黃煜可，閔祥偉，胡細寶，焦榮珍

(北京郵電大學 理學院，北京 100876)

一、引 言

高等工程教育在我國高等教育中占有重要的地位。深化工程教育改革、建設工程教育強國，對服務和支撐我國經濟轉型升級意義重大。工程教育專業(yè)認證是目前國際通行的最為有效的工程教育質量保障制度，其秉承“以學生為中心、以產出為導向、持續(xù)改進”的理念。

北京郵電大學(以下簡稱北郵)是教育部直屬、工業(yè)和信息化部共建的“985優(yōu)勢學科創(chuàng)新平臺”項目重點建設高校，是我國信息科技人才的重要培養(yǎng)基地。北郵的信息與通信工程、計算機科學與技術以及電子科學與技術這三個一級學科在2016年全國第四輪學科評估中被評為A類學科，其中信息與通信工程被評為A+學科。隨機數(shù)學理論是信息與通信工程、計算機科學與技術、電子科學與技術、人工智能、網絡空間安全、軟件工程等領域的重要理論基礎之一。北京郵電大學從建校起就非常重視概率系列課程體系的建設，20世紀50年代就在通信類專業(yè)開設了“概率論與隨機過程”課程，是北郵首批確定的校級重點建設的精品課程，并于2008年被評為北京市精品課程。近年來，隨著計算機水平的飛速發(fā)展和數(shù)據處理能力需求的增加，北郵又增加了“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”的教學需求。目前，這兩門課程選用的教材分別為北郵數(shù)學系概率教學組編的《概率論與隨機過程》和盛驟、謝式千、潘承毅編的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》。

二、教學改革的現(xiàn)狀綜述

課程，是保證畢業(yè)要求達成的最后一公里?？梢?，如果一線教師不行動，沒有按照中國工程教育專業(yè)認證的要求改進課程目標、內容、方法和考核，認證工作的目標將無法實現(xiàn)。概率系列課程為高等工程教育提供了隨機數(shù)學的重要理論基礎，可見在工程教育專業(yè)認證背景下概率系列課程的教學改革十分重要和迫切。

(一)文獻調研

在工程教育理念的引導下，國內的教學改革研究工作取得了豐富的成果。截至2022年4月，中國知網收錄以“工程教育認證”為主題的文章5 500余篇。其中，近五年(2017—2021年)的年度發(fā)文量分別為467、752、1 066、1 144和945篇，2022年的預測發(fā)文量更是高達1280篇。然而，這些文章主要針對工科專業(yè)課程。事實上，增加主題“數(shù)學”后，中國知網收錄的文章數(shù)量銳減為113篇。進一步的文獻調研顯示，其中絕大部分文章主要討論如何在工科專業(yè)課程教學中優(yōu)化數(shù)學內容以及數(shù)學建模課程的教學改革。涉及面向工科學生的數(shù)學類公共基礎課程的教學改革文章僅22篇，其中數(shù)學類9篇、離散數(shù)學6篇、高等數(shù)學5篇、線性代數(shù)1篇、概率論1篇。在工程教育專業(yè)認證背景下數(shù)學類公共基礎課程的教學改革尚處于迷茫期。

(二)教學改革和教學設計

章培軍等[1]總結了傳統(tǒng)數(shù)學課堂教學主要存在的問題，這些問題同樣存在于概率系列課程教學中。具體而言：從教學內容上看，內容相對陳舊；從教學安排上看，面臨學時少、內容多的困境；從教學方法上看，仍以講授模式為主；從學生情況上看，個體差異大且學習的主動性不高。這些問題與工程教育專業(yè)認證的“以學生為中心、以產出為導向、持續(xù)改進”的理念有很大差距。

教學改革通常從教學內容、教學安排、教學方法、考核方法等角度展開。其中一些研究角度已經獲得了不少被普遍認可的結論：如在教學方法方面，充分利用現(xiàn)代信息技術開展課程教學活動，注重建設和使用多媒體課件、數(shù)學軟件、慕課(massive open online courses，MOOC)、小規(guī)模限制性在線課程(small private online course，SPOC)等創(chuàng)新性教學資源，變“教師主動教”為引導“學生主動學”；在考核方法方面，將過程性考核與終結性考核相結合，合理評價學生的知識、能力與思維的發(fā)展水平。

