圓周角，讓學生歸納這些圓周角有什么共同的特點；最后說，頂點在圓周上，兩邊與圓周相交的角，叫圓周角。這樣的教學好像也沒有毛病，但是對學生來說，還是不知道為什么要學習圓周角。

其實，我們可以給每個學生發(fā)一張紙，紙上印好一個圓周，標出一段圓弧；然后請學生在平面內任意取點，再把這個點和圓弧的兩個端點連起來，量一量連線的夾角，發(fā)現大家量出的角的大小不一樣；接著讓學生把點取在圓周上，發(fā)現即使各人所取點的位置不一樣，量出的角的大小也基本上是一樣的。由此，學生就能發(fā)現這樣的角具有“變中不變”的特性，從而覺得有必要去研究。

當然，還有合理性問題、科學性問題。這樣的角叫什么角？圓周角。為什么叫圓周角？我們前面學了頂點在圓心上的角叫圓心角，那么頂點在的圓周上的角就叫圓周角。進而，什么叫圓周角？學生可能會說：頂點在圓周上的角叫圓周角。這個定義顯然不對，我們可以舉一些反例來精致這個概念，使定義更準確。

趙維坤：好的，謝謝！剛才，朱主任和錢主任都提到了代數推理。根據我的了解，潘小梅老師也很關注代數推理。下面歡迎潘老師發(fā)表她的見解。

潘小梅：好的。我是這樣想的。推理是數學的三大基本思想之一，是一種思維方式。之前，我們按照推理的不同形式，把它分成歸納推理、類比推理、演繹推理。歸納、類比統(tǒng)稱為合情推理，是從已有的事實出發(fā)，憑借經驗和直覺進行推斷——我發(fā)現，新課標已經把“合情推理”這個詞去掉了，而用“推斷”這個詞來代替。演繹是從已有的事實，包括定義、公理、定理和確定的規(guī)則（如運算的定義、法則）出發(fā)，按照邏輯推理的法則進行證明和計算。所以，我認為，代數推理不是新的東西，只是對推理用另外一種方式分類得到的結果，是相對于幾何推理而言的。代數推理的內容是以“數與代數”為主的——當然，它在幾何中也有運用，但同時也運用了“數與代數”的工具。幾何推理關注的是圖形數量和位置的變化，相對而言，代數推理更加關注數與式的變化。所以，我覺得，新課標把“代數推理”這個詞提出來，更像是給它正名。就是說，它原來其實也是存在的，現在要加以突出，來引起大家的重視。

那么，要加強代數推理的教學，是不是也可以從推理的形式上進行？我們剛才講推理的形式有歸納、類比，還有演繹。“數與代數”的內容，比如剛才朱老師講到的等式的基本性質、不等式的基本性質，此外還有分式的基本性質、根式的基本性質等，這些代數性質在目前的教材中普遍采取從特殊到一般、從具體到抽象的歸納方式獲得。所以，歸納推理其實在代數教學中廣泛存在。還有類比推理，我們可以類比分數的基本性質得到分式的基本性質，類比異分母分數的加減法則得到異分母分式的加減法則。還有演繹推理，這里面更多的就是數的運算和代數式的變形。我覺得，要特別重視各步運算的邏輯關系和代數變形的依據。

此外，我認為，要加強代數推理的話，還要特別重視解題步驟的訓練（明確每一步的道理、依據）。比如解方程，去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1，每一步其實都是一個代數推理的過程。把解題步驟做好了，解題過程中的邏輯就更加清楚了。而且，如果在剛開始學習時，能按照這樣的步驟進行訓練，那么熟練了以后，實際上就形成了一種習慣。就像我們剛開始學習駕駛汽車時都需要有一些步驟，但是到后來就把這些動作全部連在一起了。

這里，順便提一個我還在思考的問題。我在新課標的“教學建議”部分，看到相比于舊課標突出的一點，就是“整體把握教學內容”。其中的第一小點是“注重教學內容的結構化”，里面有這樣的一句話：“通過合適的主題整合教學內容，幫助學生學會用整體的、聯系的、發(fā)展的眼光看問題……”我就在思考：為什么要提這三個眼光？怎樣理解這三個眼光？我是這樣理解的：

“整體的眼光”也就是說，一節(jié)課不是孤立的，我們要把它放在整個單元中來研究。所以，我覺得，“整體的眼光”可能是一種教學的視角。第二個，“聯系的眼光”就是要建立知識之間、知識與生活之間的聯系，使得知識結構化、方法系統(tǒng)化。所以，我覺得，“聯系的眼光”可能是一種數學的視角。第三個，“發(fā)展的眼光”就是要著眼于核心素養(yǎng)，也就是說，我們教學的不是一節(jié)課的知識內容（它只是一個載體），而是內容所蘊含的思想方法和學習內容的過程中獲得的經驗，因為是把所學的知識內容全部忘掉以后留下的思想和經驗，成就了一個人的發(fā)展。所以，我覺得，“發(fā)展的眼光”可能是一種學生的視角。這樣理解的話，這三個眼光也就指向我們常說的理解教學、理解數學、理解學生三個視角。

