江后國(guó)

（合肥一中教育集團(tuán)北城分校 安徽合肥 231100）

引言

GeoGebra=Geometry（幾何）+Algebra（代數(shù)），同時(shí)具備了處理幾何繪圖和代數(shù)運(yùn)算的功能，是一套包含處理幾何、代數(shù)、微積分、概率統(tǒng)計(jì)等功能的動(dòng)態(tài)軟件，是輔助數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)秀軟件，尤其對(duì)于高中數(shù)學(xué)，因此在當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中逐步得到深入使用，有著更高的探討價(jià)值。

一、GeoGebra軟件在高中數(shù)學(xué)“協(xié)作式學(xué)習(xí)”教學(xué)中的應(yīng)用優(yōu)勢(shì)分析

GeoGebra軟件的優(yōu)點(diǎn)主要集中如下：完全免費(fèi)；有電腦版、網(wǎng)頁(yè)版、手機(jī)版，更加友好，容易操作；幾何屬性多，可以進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析、3D繪圖；有輸入框，使用者可以使用、下載、修改與發(fā)布軟件的可執(zhí)行程序及程序源代碼[1]。GeoGebra軟件的主要功能包括：第一，作圖編輯。這是它的主要功能，包含平面作圖、和立體作圖。第二，解題驗(yàn)證，比如定點(diǎn)問題、零點(diǎn)問題、取值區(qū)間問題等等。第三，動(dòng)態(tài)導(dǎo)出，制作素材，隨時(shí)發(fā)送、隨時(shí)演示。

GeoGebra對(duì)于學(xué)生而言，不僅可以激發(fā)他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、豐富學(xué)習(xí)方式，還可以增強(qiáng)課堂參與度和理論聯(lián)系實(shí)際的能力[2]。對(duì)于老師而言，GeoGebra不僅可以優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式、提高工作效率，還可以促進(jìn)教師不斷學(xué)習(xí)、不斷創(chuàng)新，從而為學(xué)生帶來更新、更豐富、更實(shí)用的內(nèi)容。學(xué)生在耳濡目染之下，最終將這種終身學(xué)習(xí)和不斷追求進(jìn)步的精神內(nèi)化于心，外化于行。GeoGebra描點(diǎn)快、畫圖快，避免進(jìn)行重復(fù)工作，畫圖更精準(zhǔn)，為探究性質(zhì)提供了有利條件；讀點(diǎn)坐標(biāo)更精準(zhǔn)，驗(yàn)證做題的準(zhǔn)確性、驗(yàn)證點(diǎn)坐標(biāo)與解析式方程解的關(guān)系、延伸了學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)容、拓展了學(xué)習(xí)的過程、豐富了學(xué)生學(xué)習(xí)的手段；GeoGebra圖形計(jì)算器是學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室，學(xué)生通過動(dòng)手操作，主動(dòng)探究，發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，提高了學(xué)習(xí)興趣。

二、基于GeoGebra軟件的高中數(shù)學(xué)“協(xié)作式學(xué)習(xí)”教學(xué)主要環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)分析

1.協(xié)作式學(xué)習(xí)小組的提前劃分

協(xié)作式學(xué)習(xí)教學(xué)課堂的展開，需要提前完成學(xué)習(xí)小組的劃分。在教學(xué)實(shí)踐中，要求教師要切實(shí)參考學(xué)生以往的數(shù)學(xué)成績(jī)、性格特點(diǎn)等因素，完成協(xié)作式學(xué)習(xí)小組的合理分配。在此過程中，需要遵循的原則主要如下：第一，互補(bǔ)原則。教師要安排數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力較弱的學(xué)生共同組建起學(xué)習(xí)小組，保證小組內(nèi)各個(gè)學(xué)生之間能夠?qū)崿F(xiàn)優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，形成“幫扶式”學(xué)習(xí)小組。第二，均等原則。將學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力維持在中等水平的學(xué)生劃分為一個(gè)小組，組建起“促進(jìn)式”學(xué)習(xí)小組。在此過程中，教師還要對(duì)學(xué)生使用GeoGebra軟件的能力水平進(jìn)行充分考量，結(jié)合對(duì)學(xué)生使用該軟件能力的調(diào)查，完成小組劃分，保證所有學(xué)習(xí)小組內(nèi)至少存在一位軟件使用能手。在此基礎(chǔ)上，教師還要對(duì)學(xué)生表達(dá)能力進(jìn)行考量，確保所有小組內(nèi)均包含表達(dá)能力較弱以及表達(dá)能力較強(qiáng)的學(xué)生[3]。

