常靜鋒 周煉

［摘要］ 本文從一次九年級(jí)數(shù)學(xué)期末試題的命題經(jīng)歷出發(fā)，凝煉出以教材為綱，在破中立意的命題策略與主張，并分別從破基本概念，立學(xué)科融合；破指向單一，立多元關(guān)聯(lián)；破方法定式，立運(yùn)用遷移；破模型固化，立素養(yǎng)發(fā)展這四個(gè)角度，結(jié)合實(shí)例展開(kāi)闡述。

［關(guān)鍵詞］ 命題；核心素養(yǎng)；改編；教材

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“新課標(biāo)”）中提到，命題要遵循課標(biāo)要求，嚴(yán)格依標(biāo)命題，綜合考查“四基”“四能”與核心素養(yǎng)。由于教材是根據(jù)課標(biāo)要求編寫(xiě)的，故以教材為綱是有效命題的重要原則之一。除此之外，新課標(biāo)中還提到問(wèn)題的設(shè)置應(yīng)該注重考查學(xué)生的思維過(guò)程，避免死記硬背、機(jī)械刷題。這意味著在尊重教材、源于教材的基礎(chǔ)上也要嘗試打破教材，超越教材，以尋求更高的立意，體現(xiàn)命題的創(chuàng)新與智慧。從哲學(xué)角度看，這實(shí)質(zhì)上是一種“破”與“立”的辯證統(tǒng)一關(guān)系，可謂“破”字為先，“立”字為要，不破而不立。“立”通常表現(xiàn)為一種獨(dú)出心裁的創(chuàng)造，而“破”則是一種對(duì)原有事物的揚(yáng)棄與革新。從兩者的關(guān)系來(lái)看，若沒(méi)有“破”作為基礎(chǔ)和鋪墊，就不可能有“立”的延伸與創(chuàng)造。

一、破基本概念，立學(xué)科融合

教材由很多板塊構(gòu)成，其中概念陳述作為主要組成部分既是命題的重要依據(jù)，同時(shí)也是立足“四基”且體現(xiàn)學(xué)生基本素養(yǎng)的重要命題方式。不過(guò)，單純記憶式的考法往往顯得過(guò)于生搬硬套，無(wú)法展現(xiàn)概念學(xué)習(xí)的價(jià)值。數(shù)學(xué)作為一門(mén)基礎(chǔ)性學(xué)科，與很多學(xué)科之間都有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，打破學(xué)科壁壘、嘗試知識(shí)融合的命題理念能進(jìn)一步考查學(xué)生對(duì)基本概念是否有深層次的理解。事實(shí)上，初中階段的大部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)都來(lái)源于生活，當(dāng)命題需要“破”教材中的基本概念時(shí)，可以立于其生活意蘊(yùn)與自然學(xué)科原理之上，在數(shù)學(xué)概念與真實(shí)世界之間尋得一個(gè)平衡點(diǎn)，以增加概念考查的現(xiàn)實(shí)意義與多元價(jià)值。

【教材原型】三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫作三角形的重心。物理學(xué)告訴我們，一個(gè)物體的各個(gè)部分都受到重力的作用，從效果看，可以認(rèn)為各部分受到的重力集中作用于一點(diǎn)，這點(diǎn)就叫作物體的重心。

【真題呈現(xiàn)】如果用一根手指頂在一塊質(zhì)地均勻的三角形薄板的（）處，這塊薄板就能保持平衡。

A.三角形三條角平分線的交點(diǎn)

B.三角形三條中線的交點(diǎn)

C.三角形三條高線所在直線的交點(diǎn)

D.三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)

