文/ 廣州市西關培英中學 蘇進強

廣州市天河外國語學校 陳陽彩

《普通高中數(shù)學課程標準》（2017 年版）明確提出了六個數(shù)學核心素養(yǎng)，包括數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析，給出了每個素養(yǎng)的內涵、價值、表現(xiàn)和水平，設置了基于數(shù)學核心素養(yǎng)的“學業(yè)質量標準”。數(shù)學核心素養(yǎng)的評價形式可以是多樣化的，除了傳統(tǒng)的紙筆測驗之外，還可以采用課堂活動、開放式活動中的表現(xiàn)、課內外作業(yè)等評價形式。本文結合解三角形的應用舉例的課堂活動評價方式，滲透數(shù)學建模、直觀想象和數(shù)學運算的數(shù)學核心素養(yǎng)能力。

問題一：河流的兩岸上分別有A、B 兩點，測量工作者位于河岸B 的同側，由于實際情況，河岸另一邊的A處無法到達。請問如何設計方案，求A、B 兩點間距離。提供可用的測量工具有測角儀和測距儀（需要兩端點都能到達）。

分析：將實際問題轉化為數(shù)學問題，建立合適的數(shù)學模型來求解。此處引導學生利用可測量的工具在點B 的同側選定一點C，測量BC 的距離和∠ABC、∠ACB，從而建立數(shù)學模型。

數(shù)學模型1：在ΔABC 中，已知BC ＝a，∠B ＝β，∠C＝α，求邊AB 的長。

分析：這是簡單的解三角形問題，直接由正弦定理可求。

小結：數(shù)學模型1 由于構造的三角形的兩邊AB，AC 均不可直接測量，故只能尋求構造已知兩角及一邊的三角形，這是一種測量不可到達點的距離的方法，讓學生想象實際可能的測量條件限制，例如BC 實際上可能在一條容易測量的道路上，而近旁則不宜實施測量，體現(xiàn)了學生直觀想象的數(shù)學素養(yǎng)能力。

問題二：如果A、B 都在河流的同側，而測量者在對岸，如何設計一種方案，使得測量者不用過對岸也能求出A、B 兩點間距離。

分析：在測量者所在位置取一點C，由A、B、C 構建三角形ΔABC，觀測者可以測量∠ACB ＝α。但在ΔABC中只有角∠ACB 已知，是不能求邊AB 的。根據(jù)解三角形理論，需要已知三角形ΔABC 中的三個要素，且其中至少一個要素是邊。如果采取數(shù)學模型1 的測量方法分別求AC、BC，再結合已知角α，則AB 可求。所以，可以在河流點C 的同側分別取兩點D、E，結合原來的三個點A、B、C 構建兩個三角形ΔACD、ΔBCE，分別在ΔACD、ΔBCE 利用正弦定理求AC 和BC。

數(shù)學模型2：在平面五邊形ABCDE 中，已知CD ＝a，CE＝b，∠ACB，∠ACD，∠ADC，∠BCE，∠BEC 分別為α，α1，α2，β1，β2，求線段AB 的長。

AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosα ＝＋·cosα

所以

小結：由模型1 可知，A、B 兩點中當有一點A 不可到達，求AB 的長時，可以在另一點B 處構造可求線段BC，得到ΔABC，度量∠ABC、∠ACB，即可解這個三角形。由此引導學生分別構造兩個三角形去求AC、BC 的長，在學生的最近發(fā)展區(qū)內培養(yǎng)學生的知識遷移能力，進行觀察、實驗，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模和數(shù)據(jù)運算的數(shù)學素養(yǎng)。在模型2 中，實際測量中取了三個不同的點C、D、E，而且需要測量的量較多，需要進一步將模型優(yōu)化。

在測量者所在河岸邊選定兩點C、D，結合A、B 兩點構建平面四邊形ABCD，可以利用儀器測量CD 的長與∠ACB、∠ACD、∠BDC、∠BDA，建立如下數(shù)學模型。

數(shù)學模型3：在平面四邊形ABCD 中，已知CD ＝a，∠ACB＝α1，∠ACD＝α2，∠BDC＝β1，∠BDA＝β2，求線段AB 的長。

分析：在平面四邊形ABCD 中求AB 的長，需要解與AB 邊有關的三角形ΔABC 或ΔABD，但這兩個三角形中都只是已知一個角，無法直接求解AB，因此需要借助其他三角形先求出更多的邊或角。

同理，在ΔACD，利用正弦定理求得

因此，在ΔABD 中，利用余弦定理得，

AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcosβ2＝＋·cosβ2

從而

小結：在實際測量中，既要考慮數(shù)學模型的可操作性，也要兼顧計算，對建立的數(shù)學模型進行優(yōu)化。數(shù)學模型3是在模型2 的基礎上優(yōu)化而來，既減少了要測量的數(shù)據(jù)，也滿足模型的可操作性，符合實際的要求。從多個角度分析問題，結合解三角形中的正弦定理、余弦定理，構建不同的解三角形模型，有利于培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維、創(chuàng)新能力，凸顯了數(shù)學抽象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

本文運用3 個數(shù)學模型構建高效課堂，其中數(shù)學建模的主要步驟有：

（1）理解問題的實際背景，從現(xiàn)實對象中提取信息；（2）建立合適的數(shù)學模型，本文是建立合適的解三角形模型；（3）利用正弦定理或余弦定理求解三角形模型；（4）將模型的解還原為對現(xiàn)實對象的解答。

數(shù)學建模是一種數(shù)學的思考方法，是運用數(shù)學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”實際問題的一種強有力的數(shù)學手段。在中學階段，選擇比較有代表性的實際問題開展數(shù)學建模活動，不僅讓學生進一步鞏固所學知識，同時也能提高學生分析問題和解決實際問題的能力以及用數(shù)學語言表達實際問題的能力，增強學生應用數(shù)學的意識。本文將解三角形的數(shù)學模型用于解決測量距離的問題，利用這些實際背景和需要，使學生認識到學習解三角形知識的必要性，并能應用正弦定理和余弦定理建立解三角形的模型，解決實際測量中的距離問題，培養(yǎng)學生數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)能力。