本文則主要關注教學設計方面。以概率系列課程為例，探討如何優(yōu)化面向工科學生的數(shù)學類公共基礎課程的教學設計，以便更好地配合相關專業(yè)教學改革和工程教育專業(yè)認證，實現(xiàn)培養(yǎng)優(yōu)秀工程人才的目標。

(三) 相關院校改革經驗

盡管基于工程教育專業(yè)認證的數(shù)學類公共基礎課程教學改革的成果很少，但相關問題的研究討論很早得到了關注。北郵《電子與電氣信息類專業(yè)理工融合教育模式及課程體系的研究與實踐》項目榮獲2004年北京市教育教學成果(高等教育)一等獎。近年來，以學生為本[2]、以“理工融合”[3-5]為契機、以“案例式教學”[6]為重要特征的教學改革正在高校中如火如荼地進行，這些成果值得分析、學習和借鑒。

2003年，電子科技大學開始了“國家工科數(shù)學課程教學基地”建設[7]，強調在課程設置和內容選擇上進行整合與優(yōu)化。具體包括專業(yè)性課程與基礎性課程的整合、各基礎課程之間的整合、數(shù)學基礎課程之間的整合。2016年，電子科技大學啟動了“互聯(lián)網+”復合型精英人才培養(yǎng)計劃，積極探索學科專業(yè)之間的交叉融合，培養(yǎng)更多工程實踐能力強、創(chuàng)新能力強，具備國際競爭力的高素質復合型人才[8]。為了實現(xiàn)上述培養(yǎng)目標，電子科技大學整合了包含數(shù)學科學學院在內的7個學院的學科優(yōu)勢與優(yōu)質教學資源，實施“2+2”和“雙學位”培養(yǎng)模式。如對于第一專業(yè)為物聯(lián)網工程、計算機科學與技術、智能電網信息工程、新能源材料與器件等4個工科專業(yè)的學生，可以將數(shù)學與應用數(shù)學等3個專業(yè)之一的專業(yè)作為第二專業(yè)。

楊威等[9]以西安電子科技大學國家精品在線開放課程“實用大眾線性代數(shù)”為例，闡述了新工科背景下線性代數(shù)教學改革的思路：在教學內容改革方面，基于“成果導向”理念，從人才需求出發(fā)反向設計教學內容；從應用實例出發(fā)引出數(shù)學概念；制作與后續(xù)課程及不同專業(yè)背景相關的應用實例。

三、基于工程教育專業(yè)認證的教學設計

工程教育專業(yè)認證的通用標準中列出了12項“畢業(yè)要求”。通過優(yōu)化教學設計，概率系列課程至少可以支撐以下三項畢業(yè)要求：(1)工程知識。能夠將數(shù)學、自然科學、工程基礎和專業(yè)知識用于解決復雜工程問題。(2)問題分析。能夠應用數(shù)學、自然科學和工程科學的基本原理，識別、表達、并通過文獻研究分析復雜工程問題，以獲得有效結論。(3)終身學習。具有自主學習和終身學習的意識，有不斷學習和適應發(fā)展的能力。

教學設計優(yōu)化主要從以下兩方面進行。

(一) 修訂教學大綱，重構教學重點

對于大多數(shù)工科學生而言，數(shù)學教育的目標不是培養(yǎng)學生成為優(yōu)秀的數(shù)學人才，而是為后續(xù)的工科專業(yè)課程學習打下堅實基礎，幫助學生成為優(yōu)秀的工程人才。因此，面向工科學生的數(shù)學類公共基礎課程的教學大綱和教學設計必須響應學生所在專業(yè)的未來發(fā)展需求，能夠讓學生感受到數(shù)學思維、數(shù)學知識和數(shù)學方法在未來職業(yè)發(fā)展中的重要作用。