【改編意圖】教材原型從數(shù)學(xué)與物理學(xué)兩個(gè)角度分別闡述了重心的概念，但從表述上看，兩者之間相對(duì)孤立，若僅照搬教材原話進(jìn)行命題則無(wú)法體現(xiàn)學(xué)科間的聯(lián)系。經(jīng)反復(fù)斟酌，我們?cè)诿}時(shí)最終決定不提及“重心”二字，而是通過(guò)創(chuàng)設(shè)“讓三角形薄板平衡”的問(wèn)題情境，以生活現(xiàn)象為媒介將重心的兩種學(xué)科概念考查進(jìn)行融合，立于生活應(yīng)用層面以自然地破除學(xué)科間壁壘，體現(xiàn)了跨學(xué)科命題思想。由此可見(jiàn)，在命題過(guò)程中以真實(shí)情境為背景滲透跨學(xué)科理念，可以引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識(shí)融合，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、開(kāi)闊視野、改變思維習(xí)慣，提高學(xué)生解決問(wèn)題、將知識(shí)運(yùn)用于實(shí)際生活的能力。

二、破指向單一，立多元關(guān)聯(lián)

教材中大部分練習(xí)題都?xì)w屬于某個(gè)特定的章節(jié)，以鞏固該章節(jié)中具體的知識(shí)內(nèi)容。從問(wèn)題的覆蓋面看，某個(gè)情境設(shè)定的知識(shí)指向可能相對(duì)單一，但事實(shí)上很多章節(jié)之間都有非常密切的邏輯遞進(jìn)關(guān)系，同一個(gè)情境按照知識(shí)的發(fā)展趨勢(shì)可以延伸出多維度且具有發(fā)散性的各種問(wèn)題。基于此，我們?cè)诿}時(shí)既要把握教材所提供的優(yōu)質(zhì)試題資源，又要在此基礎(chǔ)上增加新的情境內(nèi)涵，好讓學(xué)生在熟悉的背景中融入更加多元化的思考。然而，在一份綜合性試題中，如果一道題只涉及有限的知識(shí)，不僅會(huì)導(dǎo)致整套試題的覆蓋面不足，而且無(wú)法提升試題的難度與區(qū)分度。為了解決這一矛盾，命題者可以立足于不同單元、板塊、學(xué)段之間的知識(shí)關(guān)聯(lián)，以破解教材習(xí)題的局限性與單一性。

【教材原型】蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第67頁(yè)，第6章“圖形的相似”習(xí)題6.4的第12題：△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的頂點(diǎn)上，△ABC和△DEF相似嗎？為什么？

【真題呈現(xiàn)】如圖，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形頂點(diǎn)上，求tan∠FDE+tan∠BCA的值為（）

A. B. C. D. 3

【改編意圖】教材原型是通過(guò)方格紙的度量功能，考查學(xué)生相似三角形判定的相關(guān)知識(shí)。本題雖能與方格紙很好地融合，但由于知識(shí)指向單一、思想方法缺失等不足，致使教材原題解題過(guò)程過(guò)于單薄。經(jīng)反復(fù)推敲后，我們決定分別從知識(shí)與方法兩個(gè)層面下手，在原題基礎(chǔ)上有所提升。具體方法是先設(shè)置一個(gè)求∠FDE和∠BCA正切值的問(wèn)題以讓學(xué)生感到困惑，然后再引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以運(yùn)用相似三角形將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求∠BAC和∠DFE的正切值。另外，求銳角三角函數(shù)值本身就有各種各樣的解法，如構(gòu)造直角三角形法、等角轉(zhuǎn)換法、面積法等，而本題的方格紙背景又為其增加了解題的多樣性與發(fā)散性，將原型立足于轉(zhuǎn)化思想、三角函數(shù)、方格紙等多重知識(shí)之上，十分巧妙地破除了教材原題的

缺陷。

三、破方法定式，立運(yùn)用遷移

教材中的習(xí)題為了更好地檢測(cè)某個(gè)具體知識(shí)的掌握情況，一般以概念與公式的直接運(yùn)用為主要考查形式，稍復(fù)雜的習(xí)題也可以在記住一些常用推論、性質(zhì)的基礎(chǔ)上輕松解決。誠(chéng)然，命制試題確實(shí)需要關(guān)注基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念、重要公式的考查，但同時(shí)也需要有一部分試題在立足“四基”的基礎(chǔ)上聚焦“四能”，并進(jìn)一步考查學(xué)生的核心素養(yǎng)發(fā)展?fàn)顩r。否則，只要學(xué)生練得足夠多，對(duì)直接套用公式與結(jié)論的試題形成思維套路后，會(huì)形成刷題就能獲得高分的假象，這不僅無(wú)法把控試題的難易配比，造成命題可信度缺失，而且會(huì)造成不良的評(píng)價(jià)導(dǎo)向。由此看來(lái)，要打破教材中一些問(wèn)題的表述與方法定式，就要立于在條件與問(wèn)題中增加更多的推理關(guān)系，讓試題的可研究性更強(qiáng)，遷移范圍更廣。

