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        怎樣由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式

        2022-11-30 14:16:22王霞瑤
        關(guān)鍵詞:關(guān)系式倒數(shù)式子

        王霞瑤

        由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式問題比較常見,常以選擇題、填空題出現(xiàn).此類問題中的遞推關(guān)系式多種多樣,因而解答此類問題的關(guān)鍵是合理變形遞推關(guān)系式.本文結(jié)合例題介紹三個(gè)求數(shù)列通項(xiàng)公式的技巧.

        一、累加

        累加,顧名思義是指將多個(gè)式子一起相加.若已知的遞推關(guān)系式形如an+1-an=f(n),則可通過累加來求數(shù)列的通項(xiàng)公式.分別令n=1,2,3,…,n,再將這n個(gè)式子累加,即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

        一般地,an-an-1=f(n)只滿足n≥2的情形,因此通過累加,求得的數(shù)列通項(xiàng)公式只滿足n≥2的情形,需對(duì)n=1的情況單獨(dú)進(jìn)行討論.

        二、累乘

        對(duì)于形如的數(shù)列遞推關(guān)系式,需將n=1,2,3,…,n時(shí)的式子累乘,那么相鄰兩項(xiàng)的分子、分母相互約分,即可得an的表達(dá)式,進(jìn)而得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

        三、構(gòu)造輔助數(shù)列

        對(duì)于形如等的遞推關(guān)系式,在求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí),往往要在遞推式的左右同時(shí)除以一個(gè)常數(shù)、取倒數(shù),將其變形為的形式,然后引入待定系數(shù)λ,將其變形為,從而構(gòu)造出輔助數(shù)列,再根據(jù)等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解.

        該遞推關(guān)系式為分式,于是在其左右取倒數(shù),將其轉(zhuǎn)化為這樣便構(gòu)造出等差數(shù)列,只需根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.

        由此可見,由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式,需先辨別遞推關(guān)系式的形式,如等,然后采用與之相應(yīng)的技巧,如累乘、累加、構(gòu)造輔助數(shù)列來進(jìn)行求解.

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