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        2022-11-30 18:30:24李秋香
        關(guān)鍵詞:變形利用

        李秋香

        若a、b>0,則a+b≥2√ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立,該式稱為基本不等式.基本不等式是解答最值問題的重要工具,在解答最值問題、參數(shù)的取值范圍問題、恒成立問題中應(yīng)用廣泛,在運用基本不等式求最值時,往往要把握三個條件:(1)一正.即兩個式子均為正的;(2)二定.當(dāng)兩式的和為定值時,其積取最大值;當(dāng)兩式的積為定值時,其和取最小值;(3)三相等.即當(dāng)且僅當(dāng)兩式相等時,等號成立.一般地,很多同學(xué)能把握第一、三個條件,但對于第二個條件,卻很難把握,不知如何配湊出兩式的和或積.下面結(jié)合實例來談一談基本不等式的兩個配湊技巧.

        一、通過分離,配湊出基本不等式

        若目標式為分式,且分子的最高次數(shù)高于分母的最高次數(shù),則可考慮通過分離來配湊基本不等式.一般地,可通過添項、減項、湊系數(shù)、拆項的方式,將分子配湊成分母的倍數(shù),使整式、分式分離,將其轉(zhuǎn)化為形如的形式.只需使分母為正數(shù),便可利用基本不等式求得最值.

        該目標式為分式,于是通過分離整式、分式,將其變形為的形式,而為定值,于是利用基本不等式就能求出最小值.

        二、通過換元,配湊出基本不等式

        有些目標式較為復(fù)雜,無法直接運用基本不等式來求得最值,此時可通過換元來配湊出兩式的和或積,為運用基本不等式創(chuàng)造條件.可將某個式子用一個新元替換,通過等量代換,得到關(guān)于新元的目標式,再將其變形為兩式的和或積的形式,便可利用基本不等式求得最值.

        該目標式較為復(fù)雜,需根據(jù)已知關(guān)系式,將其變形,于是令t=b+l,便可得到關(guān)于t的式子:,該式中含有兩式t、之和,其積為定值,即可運用基本等式求得最值.

        有時可將已知條件進行適當(dāng)?shù)淖冃?,使其等于一個常數(shù),便可通過常量代換,配湊出兩式的和或積,利用基本不等式求得最值.

        將“1”替換為變量,并代人目標式中,便可配湊出兩式的和,且兩式的積為定值,則可利用基本不等式求最值.在求得最值時,要判斷等號的情況是否成立.

        同學(xué)們在求最值時,要明確變量的個數(shù),分析所求式子與已知等式的結(jié)構(gòu)特點,合理進行分離、換元,配湊出兩式的和或積,并使其一為定值,以便運用基本不等式順利求得最值.

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