一般情況下，單個(gè)學(xué)習(xí)小組的人數(shù)需要維持在五人及以下，以此保證學(xué)生能夠在組內(nèi)實(shí)現(xiàn)充分交流與溝通。需要注意的是，當(dāng)學(xué)生熟悉這種教學(xué)方式之后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生展開自行分組的操作，讓學(xué)生掌握方法，知曉內(nèi)涵，不拘泥于形式展開協(xié)作式學(xué)習(xí)。

2.組織學(xué)生展開自主學(xué)習(xí)研究

教師要引導(dǎo)學(xué)生自主展開教材閱讀，并探究GeoGebra數(shù)學(xué)對(duì)象，對(duì)待學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)新概念形成初步認(rèn)知。在此過程中，教師應(yīng)要求學(xué)生結(jié)合教師提前準(zhǔn)備的導(dǎo)學(xué)單以及GeoGebra課件，完成對(duì)課堂學(xué)習(xí)內(nèi)容的自主學(xué)習(xí)與探索。在傳統(tǒng)教學(xué)模式下，學(xué)生展開自主探究學(xué)習(xí)所面對(duì)的阻礙主要為教學(xué)對(duì)象不直觀、自學(xué)過程中反饋、較少、學(xué)生之間缺少互動(dòng)等等，導(dǎo)致學(xué)生針對(duì)一些數(shù)學(xué)概念存在理解錯(cuò)誤的問題，或是難以全面理解相關(guān)知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容。而在基于GeoGebra軟件的“協(xié)作式學(xué)習(xí)”教學(xué)模式下，由于教師提供GeoGebra互動(dòng)課件，所以學(xué)生能夠直接利用GeoGebra軟件完成互動(dòng)性更強(qiáng)、直觀性更為明顯的自主學(xué)習(xí)，促使學(xué)生的自學(xué)興趣以及實(shí)際自學(xué)研究成效均表現(xiàn)出明顯提升的發(fā)展趨勢(shì)。在此過程中，學(xué)生能夠?qū)Υ龑W(xué)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行擁有全面性與直觀性的了解，針對(duì)不理解的地方也能夠形成更為明確的視覺印象，從而達(dá)到規(guī)避盲目聽課問題發(fā)生的效果。

例如，在人教版高中數(shù)學(xué)“平面向量的分解及加減運(yùn)算的坐標(biāo)表示”相關(guān)知識(shí)點(diǎn)相關(guān)內(nèi)容教學(xué)中，教師可以在自主研學(xué)階段為學(xué)生提供GeoGebra課件，對(duì)向量如何分解、各分解后向量的其他任意線性組合向量等進(jìn)行描述，促使學(xué)生針對(duì)向量分解的唯一性進(jìn)行理解與探索。在進(jìn)行課件發(fā)送期間，教師需要對(duì)該課件的使用進(jìn)行簡(jiǎn)單描述，引導(dǎo)學(xué)生利用課件以及GeoGebra對(duì)圖形對(duì)象展開探索，熟悉平面向量的分解操作。依托這樣的方式以及軟件的互動(dòng)探索實(shí)踐，學(xué)生能夠直觀了解向量分解過程，并形成動(dòng)態(tài)視覺圖像，進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)向量分解這一概念的理解，提升學(xué)生自主學(xué)習(xí)研究的現(xiàn)實(shí)成效[4]。

3.鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行深入探討交流

在討論交流階段，教師要引導(dǎo)學(xué)生在將自主學(xué)習(xí)階段的成果進(jìn)行展示，以軟件以及語言配合紙筆作為交流媒介，促使所有學(xué)生主動(dòng)參與探討交流，讓學(xué)生全面展現(xiàn)各自的思維方式，主動(dòng)進(jìn)行問題提出、探索、質(zhì)疑以及解決。在此過程中，教師可以向?qū)W生提出問題，并鼓勵(lì)學(xué)生在小組內(nèi)完成探討解決；針對(duì)一些單個(gè)小組無法解決的問題，可以引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)合其他小組共同完成討論，或是在教師的引導(dǎo)下，在班級(jí)內(nèi)探討與講解。此時(shí)，教師要著重維護(hù)學(xué)生之間的互助與協(xié)作，著重鼓勵(lì)學(xué)生展開自主思考與主動(dòng)性表達(dá)，促使學(xué)生深入理解知識(shí)點(diǎn)，并實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生探究能力表達(dá)能力的更好培養(yǎng)。