此外，我又進一步思考?！罢w的眼光”是對一個事物從整體上去看，也可以理解成用“望遠鏡”去看一個事物。那么，“聯系的眼光”可以理解成用“顯微鏡”去看事物之間的一些聯系。而“發(fā)展的眼光”則可以理解成從事物變化的角度去看。

對此，我也做過具體的課例研究。比如，《直線和圓的位置關系》這節(jié)課，用“整體的眼光”看，所有幾何圖形的位置關系研究都是一個從定性描述到定量刻畫的過程；用“聯系的眼光”看，直線和圓的位置關系是按照公共點的個數分類的，而直線和直線的位置關系也是按照公共點的個數分類的，所以，可以借助直線和直線的位置關系來學習直線和圓的位置關系，而不是像通常一樣，借助點和圓的位置關系來學習直線和圓的位置關系；用“發(fā)展的眼光”看，要研究幾何圖形的位置關系，和研究其他所有物體的相對位置關系一樣，都可用控制變量的方法。

趙維坤：謝謝潘老師！潘老師實際上給我們提供了一種學習新課標的方法，就是在研讀新課標時，要看到文本背后所蘊含的內容。這樣，我們在教學實施過程中，才能夠不偏離方向。劉東升老師很關注一致性的問題，這個問題其實和推理也有一定的關系。下面請劉東升老師說一說。

劉東升：好的。我就結合最近這個暑期做的一些關于新課標的教師培訓，以及一些實踐，談談我的理解。這個暑期，我們做了兩個方面的專題培訓：一個是教學中的一致性，另一個是解題教學中序的思想。

新課標中提到核心素養(yǎng)的一致性、階段性、整體性。我選了一致性來研究，就是教學中從新授課到習題課，有哪些地方可以體現一致性。這里很難詳細展開，我就結合剛才幾位專家談的代數推理來談——它們之間有或多或少的關聯。為什么新課標要突出代數推理？因為代數教學整體上的一個特點是更偏重于程序化的運算——其實，在20世紀80年代，北京師范大學曹才翰教授就已經認識到這個問題了。所以，為了適當糾偏代數的程序化運算，新課標要突出代數推理。突出代數推理，可以使代數教學在推理（尤其是演繹推理）素養(yǎng)培養(yǎng)方面很好地和幾何教學進行銜接——這個就可以看成一種一致性。平面幾何學習，常常是學生數學學習的一個分化點。分化的成因非常復雜，相關的變量很多，但是一個重要的原因可能是，之前的代數學習過于側重程序化的運算，通過機械的“刷題”和超量的訓練，確實能達到熟能生巧的效果，而幾何學習是完全不同的思維風格，即側重于要素分析、邏輯推理——當然，代數學習也是有比較靈活的一面的，尤其是對式子結構的觀察與轉化，將其與看上去不相關的那些極具一般性的代數公式、運算性質聯系起來，只是與幾何學習相比，可能沒有那么靈活。

再來談談序的思想。新課標在“教學建議”“教材編寫建議”等多個部分都談到要“引發(fā)學生思考”。其實，引發(fā)學生思考的關鍵，就在于素材或問題呈現的順序，也就是，哪個材料（問題）先出現，哪個材料（問題）后出現。這肯定是與教學方式、教學技藝有關的。有時，材料鋪墊的密集程度可能要高一點；有時，問題呈現又要更具有挑戰(zhàn)性。

這個序的選擇，在新授課中肯定是存在的，而在習題課中可能更需要加強。我在學習新課標的時候，有一個很強烈的觀感：與一線教學形成巨大反差的是，新課標對習題課，或者說解題教學，談得不是很多。而初中數學教學的現實是，解題教學占比很大，甚至可能達到一半的課時比例。所以，把新課標的一些理念、方法體現在解題教學中，是很重要的。而且，對新授課，將來還有教材跟進，教師可以從教材中選取一些材料和問題。但是，對大量的習題課，教師怎么給學生提供材料和問題？怎么體現新課標中的選題理念、教學思想？習題教學怎樣才能引發(fā)學生思考？因此，這個序的選擇，是值得我們好好研究的。比如，對一個比較難的題目，是先呈現，等學生答不出來，再做比較強的教學干預呢？還是先引導學生回顧一個基本問題（如基本圖形及其性質），再對這個問題做一些變式，或者再讓學生圍繞這個問題做一些開放式的討論，最終讓學生在這些鋪墊的基礎上順利地解決那個比較難的題目？如果學生能在鋪墊式回顧復習的基礎上獨立解決比較難的題目，那么教師不但完成了解題教學的任務，更重要的是在這個過程中，培養(yǎng)了學生的思考能力，激發(fā)了學生的解題自信。這個話題也很復雜，雖然我們這個暑期研究了好幾次，但是我感覺，還有很多需要深入研究的地方。

趙維坤：好的。劉老師拋出了很好的研究課題，給了我們很多啟發(fā)，也告訴我們研讀新課標的目的是走進課堂，在課堂上落實。在數學課堂上，特別是新時代背景下，德育也是一個很重要的話題。上海的孫琪斌老師在這方面做了很多研究。下面請孫老師分享他的研究成果。

