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2022-11-30 18:30:24李秋香
語數(shù)外學(xué)習(xí)·高中版上旬 2022年9期
李秋香
若a、b>0，則a+b≥2√ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立，該式稱為基本不等式．基本不等式是解答最值問題的重要工具，在解答最值問題、參數(shù)的取值范圍問題、恒成立問題中應(yīng)用廣泛，在運用基本不等式求最值時，往往要把握三個條件：（1）一正．即兩個式子均為正的；（2）二定．當(dāng)兩式的和為定值時，其積取最大值；當(dāng)兩式的積為定值時，其和取最小值；（3）三相等．即當(dāng)且僅當(dāng)兩式相等時，等號成立．一般地，很多同學(xué)能把握第一、三個條件，但對于第二個條件，卻很難把握，不知如何配湊出兩式的和或積．下面結(jié)合實例來談一談基本不等式的兩個配湊技巧．
一、通過分離，配湊出基本不等式
若目標式為分式，且分子的最高次數(shù)高于分母的最高次數(shù)，則可考慮通過分離來配湊基本不等式．一般地，可通過添項、減項、湊系數(shù)、拆項的方式，將分子配湊成分母的倍數(shù)，使整式、分式分離，將其轉(zhuǎn)化為形如的形式．只需使分母為正數(shù)，便可利用基本不等式求得最值．
該目標式為分式，于是通過分離整式、分式，將其變形為的形式，而為定值，于是利用基本不等式就能求出最小值．
二、通過換元，配湊出基本不等式
有些目標式較為復(fù)雜，無法直接運用基本不等式來求得最值，此時可通過換元來配湊出兩式的和或積，為運用基本不等式創(chuàng)造條件．可將某個式子用一個新元替換，通過等量代換，得到關(guān)于新元的目標式，再將其變形為兩式的和或積的形式，便可利用基本不等式求得最值．
該目標式較為復(fù)雜，需根據(jù)已知關(guān)系式，將其變形，于是令t=b+l，便可得到關(guān)于t的式子：，該式中含有兩式t、之和，其積為定值，即可運用基本等式求得最值．
有時可將已知條件進行適當(dāng)?shù)淖冃?，使其等于一個常數(shù)，便可通過常量代換，配湊出兩式的和或積，利用基本不等式求得最值．
將“1”替換為變量，并代人目標式中，便可配湊出兩式的和，且兩式的積為定值，則可利用基本不等式求最值．在求得最值時，要判斷等號的情況是否成立．
同學(xué)們在求最值時，要明確變量的個數(shù)，分析所求式子與已知等式的結(jié)構(gòu)特點，合理進行分離、換元，配湊出兩式的和或積，并使其一為定值，以便運用基本不等式順利求得最值．
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一、通過分離，配湊出基本不等式
若目標式為分式，且分子的最高次數(shù)高于分母的最高次數(shù)，則可考慮通過分離來配湊基本不等式．一般地，可通過添項、減項、湊系數(shù)、拆項的方式，將分子配湊成分母的倍數(shù)，使整式、分式分離，將其轉(zhuǎn)化為形如的形式．只需使分母為正數(shù)，便可利用基本不等式求得最值．
該目標式為分式，于是通過分離整式、分式，將其變形為的形式，而為定值，于是利用基本不等式就能求出最小值．
二、通過換元，配湊出基本不等式
有些目標式較為復(fù)雜，無法直接運用基本不等式來求得最值，此時可通過換元來配湊出兩式的和或積，為運用基本不等式創(chuàng)造條件．可將某個式子用一個新元替換，通過等量代換，得到關(guān)于新元的目標式，再將其變形為兩式的和或積的形式，便可利用基本不等式求得最值．
該目標式較為復(fù)雜，需根據(jù)已知關(guān)系式，將其變形，于是令t=b+l，便可得到關(guān)于t的式子：，該式中含有兩式t、之和，其積為定值，即可運用基本等式求得最值．
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將“1”替換為變量，并代人目標式中，便可配湊出兩式的和，且兩式的積為定值，則可利用基本不等式求最值．在求得最值時，要判斷等號的情況是否成立．
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