對比北郵概率系列課程2018年的教學大綱，2022年的教學大綱增加了很多基于工程教育專業(yè)認證的要求：課程目標需要對畢業(yè)要求指標點形成支撐，并且要可衡量、可評價；需要明確課程與所支撐的相關專業(yè)的畢業(yè)要求的對應關系，形成“培養(yǎng)標準及實現(xiàn)矩陣”。在新的教學大綱基礎上，授課教師對教學重點進行系統(tǒng)化重構。

(二) 強化應用導向，克服學用分離

概率系列課程的教學指導思想是“學以致用”。工科學生學習數(shù)學，不是為了研究數(shù)學本身，而是為了運用數(shù)學知識和數(shù)學思維在自己的專業(yè)領域進行研究和創(chuàng)新[10]。但與很多面向工科學生的數(shù)學類公共基礎課程一樣，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”“概率論與隨機過程”等概率系列課程也存在“學用分離”的痛點。理論脫離實踐，學生不知道“為什么學、學了有什么用”。教學內容強調數(shù)學的嚴謹性，例題選擇旨在幫助學生加深對數(shù)學知識點的理解，這些例題與學生所在專業(yè)的學科前沿、專業(yè)思想聯(lián)系不夠緊密，與學生關心的生活熱點聯(lián)系也不夠緊密。

在教學實踐中，從具體應用實例，特別是從本專業(yè)工程應用背景出發(fā)引入數(shù)學概念和理論，或者將這些應用案例代替?zhèn)鹘y(tǒng)的教學案例，有助于克服學用分離的痛點。培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識分析和解決復雜工程問題的能力，培養(yǎng)終身學習的能力。

四、一體兩翼、教學內容模塊化

在“學以致用”和“工程教育專業(yè)認證”的背景下，筆者提出“一體兩翼、教學內容模塊化”的教學設計整體思路?！耙惑w”指課程基礎知識與基本技能，對傳統(tǒng)教學內容做減法；“兩翼”指工程應用案例和數(shù)學研究工具，對貼合學生專業(yè)發(fā)展需求的教學內容做加法。具體如圖1所示。

圖1 “一體兩翼”的教學設計

粗略地講：“一體”，即優(yōu)化課程基礎知識與基本技能的教學，有助于課程“高質輕負”，為增加貼合學生專業(yè)發(fā)展需求的教學內容提供教學時長的保障；“兩翼”中的“工程應用案例”是基于工程教育專業(yè)認證的概率系列課程教學設計改革的關鍵；“兩翼”中的“數(shù)學研究工具”是針對不同專業(yè)對數(shù)學推導能力和數(shù)學研究工具的要求，有選擇性地增加部分數(shù)學基礎理論；“教學內容模塊化”則有助于教師根據學生學習基礎和專業(yè)發(fā)展需求，靈活調整教學內容。接下來將逐一闡述每部分內容的改革意義、改革實例、實施手段和主要困難等細節(jié)。

(一)“一體”——課程的基礎知識與基本技能

課程的基礎知識與基本技能是課程學習要求的底線，是課程教學內容的“主線劇情”。本部分教學內容以傳統(tǒng)的教師講授為主。在教師講授的過程中，需注重數(shù)學思想和知識本質的傳授，將散見于不同章節(jié)的知識點進行系統(tǒng)化重構，這樣有助于幫助學生更深刻地理解、更長久地掌握教學知識點，特別要反對“背公式套公式”和“題海戰(zhàn)術”。數(shù)學課的目的不是培養(yǎng)會背公式、會考試的學生，而是培養(yǎng)會思考、會創(chuàng)新的學生。在實際應用，特別是復雜工程問題中，數(shù)學知識不會以課本中的定理和性質的形式呈現(xiàn)，需要學生靈活運用。而靈活運用數(shù)學知識的基礎就是抓住知識點的數(shù)學本質，而非死記硬背固有公式。