孫琪斌：謝謝！我就借今天早晨給一家報紙的德育專欄寫的一個稿子的草稿，向各位專家匯報一下我的一些思考。

現在有一個非常普遍的現象：學生到了初中畢業(yè)時，就已經失去了繼續(xù)學習數學的信心，喪失了終身學習數學的興趣。面對這樣的現象，我們要不要反思一下：我們還能心安理得地認為自己是一個合格甚至優(yōu)秀的數學教師嗎？對學生而言，成績和分數、思維和方法、興趣和自信、品德和素養(yǎng)，哪些更重要？

我很認同剛才劉東升老師的觀點：數學學習離不開解題。但是，我感覺到，現在學生也說“刷題”，家長也說“刷題”，一些教師和教研員在上課和評課時也把“刷題”當作一種時尚。面對這樣的現象，我們要不要反思一下：我們內心深處期望的數學教育真的是現在這個樣子嗎？解題教學的過程能不能培養(yǎng)學生質疑問難的品質？數學教學的過程能不能培養(yǎng)學生專注和堅持的品質？

我在看新課標的時候，專門關注了這方面的論述。比如“課程性質”中提到的：“數學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發(fā)展中發(fā)揮著不可替代的作用。”對此，一線教師要真正地理解數學的“不可替代”體現在哪里，然后在課堂教學中讓學生也認識到這一點。再如“課程性質”中提到的：“激發(fā)學習數學的興趣，養(yǎng)成獨立思考的習慣和合作交流的意愿……增強社會責任感，樹立正確的世界觀、人生觀、價值觀。”解釋“三會”中的數學思維時提到的“發(fā)展質疑問難的批判性思維，形成實事求是的科學態(tài)度，初步養(yǎng)成講道理、有條理的思維品質，逐步形成理性精神。”這些實際上都是“立德樹人”的“德”的體現。下面稍微具體地談一談。

談到數學的“不可替代”，我認為在理性思維（精神）的基礎上，還可以有定量意識與計算思維、邏輯意識和推理論證、統(tǒng)計意識和概率思維以及符號化意識和公理化思想等。這些可能是其他學科不如數學學科關注和強調的，因而是數學學科“不可替代”的東西。

而M.克萊因和米山國藏都認為，數學首先是一種精神的體現。談到數學的精神，我認為，除了理性的精神，還有探究的精神、執(zhí)著的精神、質疑的精神、實證的精神等。關于數學的精神，應該在數學教學，尤其是解題教學的過程中，進行一些潤物細無聲的滲透。

下面，重點談談理性思維（精神）。先看新課標中還有哪些表述。其一，在描述推理能力時，談到它“有助于逐步養(yǎng)成重論據、合乎邏輯的思維習慣，形成實事求是的科學態(tài)度與理性精神”。其二，在描述創(chuàng)新意識時，談到它“有助于形成獨立思考、敢于質疑的科學態(tài)度與理性精神”。其三，在談到教學內容與核心素養(yǎng)的關聯時，指出對核心素養(yǎng)的感悟要由感性上升為理性。其四，在解釋行為動詞“感悟”時，指出感悟的表現就是“獲得初步的理性認識”。與此同時，新課標始終沒有對理性精神做一個比較清晰的界定。

而我對理性精神有一個界定：在發(fā)現問題和解決問題的過程中（包括離開學校之后做事的過程中），能夠自覺地運用數學的方式進行有邏輯的思考，習慣于運用數據和事實進行有證據的表達和交流。在此基礎上，我認為，理性思考首先是有序思考?！坝行颉本腕w現在面對一個問題，教師是如何思考的，學生是如何思考的；首先想到了什么，其次想到了什么；為什么要這樣思考，還可以怎樣思考。這一點和數學解題教學的關系是非常密切的。其次，理性思考也是有據思考。“有據”就體現在講證據、重邏輯、求實證。具體來說，就是代數計算、幾何證明等都強調步步有據、邏輯連貫，統(tǒng)計分析則強調用數據來說話。再次，理性思考還是有趣思考?！坝腥ぁ本腕w現在進入思維狀態(tài)后會發(fā)現不同的想法，在分享的過程中就會覺得很有趣。

這里，我舉今年上海市中考的第25題為例。該題的第（1）小題為：

如圖1，在平行四邊形ABCD中，P為邊BC的中點，AP交BD于點E，連接CE。

（1） 若AE=CE，① 求證：平行四邊形ABCD是菱形；② 如果AB=5，AE=3，求線段BD的長。

很多學生都被這一小題卡住了，不僅是學習基礎不好的學生，還有一些學習成績很好（一模、二?？嫉?40分以上）的學生。學生為什么會被卡?。勘豢ㄔ谀睦锪?？在訪談時，我發(fā)現，對于中點，學生只按照他們習慣的方式來思考，而沒有想過一般應該怎樣思考。實際上，已知中點時，可以形成如圖2所示的一種理性思考。所以，從思維層面進行數學教學，應該加強一些。

還是這一小題，已知兩條線段相等時，應該怎樣進行理性的思考？要證菱形時，一般是怎樣思考的？這其實就是新課標提及的一般觀念。這些東西，實際上是很多一線教師所缺乏的。

趙維坤：謝謝孫老師！孫老師給了我們很多的啟發(fā)，特別是在立德樹人的落實方面。其實，新一輪課程改革的主要方向就是讓立德樹人真正落地。所以，孫老師的研究還是很有價值的。石樹偉老師，下面請你再和我們聊聊核心素養(yǎng)等重要話題。