【教材原型】蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第70頁(yè)，第2章第5節(jié)“直線與圓的位置關(guān)系”練習(xí)第1題：在Rt△ABC中，AC=4 cm，BC=3 cm，則該三角形的內(nèi)切圓半徑是cm。

【真題呈現(xiàn)】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，已知三角形的面積和周長(zhǎng)分別為24 cm2和12 cm，則S四邊形ACDB= cm2。

【改編意圖】教材原型考查了三角形內(nèi)切圓的相關(guān)知識(shí)，很多教師在講授這部分內(nèi)容時(shí)往往會(huì)補(bǔ)充一個(gè)公式，即任意三角形的內(nèi)切圓半徑＝面積×2÷周長(zhǎng)，學(xué)生只要記住了公式，即便是在不深入理解的情況下也可以獲取基本題型分?jǐn)?shù)，這會(huì)大大影響考試的公平性。為此，筆者嘗試在原型的基礎(chǔ)上增加了三層推理關(guān)系，第一層是將直接由條件告知三角形內(nèi)心換成了給出兩組角平分線，弱化了概念的顯性表征；第二層是將求內(nèi)切圓半徑改為了求四邊形ACDB的面積，滲透了割補(bǔ)的轉(zhuǎn)化思想；第三層是擴(kuò)充了周長(zhǎng)與面積對(duì)于解題的應(yīng)用價(jià)值，原先僅作為代入之用，改編后則可與勾股定理、完全平方公式、代數(shù)推理等均有一定的關(guān)聯(lián)。總之，在自下而上地確立了三層新的推理關(guān)系后，便將設(shè)問(wèn)與解法破解于無(wú)形之中，多方位地考查了學(xué)生的推理能力、運(yùn)算能力及綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。

四、破模型固化，立素養(yǎng)發(fā)展

教材中問(wèn)題所涉及的圖形一般都較為經(jīng)典，大多數(shù)是能體現(xiàn)知識(shí)本質(zhì)的基本圖形。這對(duì)于命題環(huán)節(jié)來(lái)說(shuō)，既提供了機(jī)遇，又帶來(lái)了挑戰(zhàn)。當(dāng)教材原型中的圖形過(guò)于經(jīng)典時(shí)，在此基礎(chǔ)上命制出來(lái)的問(wèn)題一定是穩(wěn)扎素養(yǎng)根基的。它們雖然能代表某一類(lèi)知識(shí)的核心結(jié)構(gòu)，但缺點(diǎn)是如果不融入其他的素養(yǎng)成分，那么學(xué)生在面對(duì)基本圖形時(shí)反而會(huì)讓思維路徑窄化、解題方法固化。要想在模型的基礎(chǔ)上有所突破，就要立于學(xué)生的核心素養(yǎng)發(fā)展為命題錨點(diǎn)，在經(jīng)典圖形的基礎(chǔ)上突出能力的考查、素養(yǎng)的進(jìn)階與觀念的創(chuàng)新。具體到新課標(biāo)中所提及的空間觀念、幾何直觀、推理能力、運(yùn)算能力等，均可以作為改編的靈感來(lái)源，通過(guò)融入這些素養(yǎng)元素，可讓命題的立意與高度更上一個(gè)臺(tái)階。

【教材原型】蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第74頁(yè)，第6章第5節(jié)“三角形相似的性質(zhì)”習(xí)題第3題：在平行四邊形ABCD中，E是BC上的3等分點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F。求：△BEF與△DAF的周長(zhǎng)的比，以及面積的比。