在這一階段，教師可以投放基于數(shù)學(xué)概念的GeoGebra課件，同時(shí)新增可以支持學(xué)生展開探討交流的習(xí)題課件例題課件，方便學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)成果進(jìn)行深化，引導(dǎo)學(xué)生在軟件上嘗試?yán)酶鞣N操作與互動(dòng)，了解習(xí)題、解答習(xí)題。

4.帶領(lǐng)學(xué)生歸納總結(jié)所學(xué)知識(shí)

在鞏固歸納環(huán)節(jié)，教師主要完成對(duì)學(xué)生遺漏、誤解等問題的有效解決，強(qiáng)調(diào)歸納點(diǎn)評(píng)知識(shí)點(diǎn)，促使概念系統(tǒng)化。實(shí)踐中，依托GeoGebra課件向?qū)W生提供容易發(fā)生錯(cuò)誤或是不規(guī)范的地方，并結(jié)合實(shí)例進(jìn)行深入講解，引導(dǎo)學(xué)生自主輸入GeoGebra命令，完成數(shù)學(xué)對(duì)象的構(gòu)建。針對(duì)一些難以進(jìn)行理解的概念與方法，可以利用GeoGebra從不同角度完成解讀，并歸納總結(jié)要點(diǎn)內(nèi)容。在教師進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)講解、歸納的過程中，學(xué)生可以依托與該軟件之間的互動(dòng)，完成軟件上學(xué)習(xí)對(duì)象的自主操作，從而達(dá)到鞏固升華知識(shí)點(diǎn)、完成學(xué)習(xí)查缺補(bǔ)漏的成效。需要注意的是，在進(jìn)行課堂效果檢測(cè)以及布置作業(yè)的過程中，教師不應(yīng)當(dāng)使用GeoGebra軟件。

三、基于GeoGebra軟件的高中數(shù)學(xué)“協(xié)作式學(xué)習(xí)”教學(xué)實(shí)踐要點(diǎn)分析

1.保證學(xué)生能夠熟練使用GeoGebra軟件

在使用GeoGebra軟件展開高中數(shù)學(xué)“協(xié)作式學(xué)習(xí)”教學(xué)之前，教師必須要讓學(xué)生學(xué)會(huì)GeoGebra軟件的基本使用操作。雖然，GeoGebra軟件簡(jiǎn)單易學(xué)，但是對(duì)于一般高中學(xué)生而言，對(duì)其基本使用功能進(jìn)行掌握也需要一段時(shí)間。基于這樣的情況，教師可以在復(fù)習(xí)課上嘗試引入GeoGebra軟件展開教學(xué)，通過教師提供所復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)相關(guān)的一些例子，以及針對(duì)相應(yīng)軟件的簡(jiǎn)單操作展開講解，促使學(xué)生逐步了解熟悉GeoGebra軟件的基本使用操作，避免對(duì)學(xué)習(xí)進(jìn)度產(chǎn)生較大負(fù)面影響的同時(shí)，也使得學(xué)生切實(shí)掌握該軟件的基本使用功能。依托這種復(fù)習(xí)課的多次展開，學(xué)生初步了解并基本熟悉GeoGebra軟件的使用。此時(shí)，教師可以在后續(xù)的新知識(shí)點(diǎn)教學(xué)過程中，在“協(xié)作式學(xué)習(xí)”課堂內(nèi)逐步引入GeoGebra軟件[5]。這時(shí)，需要教師提前完成對(duì)所需GeoGebra課件的準(zhǔn)備，確保學(xué)生能夠?qū)⒏嗟膶W(xué)習(xí)精力投放在數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)方面，而不是熟悉軟件操作方面。另外，在展開與GeoGebra軟件的高中數(shù)學(xué)“協(xié)作式學(xué)習(xí)”教學(xué)實(shí)踐中，教師選擇切入的時(shí)機(jī)和融合度特別重要，如果學(xué)生通過GeoGebra軟件輔助探索獲得清晰的認(rèn)知，那么輸入大腦信息的清晰度也是很高的，將來解決問題輸出也會(huì)是有很高的清晰度，從而達(dá)到更好提升高中數(shù)學(xué)“協(xié)作式學(xué)習(xí)”教學(xué)質(zhì)量水平的效果。