石樹偉：好的。我覺得新課標最大的一個變化就是將數學核心素養(yǎng)凝練為“三會”，我就想談談我對“三會”的理解。我覺得，將數學核心素養(yǎng)凝練為“三會”非常好，好在這樣幾個方面：

第一個方面是，“三會”的表述體現了數學核心素養(yǎng)的大眾性。大家知道，《普通高中數學課程標準（2017年版）》提出的數學學科核心素養(yǎng)有六條，包括數學抽象、邏輯推理、數學建模等。這六條核心素養(yǎng)的專業(yè)性非常強，不是數學專業(yè)的一般人可能難以理解。而且，也不是所有人都能形成這六條核心素養(yǎng)的。比如數學建模，大家知道，大學里面有專門的數學建模課程。而新課標把數學核心素養(yǎng)凝練成“三會”，則非常通俗易懂。而且，這個“三會”是所有人都應該具備的基本素養(yǎng)。所以，我覺得，它是大眾素養(yǎng)、公民素養(yǎng)，符合義務教育的特征。

第二個方面是，“三會”的表述體現了數學核心素養(yǎng)的貼切性。首先，“三會”精簡了條數，變成了三條，體現了“核心”的意蘊。高中的六條核心素養(yǎng)，和大家平常所理解的核心還是有差距的：六條怎么能說是核心呢？其次，數學眼光、數學思維、數學語言這樣的“三會”與一般意義、平常理解的素養(yǎng)是一致的，體現了“素養(yǎng)”的意蘊。而數學抽象、邏輯推理、數學建模等更像是一種能力，是關鍵能力。再次，數學眼光、數學思維、數學語言體現了數學學科的特征。而抽象、推理、模型并不是數學學科所獨有的。比如，物理學科也有抽象，也有推理，也有模型。

第三個方面是，“三會”的表述體現了數學核心素養(yǎng)的基礎性。義務教育階段對學生的素養(yǎng)要求不能太高，應該有基礎性。比如，數學眼光聚焦于抽象的數量關系和空間形式，雖然主要表現為數學抽象，但不完全等同于數學抽象，而其實相當于數學抽象的門檻，就是一種從數學的角度去看問題的眼光。再如，數學語言雖然主要表現為數學建模，但還達不到數學建模的要求，而只是數學建模的基礎。大家知道，數學建模其實包括模型建立、模型求解、模型檢驗、模型完善這樣一個完整的過程。要完成這樣一個完整的過程，對學生的素養(yǎng)（能力）要求還是非常高的。而數學語言其實僅僅是模型建立這一塊，就是用數學的語言表達出數量之間的關系。

趙維坤：好的。石老師站在一個更高的層面，讓我們看到了核心素養(yǎng)的基本表達在義務教育階段和高中階段之間的差異性。確實，“三會”的表達更能夠反映出義務教育的特點。關于核心素養(yǎng)更多的思考，我們來聽聽楊麗娟校長的發(fā)言。

楊麗娟：大家好！作為一線教師，我最關心的就是怎么從內容到教學，或者說怎么在自己的課堂上既順利地傳授知識，又很好地培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)，從而體現數學課程的育人價值。下面，結合我的教學經驗，簡單地講一講我對新課標的一些粗淺的理解。

根據新課標的表述，數學核心素養(yǎng)具有一致性、階段性和整體性。剛剛劉東升老師談到了一致性，這里我再談談階段性。從數學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)來看，初中階段不同于小學階段：小學階段側重于經驗的感悟，初中階段就要開始側重于概念的理解、定理的論證等。所以，初中階段，數學的抽象性、邏輯性開始逐步增強，難度也就逐步增大。那么，如何培養(yǎng)初中生的“三會”核心素養(yǎng)？我的經驗是，盡量讓數學課更有生活味，從而讓學生更容易接受、理解。也就是，在課堂教學中，更多地關注社會生活中與數學相關的一些信息，在解決這樣的數學問題的過程中，幫助學生克服困難，樹立學好數學的信心。因為初中階段，尤其是初二年級，是學生數學學習的一個分水嶺，很多學生在這一階段對數學學習產生了恐懼的心理，覺得自己學不好。那么，我們就要想方設法提供學生感興趣的元素，讓他們覺得數學學習是有趣、有用的。而且，如果我們能在數學教學中充分利用生活信息，那么必然也可以發(fā)展學生的“三會”核心素養(yǎng)——簡單來說，就是會觀察、會思考、會表述。

首先，我們可以選取一些生活素材，幫助學生學會用數學的眼光觀察現實世界。如果能從社會生活和學生已有的數學經驗等方面入手，選取盡可能貼近學生現實的教學素材，那么，相應的教學任務也就比較貼近學生的年齡特征和認知特點了。這樣也就利于學生經歷從現實情境中抽象出數學知識與方法的過程，幫助學生發(fā)展抽象能力、推理能力。

