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        三類與三角形有關(guān)的最值問題的解法

        2022-11-30 23:12:19陳衛(wèi)衛(wèi)
        關(guān)鍵詞:三邊余弦定理關(guān)系式

        陳衛(wèi)衛(wèi)

        與三角形有關(guān)的最值問題具有較強的綜合性,不僅考查了三角形的性質(zhì)、周長公式、面積公式、正弦定理、余弦定理、勾股定理,還考查了三角函數(shù)的定義、性質(zhì)、圖象以及基本不等式和函數(shù)的性質(zhì)等.對于此類較為復(fù)雜的最值問題,我們該如何下手呢?下面結(jié)合實例來探討.

        一、與三角形的角有關(guān)的最值問題

        與三角形的角有關(guān)的最值問題,通常要求根據(jù)已知條件,求某個角的最大、最小值.求解此類問題,需熟練運用等邊對等角,等角對等邊,大邊對大角,大角對大邊,鈍角為三角形的最大角等知識,找到最大的角.在解題時,需先運用正余弦定理將題目中的邊角關(guān)系統(tǒng)一,然后將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個角的三角函數(shù)式,再利用三角函數(shù)的單調(diào)性和有界性來求得最值.值得注意的是,三角形中的角的范圍為(0,180°).

        例1.已知三角形的三邊長分別為2a+3,a2+3a+3,a2+2a(a>0),求這個三角形的最大角.

        解:經(jīng)比較可知,三角形的最大邊為a2+3a+3,

        所以最大角為120°.

        解答本題,需先根據(jù)三角形三邊的大小關(guān)系確定三角形的最大角,然后利用余弦定理求角的余弦值.

        二、與三角形的邊有關(guān)的最值

        求解與三角形的邊有關(guān)的最值問題,首先要運用正弦定理將題目中的邊角關(guān)系統(tǒng)一,把目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于三邊或三角的函數(shù)式,然后利用三角函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性和有界性,基本不等式等來求得最值.

        該題中給出的已知關(guān)系式和目標(biāo)式均較為復(fù)雜,需首先根據(jù)正余弦定理將已知關(guān)系式化簡,確定角B、角C之間的關(guān)系,然后再次運用正余弦定理,將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于角C的三角函數(shù)式,最后根據(jù)正弦函數(shù)的有界性和基本不等式求得最值.

        三、與三角形的面積有關(guān)的最值

        求解與三角形面積有關(guān)的最值問題,需熟練掌握三角形的面積公式為;×底×高:(r為內(nèi)切網(wǎng)的半徑).在解題時,需首先根據(jù)已知關(guān)系式的特征,利用正余弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化,以便求得三角形面積的表達(dá)式,最后利用三角函數(shù)的有界性和單調(diào)性求出最值.

        例3.已知圓O的半徑為R,△ABC為圓O的內(nèi)接三角形,若2R(sin2A-sin2C)=(√2a-b)sinB,求△ABC面積的最大值.

        在求三角形面積的最值時,往往要根據(jù)已知的關(guān)系式,選擇合適的三角形面積公式.一般地,若已知關(guān)系式中只含有三邊,則需選擇公式×底×高;若已知關(guān)系式中含有角的三角函數(shù)式,則需運用公式;若已知關(guān)系式中涉及三角形的內(nèi)切網(wǎng)的半徑,則需選擇公式.最后利用三角函數(shù)的有界性求三角形面積的最大值.

        雖然解答與三角形的角、邊、面積有關(guān)的最值問題涉及的知識面廣,命題形式多變,但是同學(xué)們只要能熟練運用正余弦定理進行邊角互化,根據(jù)目標(biāo)式的特點,靈活運用函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式來求最值,便可順利解題.

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