【真題呈現(xiàn)】如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上（與點(diǎn)B、C不重合），連接AE交BD于點(diǎn)G。（2）設(shè)BC=kBE，△BGE的面積為S，△AGD和四邊形CDGE的面積分別為S1和S2，把S1和S2分別用k、S的代數(shù)式表示，并求出此式的最大值。

【改編意圖】“X型相似”是初中階段重要的基本圖形范式之一，不僅本身代表了某一類(lèi)基本相似，而且在解決與平行線有關(guān)的問(wèn)題時(shí)也常以此為依據(jù)。不過(guò)，教材的原題僅考查了“X型相似”的簡(jiǎn)單性質(zhì)，無(wú)法突出其基本圖形的核心地位與延伸價(jià)值，唯有融入更多的素養(yǎng)元素才能讓這道題“活”起來(lái)。因此，我們用字母k表示線段BC和BE的比值，用S表示△BGE的面積，并以這兩個(gè)參數(shù)表示S1和S2，一系列的設(shè)計(jì)是為了加大本題的運(yùn)算量與含參量，以考查運(yùn)算能力素養(yǎng)。將求兩個(gè)相似三角形的面積比改為求兩個(gè)多邊形的面積比，是希望學(xué)生在關(guān)注相似的同時(shí)，也能發(fā)現(xiàn)圖形中的其他面積關(guān)系，如同高三角形、同底三角形等，以彰顯幾何直觀素養(yǎng)。題目中有關(guān)幾何與代數(shù)不同條件之間的邏輯關(guān)系推導(dǎo)，以及求面積比最大值時(shí)所用的整體思想，均體現(xiàn)了嚴(yán)密的推理能力素養(yǎng)。上述改編均立足于核心素養(yǎng)，在破解模型固化給命題帶來(lái)消極影響的同時(shí)，也在知識(shí)點(diǎn)的經(jīng)典與傳承之上注入新的生命力。

五、命題感悟及總結(jié)

從上述四個(gè)案例可以看出，所有真題的原型都來(lái)源于教材，有的出自教材正文部分，有的是教材中的習(xí)題，有的是教材中“探索與發(fā)現(xiàn)”環(huán)節(jié)的引入素材。筆者以教材為綱進(jìn)行試題命制，意在能起到一種教學(xué)的引領(lǐng)作用，讓師生將知識(shí)預(yù)習(xí)、學(xué)習(xí)、復(fù)習(xí)的重心回歸于教材，充分挖掘教材中的優(yōu)質(zhì)課程資源，最大限度地發(fā)揮教材的命題價(jià)值。不過(guò)，基于教材并不意味著囿于教材，在命題過(guò)程中，筆者也大膽地破解教材原型，提取經(jīng)典圖形與關(guān)鍵要素，在確定立意后反復(fù)調(diào)整命題思路，加強(qiáng)知識(shí)關(guān)聯(lián)，變化試題形式，找出想要考查問(wèn)題的本質(zhì)，進(jìn)而賦予其新的靈魂與生命，在尊重教材的基礎(chǔ)上進(jìn)一步考查學(xué)生的素養(yǎng)發(fā)展水平。

通過(guò)此次命題，筆者秉持著“以教材為綱，在破中立意”的命題理念，積累了不少有益的經(jīng)驗(yàn)，但同時(shí)也發(fā)現(xiàn)了些許不足。比如，與三角形內(nèi)心有關(guān)的那道題，改編后涉及的知識(shí)內(nèi)容較為繁雜，在豐富了解題方法的同時(shí)亦失去了原有的簡(jiǎn)約特征。如何在提升一道題思想性的同時(shí)保留其簡(jiǎn)約性，這個(gè)議題還值得進(jìn)一步思考。另外，與三角形重心有關(guān)的那道題，僅僅用語(yǔ)言描述“使薄板平衡”顯得略微抽象，若將背景設(shè)置為一個(gè)真實(shí)情境，以更加彰顯新穎的命題思路，這樣可讓學(xué)生在實(shí)踐中體會(huì)重心的概念，就更能體現(xiàn)素養(yǎng)的發(fā)展水平。

［參考文獻(xiàn)］

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