具體來說，從初一進校開始，首先學習“有理數”，這對大多數學生來說問題不大，因為其還是建立在小學學習的數與運算的理解上的。之后，學習整式的有關內容——首先學習單項式、多項式等概念，然后學習同類項的概念，接著進行一些相關的計算。而在學習同類項的概念時，我們發(fā)現學生會卡殼。其實，我們可以借助生活中一個簡單的例子——買早點的問題，很通俗地解釋同類項的概念。比如，一家三口，爸爸要吃兩個包子、一根油條、一杯豆?jié){，媽媽要吃一個包子、一根油條、一杯豆?jié){，小明要吃一個包子、一杯豆?jié){，提問題給小明：讓你去買，該如何買？這時，小明利用生活經驗，就會按照包子、油條、豆?jié){不同的種類進行計算（統(tǒng)計），順利地知道應該買四個包子、兩根油條、三杯豆?jié){。在這個過程中，學生就利用了生活經驗：包子、油條、豆?jié){就相當于數學中的同類項概念，計算買多少的數量則類比于數學中的合并同類項。這樣一來，學生就覺得很有趣，生活經驗和數學知識可以緊密地聯系在一起。

其次，我們可以設計一些生活情境問題，幫助學生學會用數學的思維思考現實世界。如果能圍繞一個主題，由簡單到復雜，開展一系列層次性的探究，引導學生一步一步、沉浸式地解決問題，那么必然可以培養(yǎng)學生的科學態(tài)度和理性精神，發(fā)展他們的數學思維。

以我曾經上過的一節(jié)專題研究課——《軸對稱視覺下線段和的最小值問題》為例。初中數學中有一個被稱為“牧童飲?！保ɑ颉皩④婏嬹R”）的經典問題：牧童從放牛的地方出發(fā)，先到河邊讓牛飲水，再回家，求其所走的最短路程。這個問題學生學過之后都會解決：建立一個簡單的數學模型，即在一條定直線上找一個動點，使其到定直線同側的兩個定點的距離之和最小，由此不難想到，作一個定點關于定直線的對稱點，轉化為到定直線異側的兩個定點的距離之和最小的問題，從而可以利用“兩點之間線段最短”解決。在此基礎上，我設計了變式問題，引導學生開展一系列層次性的探究。比如，我設計了一個有一定難度的變式問題：一片草地的邊緣和一條河形成∠AOB，∠AOB內部的一點P處栓著一頭牛，牧童先牽牛去草地OB上吃草，再牽牛去河OA邊飲水，最后回到點P，請你幫助牧童設計一個最短路線。這個生活情境問題，讓學生陷入了困境。于是，我引導學生分析題目中涉及的點哪些是定點、哪些是動點，以及它們之間有怎樣的位置關系，然后構建相應的數學模型。這個問題其實就是，已知平面內的一個定點，找兩個動點。學生慢慢深入，做了知識的延伸和拓展后，就知道要利用兩次對稱，再將兩個對稱點連接起來，從而找到所需要的兩個動點。

再次，我們可以借助一些生活經驗，幫助學生學會用數學的語言表達現實世界。這里，可以引導學生經歷分析、比較的過程，不斷優(yōu)化、完善描述研究對象的數學語言，從而充分發(fā)掘學生數學應用和生活實踐的潛能。

比如，在初中階段學習函數概念時，學生常常覺得非常抽象，很難理解。其實，我們可以通過豐富多彩的生活實例，在引導學生理解事物的運動變化過程時滲透函數的思想，然后水到渠成地揭示函數的本質?？梢耘e生活中爸爸媽媽到加油站給汽車加油的例子，展示加油表示數的動態(tài)變化情況，讓學生觀察什么是不變的、什么是在變的，從而知道：油的單價是不變的，所以是常量；油的數量和油的總價是在不斷變化的，所以是變量。由此，讓學生感受到油的數量和油的總價一一對應的數量關系和變化規(guī)律。也可以舉用火柴棒搭小魚圖案的例子，讓學生以表格的形式填空：一條“小魚”用幾根火柴棒？兩條“小魚”用幾根火柴棒？……最后總結出n條“小魚”用多少根火柴棒。從而感受到火柴棒的根數與“小魚”的條數一一對應的數量關系和變化規(guī)律。還可以舉水波蕩漾的例子，讓學生觀看一滴水滴到水面后水波層層泛開的視頻，感知圓的面積隨半徑的變大而變大的過程，從而感受到圓的半徑與面積一一對應的數量關系和變化規(guī)律。通過這些例子，學生可以發(fā)現一個共性：在一個變化過程中，有兩個變量；當一個變量變化時，另一個變量也隨之變化；當一個變量確定時，另一個變量也隨之確定。通過生活經驗，總結出幾個例子的共性之后，就可以得到抽象的函數概念了。

所以，在初中數學教學中，我們需要更多地“從生活中來，到生活中去”，讓學生通過對生活的觀察、對生活的思考、對生活的表達做到數學的自然生成。

趙維坤：謝謝楊校長！楊校長提出了一個課堂教學如何落實核心素養(yǎng)培養(yǎng)的問題。

和劉東升老師一樣，我也注意到，新課標在“教學建議”中明確地提出了一條：“選擇能引發(fā)學生思考的教學方式?！辈⑶覐娜齻€方面具體闡述：一是“豐富教學方式”，二是“重視單元整體教學設計”，三是“強化情境設計與問題提出”。這里要提一下的是，我看到一個資料上說，在新課標中，“情境”一詞一共出現了138次。我就打開新課標找了一下，發(fā)現確實有很多關于情境的描述，有具體情境、簡單情境、合理情境、問題情境、實際情境、現實情境、真實情境、生活情境、社會情境、數學情境、科學情境、科技情境，等等。