1.改革意義

本部分教學設計的優(yōu)化，有三方面重要意義。

其一，教學中注重數(shù)學思想和知識本質的傳授，將知識點系統(tǒng)化重構，有助于提高學生解決實際應用，特別是復雜工程問題的能力。

其二，壓縮課程中基礎知識與基本技能的教學時間。根據學生不同專業(yè)發(fā)展需求，引入高階性、創(chuàng)新性、挑戰(zhàn)度的教學內容提供教學時長的保障。

其三，降低課程學習門檻，保證教學效果的“全員”性，即所有學生都能學會課程中最基礎的教學內容。工程教育專業(yè)認證的畢業(yè)要求是面向相關專業(yè)全體學生。

綜上所述，對傳統(tǒng)教學內容做減法，有助于課程“高質輕負”，為在數(shù)學課程中增加貼合學生專業(yè)發(fā)展需求的教學內容提供教學時長的保障。事實上，更多的時間和精力的投入通常意味著更優(yōu)秀的成績，這是教學實踐中被普遍認可的觀點。但是如前所述，面向工科學生的數(shù)學類公共基礎課程的教學目標不是培養(yǎng)學生成為優(yōu)秀的數(shù)學人才，而是為后續(xù)的工科專業(yè)課程學習打下堅實基礎，幫助學生成為優(yōu)秀的工程人才。為了提高數(shù)學的學習水平而使學生大幅度加大學習精力的投入，有可能占用學生對專業(yè)課的學習精力，不利于學生的后續(xù)發(fā)展。以北郵為例，很多卓有成效的專業(yè)課教學改革正在如火如荼地進行，學生專業(yè)課的學習強度很大。從實踐角度看，要求學生再拿出大量精力參與數(shù)學課程的教學改革并不現(xiàn)實?？梢?，通過優(yōu)化“一體”，也就是課程基礎知識與基本技能的教學，有助于課程“高質輕負”。

2.改革實例

在現(xiàn)行“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程的教材中涉及三種常用的“中心極限定理”，它們的數(shù)學記號表述都非常繁瑣，但其數(shù)學本質卻很簡單。中心極限定理研究在什么條件下，獨立隨機變量和的極限分布為正態(tài)分布。而三種常用的中心極限定理則給出了三種成立條件。掌握了這個本質，當學生在實際應用中遇到“獨立隨機變量和”時，就可以聯(lián)想到“中心極限定理”和“正態(tài)分布”。如果學生在學習過程中只是死記硬背公式，那么他們只能在看到相應的數(shù)學符號和公式時才能想到正態(tài)分布，這樣根本無法將知識點用于解決復雜工程問題。進一步地，筆者總結了幾種不同情況下“隨機變量和”的常見研究思路，即根據研究對象重構知識點，這將大大提高學生解決問題的能力。畢竟在實際應用，特別是復雜工程問題中，人們往往只能看到研究對象。

(二)“兩翼”——工程應用案例和數(shù)學研究工具

如前文所述，“兩翼”是對貼合學生專業(yè)發(fā)展需求的教學內容做加法，其中“工程應用案例”設計是基于工程教育專業(yè)認證的概率系列課程教學設計改革的關鍵。

1. “兩翼”之工程應用案例

基于工程教育專業(yè)認證的教學設計，需要堅持“以學生為中心”的理念。為了實現(xiàn)這個目標，筆者認為，教學目標和內容設計須符合學生所在專業(yè)的學科特點和學生實際水平，響應學生所在專業(yè)的未來發(fā)展需求，能夠讓學生感受到數(shù)學思維、數(shù)學知識和數(shù)學方法在未來職業(yè)發(fā)展中的重要作用。

(1)改革意義

對工程應用案例做加法是基于工程教育專業(yè)認證的概率系列課程教學設計改革的關鍵。貼合專業(yè)背景的教學例題更容易激發(fā)學生的心理共鳴和學習興趣。學生帶著問題和思考走進課堂，并通過“數(shù)學小論文”(過程性考核)等形式探索數(shù)學知識點在生活熱點和工程專業(yè)問題中的應用，學生自主學習和終身學習的意識顯著提高。