2.優(yōu)化搭建GeoGebra在線數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室

GeoGebra在線數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室是基于GeoGebra數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)開發(fā)的高中數(shù)學(xué)探究實(shí)驗(yàn)室。實(shí)驗(yàn)室使用數(shù)學(xué)軟件GeoGebra制作數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課件和Applet小程序，模擬數(shù)與形的變化，通過“直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證”來達(dá)成實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)。實(shí)踐中，相關(guān)教師需要依托GeoGebra平臺(tái)，精心搭建在線數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室，以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)帶動(dòng)知識(shí)的生成和應(yīng)用，用“協(xié)作式學(xué)習(xí)”的教學(xué)方式組織教學(xué)，探索GeoGebra數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與探究學(xué)習(xí)的整合。課程集問題系列、實(shí)驗(yàn)引導(dǎo)、實(shí)驗(yàn)小程序（Applet）、動(dòng)畫演示為一體，在線數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)經(jīng)過科學(xué)設(shè)計(jì)后能夠?qū)崟r(shí)監(jiān)測(cè)并記錄學(xué)生的操作情況，可根據(jù)學(xué)生的具體情況開展前測(cè)、實(shí)驗(yàn)操作、后測(cè)，生成個(gè)性化的數(shù)據(jù)報(bào)告，教師可根據(jù)數(shù)據(jù)開展個(gè)性化指導(dǎo)。

通過學(xué)習(xí)GeoGebra的使用以及開展相關(guān)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)活動(dòng)，學(xué)生有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程，大大增加了數(shù)學(xué)的趣味性。教師在線數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室將抽象的數(shù)學(xué)問題直觀呈現(xiàn)給學(xué)生，能夠?yàn)閿?shù)學(xué)學(xué)習(xí)注入了活力，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，加深了對(duì)知識(shí)的理解和應(yīng)用。學(xué)習(xí)GeoGebra數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)不僅可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力、信息技術(shù)應(yīng)用能力，更能鍛煉學(xué)生的邏輯思維和探究能力。教師應(yīng)當(dāng)持續(xù)充實(shí)完善GeoGebra在線數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室，將其應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維、提升數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力、提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

3.著重維護(hù)教學(xué)中GeoGebra軟件使用的合理性

誠(chéng)然，應(yīng)用 GeoGebra 軟件展開教學(xué)有著較大的優(yōu)勢(shì)，但是在實(shí)際的教學(xué)實(shí)踐中，教師要避免盲目使用 GeoGebra軟件，著重把握以下注意事項(xiàng)：

第一，選擇是否用GeoGebra輔助教學(xué)要根據(jù)教學(xué)目標(biāo)而定，脫離了教學(xué)目標(biāo)，微課教學(xué)也就失去了意義。在內(nèi)容選擇上，教師可根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的類型選擇是否利用微課教學(xué)。如在數(shù)學(xué)史方面，傳統(tǒng)的課堂教學(xué)并不能起到很好的培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)態(tài)度與責(zé)任而良好的微課卻能夠觸發(fā)學(xué)生的心靈。在教學(xué)目標(biāo)上，往往有側(cè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，對(duì)于這一部分，教師可根據(jù)實(shí)際需要來自行決定是否利用GeoGebra輔助教學(xué)。

第二，用GeoGebra輔助教學(xué)起輔助作用，而不能完全替代教學(xué)。用GeoGebra輔助教學(xué)雖然有優(yōu)勢(shì)，但是一堂課的時(shí)間往往在40-45分鐘左右，而用GeoGebra輔助教學(xué)通常在10分鐘之內(nèi)，因此用GeoGebra輔助教學(xué)是課堂教學(xué)的一部分，教師切不能把一整節(jié)課都用GeoGebra輔助教學(xué)來上，導(dǎo)致失去與學(xué)生的互動(dòng)交流。

第三，用GeoGebra輔助教學(xué)要以學(xué)生為主體。課件的制作者是教師，而課件的接受者是學(xué)生，教師在設(shè)計(jì)課件時(shí)容易忽視學(xué)生的主體地位。因此，教師只有以學(xué)生為主體，用GeoGebra輔助教學(xué)才能發(fā)揮應(yīng)有的作用，教師切不能把自己當(dāng)成用GeoGebra輔助教學(xué)的觀眾，自我欣賞。

結(jié)語

綜上所述，GeoGebra在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有著較高的應(yīng)用優(yōu)勢(shì)，教師應(yīng)依托教學(xué)環(huán)節(jié)的合理設(shè)置，確保學(xué)生能夠熟練使用GeoGebra軟件，優(yōu)化搭建GeoGebra在線數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室，著重維護(hù)教學(xué)中GeoGebra軟件使用的合理性等要點(diǎn)的落實(shí)，進(jìn)而推動(dòng)了高中數(shù)學(xué)“協(xié)作式學(xué)習(xí)”課堂教學(xué)的升級(jí)。