實際上，我們研讀新課標最主要的目的是在課堂教學中落實。對此，我也思考了一下，認為主要是三點。第一點，關注知識本質的教學。數學教師應該用數學的方式教數學。比如，一些概念的教學究竟應該怎么做？對此，章建躍先生提出了很多關于一般觀念的教學建議。第二點，關注知識結構的教學。對于這一點，有幾位專家已經闡述或將要闡述自己的觀點。第三點，關注學科融合的教學。我認為，學科融合既包括跨學科學習，也包括與數學文化的融合。新課標在“課程性質”中明確指出：“數學承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分。數學是自然科學的重要基礎，在社會科學中發(fā)揮著越來越重要的作用……”因此，提出了跨學科學習（包括以跨學科學習為主的綜合與實踐活動）和數學文化滲透的要求。

這里特別要提一下跨學科學習。我看了一下《義務教育課程方案（2022年版）》。義務教育階段有9522節(jié)課，其中13%—15%是數學課。初中每年課時要比小學多一點，那么一年應該有大約150多節(jié)數學課。如果按照10%的跨學科學習來算的話，那么一年應該有15—20節(jié)課。這么多跨學科學習的課應該怎么上？新課標中這方面的課程內容（包括具體案例）還不是太多。對此，有幾位專家有觀點要表述，稍后會請他們再做一些闡述。

另外，關于信息技術與數學教學之間的關系，新課標中有兩個建議特別值得關注。第一個是，利用數學專用軟件等教學工具開展數學實驗。關于數學實驗，江蘇已有很好的研究和實踐，也有很多的案例和經驗，可能還需要在實物之外進一步發(fā)揮數學專用軟件的作用。第二個是，開展線上線下融合的混合式教學，包括加強線上網絡空間與線下物理空間的融合。這一方面也值得我們進一步去研究。

由于時間關系，下面我們再重點聊一下跨學科學習（包括綜合與實踐活動）這個話題。對此，孫學東老師申報了專門的課題，我們先請他來談一談。

孫學東：好的。但是，我想先談談我對核心素養(yǎng)的認識。我對新課標進行了檢索，發(fā)現其中沒有“數學核心素養(yǎng)”“數學學科核心素養(yǎng)”的提法，而講的是“數學課程要培養(yǎng)的學生核心素養(yǎng)”“核心素養(yǎng)（在學科課程中）的主要表現”。結合剛才石樹偉老師提到的“數學的核心素養(yǎng)更多是一種公民素養(yǎng)、大眾素養(yǎng)”，我覺得其原因可能是，課程更多強調過程和經歷，學科更多強調學術性質或知識劃分，而初中以及小學的學習，與高中乃至大學的學習，畢竟是不同的，即學術性質不那么明顯。此外還有一個理由：剛才孫琪斌老師提到數學的精神包括理性的精神、探究的精神、執(zhí)著的精神、質疑的精神、實證的精神，那么，跳出數學學科來看物理、化學等其他學科，它們同樣提倡這些精神，還有科學的思維、態(tài)度、責任等，所以，這些本質上就是各個學科共通的課程的核心素養(yǎng)。

關于核心素養(yǎng)，我有這樣幾點理解。第一個理解是，核心素養(yǎng)是不斷發(fā)展的，是沒有上限和終極狀態(tài)的。我們很難說出“三會”的終極狀態(tài)是怎樣的。第二，核心素養(yǎng)往往既具有本學科的特征，也具有其他學科的特征。比如，推理是很重要的一種素養(yǎng)，語文學科在培養(yǎng)，英語學科在培養(yǎng)，物理、化學等學科也在培養(yǎng)。那么，數學學科所要培養(yǎng)的推理核心素養(yǎng)是什么呢？就是剛才孫琪斌老師提到的數學學科“不可替代”的東西。第三，核心素養(yǎng)不是教師教出來的，而是學生悟出來的，是在經歷的過程中產生的經驗的結果。正因為此，“四基”中的基本活動經驗，應該是與核心素養(yǎng)目標最接近的。第四，核心素養(yǎng)的本意是使人能夠恰當應對具體情境的各種能力的綜合。也就是說，核心素養(yǎng)產生在面對具體情境的活動中，自然，核心素養(yǎng)的評價也應通過處理具體情境的活動。第五，核心素養(yǎng)還和人的知識儲備和現實生活經驗有關。比如，有時，煤氣灶打著后，一松開關就熄滅了，需要調整風門的大小。如果有數學中二分法的知識，就會知道，從中間的位置向兩邊調試是最快捷的；而有些人沒有二分法的知識，但是有生活經驗，所以也會從中間向兩邊去調節(jié)。

再來談談趙維坤校長提出的跨學科學習這個話題。我正和我的團隊一起做省級重點資助課題“初中數學跨學科綜合實踐的資源整合與項目設計”，即對數學跨學科的資源進行挖掘整合，然后用項目化學習的方式設計出來。實踐中，有這樣幾點認識：