(2)改革實例

筆者根據不同專業(yè)學生的數(shù)學基礎水平和專業(yè)發(fā)展需求設計不同的教學內容。如在教學實踐中，一般通過高爾頓釘板直觀展示中心極限定理的結論，即每個小球的運動軌跡是無序的，但無序中蘊含了有序，大量小球下落最終形成優(yōu)美的鐘型曲線。根據北郵的整體教學安排，面向信息與通信工程專業(yè)學生的“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程一般在本科二年級下學期開設。而學生在本科二年級上學期的專業(yè)課“信號與系統(tǒng)”中熟練使用卷積方法研究信號的疊加。因此，對該專業(yè)學生講解中心極限定理時，可以讓學生通過逐次卷積觀察若干獨立同分布的信號如何疊加成近似服從正態(tài)分布的信號。進一步的，針對中心極限定理的應用，對計算機科學與技術專業(yè)的學生著重介紹一種基于中心極限定理的正態(tài)分布偽隨機數(shù)生成方法。這兩個應用案例正好體現(xiàn)了在數(shù)學概念引入和數(shù)學知識應用兩個方面響應學生所在專業(yè)未來發(fā)展需求的教學設計思路。

此外，網絡空間安全專業(yè)的學生在學習“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”的同時還在學習專業(yè)課“復雜網絡”。因此，作為泊松定理的應用案例，筆者講解了為什么當網絡足夠大時，ER隨機圖(Erd?s-Rényi)的度分布可以由泊松分布刻畫。數(shù)學知識與工科專業(yè)課程知識的“夢幻聯(lián)動”讓學生眼前一亮。

(3) 實施手段

由于面向工科學生的數(shù)學類公共基礎課程的授課老師一般不具備充足的工程專業(yè)背景知識，貼合學生專業(yè)發(fā)展需求的教學設計非常困難。在教學實踐中，筆者主要從三個途徑獲得教學設計(特別是工程應用案例)的靈感和理論支撐：查文獻、問學生、問專家。

其二，問學生。北京郵電大學是我國信息科技人才的重要培養(yǎng)基地，其重點優(yōu)勢學科的學生基礎好、學習能力強、學習積極性高。筆者在教學中引入過程性考核環(huán)節(jié)數(shù)學小論文，鼓勵學生結合教學知識點，給出貼近生活或者本專業(yè)學習的應用案例及解答。這些數(shù)學小論文為貼合學生專業(yè)的教學設計提供了豐富的源泉，如“信號、卷積與中心極限定理”的教學案例就是根據信息與通信工程專業(yè)學生朱勇鋼的數(shù)學小論文改編，而網絡空間安全學院學生鄧海晨關于Fermat素性檢驗和貝葉斯公式的數(shù)學小論文則形成教學論文一篇[11]。

其三，問專家。問專家，也就是向相關專業(yè)的教師，特別是后續(xù)工科專業(yè)課程的教師請教。相關專業(yè)的教師不僅可以提供教學設計思路，還會給出學生培養(yǎng)的建議，如應該加強哪些知識點以便更好地與后續(xù)工科專業(yè)課程銜接。近期，筆者還加入了北京郵電大學牽頭的電子信息類專業(yè)虛擬教研室，期待與相關專業(yè)教師進一步加強教學改革合作，助力相關專業(yè)工程教育專業(yè)認證。

(4) 主要困難

目前，工程應用案例設計主要存在兩方面困難。

其一，工科專業(yè)書籍中使用的記號與數(shù)學教材中的常用記號往往有較大差別，研究思路也存在差異。在教學設計時不能簡單的拿來用，需要從數(shù)學課程的角度重新書寫，這給教學案例設計帶來了不小的困難。然而，這項工作的意義重大，一方面可幫助學生學習如何運用數(shù)學知識分析和解決復雜工程問題，提高學生對數(shù)學課程的學習興趣；另一方面建立了以概率系列課程為例的數(shù)學類公共基礎課程與后續(xù)工科專業(yè)課程的橋梁。