首先，新課標在“課程內容”中提出：綜合與實踐以跨學科主題學習為主，適當采用主題式學習和項目式學習的方式；小學階段主要采用主題式學習，初中階段主要采用項目式學習。我覺得，綜合與實踐并不等于跨學科學習，事實上，綜合與實踐的基礎是數學內部各領域知識間的綜合?！读x務教育數學課程標準（2011年版）》指出：綜合與實踐主要是數學知識內部的綜合、數學與其他學科的綜合以及數學與現實生活的綜合。新課標中也有類似的明確表述。因此，數學學科完備的知識架構和研究方法，應該是數學跨學科綜合實踐的基礎。我們很難想象，在數學基礎不扎實的情況下能進行高質量的數學跨學科學習。所以，數學跨學科綜合實踐項目的設計應該立足于數學素養(yǎng)的發(fā)展，再去融合其他學科的核心知識，解決現實世界中的真實問題。

其次，跨學科的關鍵不是知識上的跨學科，而是思想方法的整合與融合。數學跨學科綜合實踐，應該以數學學科為原點，融合其他學科的知識和見解，所以要體現數學學科特征，反映數學的核心概念、思想方法、思維方式、表達方式，等等。

再次，主題式學習和項目式學習在內涵上是有區(qū)別的，主要體現在課程的內在結構上。主題式學習較多地指向多學科的內容。比如，如果把“水”作為一個主題，那么，數學學科看到的往往只是水的重量、體積（包括它們的單位）等數和量的關系，而物理學科可能就會看到水的三態(tài)，生物學科可能就會看到水對生物體的重要價值，語文學科看到的可能就是水這種文化在詩詞方面的表現。但是，這些往往只是同一主題下相互獨立、割裂的內容。也就是，不同的學科從自己的角度去看所需要的內容。項目式學習就不一樣了，它看到的是同一主題下不可分割的那些聯系。比如“體育運動中的心率”這個主題，就是通過數學建模的方式研究跳繩、跑步等過程中的心率。在這種情況下，數學、體育、生物學（包括生命健康）等相關學科的知識、見解和思想、方法都融合在了一起，并且通過持續(xù)的探究解決相關的問題。因此，主題式學習和項目式學習反映了不同的學習需求。如果只是希望學生對某個主題有不同角度的理解，則采用主題式學習比較合適。如果希望學生對核心的概念、思想有比較深刻的理解，產生一種遠遷移，則采用項目式學習比較合適。

最后，數學跨學科項目式學習的核心特征往往是與“四基”“四能”緊密聯系的。第一，從現實任務出發(fā)，運用并發(fā)現數學知識解決現實問題。第二，核心目標，即明確蘊含的數學的、跨學科的一些目標。這種明確的目標也便于后期項目式學習開展過程中評估的實施。第三，開放性問題，即由學生發(fā)現并提出隱含問題，進一步明確完成任務的目標和解決問題的途徑。這是發(fā)展學生發(fā)現問題、提出問題能力的重要契機，也是數學跨學科學習采用項目式學習的一個重要原因。第四，真實實踐，即學生通過實踐參與明確問題探究的過程，并在這個過程中學習數學核心知識，應用相關數學思想和方法。在這個過程中，教師要提供必要的學習支架。我們在研究與實踐的過程中，設計了一些項目的指導單、報告單、評估書等。第五，師生合作，即面對比較復雜的情境，教師和學生共同尋找解決問題的方法。第六，非常突出的一個特征，是成果的展示交流。在解決問題的過程中，會創(chuàng)造一些有形的成果，可以是手工的，也可以是報告等其他可以展示、交流的形式。

趙維坤：感謝孫老師！這個話題確實值得深入研究！還有誰做一些補充？

朱建明：其實，現在很多數學教師最擔憂的就是跨學科學習，一是素材缺乏，二是教學失范。比如蘇科版初中數學教材，我曾參與設計課題學習或者叫綜合與實踐的部分內容，但現在回頭看那些東西，包括現在大量的數學活動和課題學習或者叫研究性學習，它們其實與跨學科學習還是有非常大的差距的。所以，現在要落實新課標提出的跨學科學習，任務艱巨，責任也重大。

錢德春：我插一句。比如，對平面鏡成像這個物理現象的研究，數學中也有很多知識可以講。

朱建明：這是一個可以讓數學和物理結合的點。但是，這種跨學科學習既要有跨學科的內容，還要有數學教學的樣態(tài)，就是要適合于數學教學。有的內容太復雜，即邊緣性的知識太多，反而干擾了學生的數學學習。所以，這是非常困難的一件事情，希望能有一些非常好的案例，做示范引領。這可能需要大家群策群力，有更多深入的思考，而且一定要有創(chuàng)新的內容挖掘和教學設計——當然，孫學東老師在這個方面已經先走了一步。

趙維坤：朱主任強調了一個很重要的方面。今天我把孫學東老師放在最后一個發(fā)言，就是這個道理：跨學科學習是一個全新的話題，而且，按照10%的課時要求的話，我們至少要做出二十個案例，但是從新課標來看、從現狀來看，肯定不夠。另外，我看章飛教授對跨學科學習可能也有一些想法，要不就請章教授再說幾句？

章飛：好的。我認為，我們需要通過綜合與實踐活動或者說項目式學習的形式進行跨學科學習，就像剛才孫老師所介紹的。實際上，目前各版本教材的修訂，也在加大力量研發(fā)跨學科學習素材。但是，對于普通的一線教師而言，可能自主設計這類跨學科學習的教學還是很有難度的。因此，普通的一線教師可以多探索如何在日常教學中做一些跨學科的融合——其跨學科的復雜程度沒有專門的跨學科學習那么大。這可能更好操作一些。

我再稍微談一下剛才幾位老師說的代數推理。我們可能有時要考慮一下，代數內容的推理和代數方式的推理是兩個不同的概念。我之前寫過一篇文章，說的是代數內容的推理，也就是代數學習中處處有推理。但是，代數方式的推理可能是不一樣的。我想新課標講代數推理，可能更多的是代數方式的推理。另外，我們在日常的代數教學中，不可能不教推理，但是我感覺，我們更多的是把代數推理作為學習手段，而沒有把代數推理作為學習目標。如果把代數推理當成重要的目標，那么可能我們的日常教學方式就會發(fā)生變化。現在很多時候是，為了學習代數知識，自然用了推理的方式。當然，在這個過程中，學生的推理能力也提高了。但是，學生還是沒有習慣用代數方式去推理，更多的時候感覺還是在運算，還是在按照步驟解決問題。

趙維坤：謝謝章教授！章教授總是在關鍵的地方給我們以啟發(fā)！還有哪位老師想交流？

孫琪斌：我覺得，跨學科學習一類是課外活動中的，一類課堂教學中的。我舉一個課堂教學中的例子，就是尋找數學模型的物理學科背景：已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時電流與電阻成反比例的函數關系，然后給出一個反比例函數的圖像，第一小題求反比例函數的解析式，顯然就是數學內容；第二小題求蓄電池的電壓，第三小題根據電阻計算電流并填表，這是函數解析式的簡單應用；第四小題是“如果以此蓄電池為電源的用電器的限制電流不超過10A，那么該用電器的可變電阻應該控制在什么范圍內”，這可以利用不等式的方法或函數的性質求解。我覺得這種微型的跨學科學習的例子用在課堂教學中就蠻好的。當然，從策略的角度看，我們還可以尋找數學模型的化學背景、數學模型的生物背景，等等。

石樹偉：我插一句啊。剛才孫老師分享的這個案例，我覺得非常好。但是，現在教材的編排有一個問題，就是物理學科、化學學科和數學學科的進度不是太統(tǒng)一。所以，有時在跨學科問題的使用上比較為難。比如，剛才孫老師舉的這個電學問題用不等式來解決，但是有關的物理知識在九年級上學期學習，而數學知識在七年級下學期學習，所以這個問題只能在物理教學或數學復習教學中使用。

錢德春：這確實是一個問題。比如，用平面幾何知識證明凸透鏡成像規(guī)律就因為進度不太匹配，而同時被物理教材（教學）和數學教材（教學）忽視。

朱建明：但我想說的是，新課標明確指出，跨學科學習是綜合與實踐領域主要的教學形式，必須保證數學課程10%課時的教學時間為跨學科學習。現在難就難在這個地方，各個教材編寫組都很頭疼。因為綜合與實踐是一個專門的學習領域，需要專門的時間進行跨學科學習，不是在其他學習領域做一點跨學科學習。

錢德春：這樣看的話，還有一個問題：就是數學課程里有一個領域叫綜合與實踐，數學課程外好像還有一門課程叫綜合與實踐。

孫學東：確實，在《全日制義務教育課程方案（實驗稿）》里，有一門課程叫綜合與實踐活動，主要包括四個領域：信息技術、研究性學習、社區(qū)服務與社會實踐以及勞動與技術教育。在《義務教育課程方案（2022年版）》里，這門課程沒有了，但是新增了兩門課程——勞動和信息科技；同時又以另外一種方式呈現了綜合與實踐活動的內容與思想，就是每門課程都必須進行10%課時的跨學科學習。

這段時間的實踐中，我有這樣的感受：在所有學科中，數學是開展項目式學習最困難的學科之一。有一份文獻提到，各個學科進行項目式學習所獲得的效應值（就是產生的效果），最低的是數學學科，最高的是語言類、人文類的學科。這里的原因和學生的學習方式有關，也和數學學科的特征有關，主要是學生很難用數學的方法去表達和交流，導致項目式學習在數學學科很難開展。

趙維坤：好的。非常感謝！今天大家談的話題還是很多的，收獲也是很大的?，F在時間比較晚了，“十人談”活動就到此為止吧，非常感謝大家的參與！

（章飛，江蘇第二師范學院課程與教學研究所，教授。朱建明，江蘇省南京市教學研究室，特級教師，正高級教師。錢德春，江蘇省泰州市教育局教研室，正高級教師。潘小梅，浙江省寧波市鄞州區(qū)基礎教育研究指導中心，特級教師，正高級教師。劉東升，江蘇省南通市教育科學研究院。孫琪斌，上海市嘉定區(qū)教育學院，特級教師，正高級教師。石樹偉，江蘇省揚州市廣陵區(qū)教師發(fā)展中心，特級教師，正高級教師。楊麗娟，江蘇省昆山市葛江中學，特級教師，正高級教師。孫學東，江蘇省無錫市教師發(fā)展學院。趙維坤，江蘇省鹽城市毓龍路實驗學校，特級教師，正高級教師。）