其二，應用于數(shù)學類公共基礎課程教學的工程應用案例應該以數(shù)學知識點為主，不能涉及太多與課程知識點沒有直接聯(lián)系的專業(yè)知識，特別是學生尚未學到、比較陌生的專業(yè)知識。例如，極大似然估計法在人工智能算法中具有廣泛應用，但這些算法對于人工智能等專業(yè)的本科二年級學生而言還比較陌生。筆者認為，將它們直接設計為工程應用案例在課堂教學中講授并不妥當。目前，這類工程應用案例主要通過課外分級閱讀材料等形式供學有余力的學生選讀。當然，筆者也在努力探索這類工程應用案例的更優(yōu)化的設計方案。

2.“兩翼”之數(shù)學研究工具

在很多數(shù)學類公共基礎課程的教學改革研究論文中存在“淡化數(shù)學推導”的觀點。但筆者在與工科專業(yè)課程教師的溝通中發(fā)現(xiàn)，不同專業(yè)對數(shù)學推導能力和數(shù)學研究工具的要求具有較大區(qū)別。筆者在與北京郵電大學信息與通信工程等重點優(yōu)勢學科的工科專業(yè)課程的授課教師的交流中發(fā)現(xiàn)，為了讓學生更好地適應后續(xù)工科專業(yè)課程的“金課”建設、工程教育專業(yè)認證等，不僅不應該過分淡化數(shù)學推導，甚至需要補充一些現(xiàn)行工科教材中沒有涉及的數(shù)學理論知識。近年來的教學實踐顯示，這些專業(yè)的學生基礎好、學習能力強，絕大部分學生愿意并且可以完成補充知識的學習。

(1) 改革意義

嚴格來講，數(shù)學研究工具并不屬于創(chuàng)新的教學內容，它與“一體”都屬于傳統(tǒng)教學內容。其中，“一體”僅包含課程基礎知識與基本技能，其他相對較難的數(shù)學理論知識則被“淡化”。但這種“一刀切的淡化”不利于培養(yǎng)拔尖創(chuàng)新人才。因此，本部分改革旨在將不屬于最基本的教學內容但常用的數(shù)學研究工具以模塊化的形式呈現(xiàn)。授課教師可以根據學生所在專業(yè)發(fā)展需求，有針對性地“淡化”或“加強”課程中的數(shù)學理論知識。

(2) 改革實例

在教學實踐中，筆者面向絕大部分工科專業(yè)學生補充伽瑪函數(shù)這一數(shù)學工具，以幫助學生完成與正態(tài)分布和指數(shù)分布相關的幾類特殊類型積分的計算。此外，為了更好地與后續(xù)專業(yè)課“隨機信號分析”等銜接，在面向信息與通信工程專業(yè)的“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程中，補充特征函數(shù)這一在現(xiàn)行工科教材中沒有講授的數(shù)學工具。

(三) 教學內容模塊化

以概率教學組為例，數(shù)學類公共基礎課程的授課教師通常需要面向絕大部分工科專業(yè)的學生授課，而且授課專業(yè)也需要根據全校整體安排統(tǒng)一調整，這使教師面向的學生專業(yè)不固定，教師在同一個學期需要面向多個專業(yè)的學生講授課程名稱和學時完全相同的課程。

1.改革意義

考慮到數(shù)學類公共基礎課程授課教師需要面對不同的專業(yè)、學習基礎和專業(yè)發(fā)展需求的學生授課，教學內容模塊化為授課教師始終保持以“學生為中心”優(yōu)化教學設計，提供了靈活性和可操作性。模塊化的教學內容，特別是“兩翼”中的工程應用案例和數(shù)學研究工具，可以很好地形成教學資源庫，有助于教學內容的持續(xù)改進，并且具有很強的推廣價值。

2.改革實例

在某學期的教學實踐中，筆者需要同時面向“雙培計劃”學生和“英才班”學生講授課程名稱和學時完全相同的課程。其中，“雙培計劃”學生的數(shù)學基礎與北郵本校學生相比相對較弱，而“英才班”學生則是從北郵電子信息類(信息通信)的本科一年級學生中擇優(yōu)選拔?！坝⒉虐唷敝荚谥С殖鲱惏屋偷膬?yōu)秀學生更好地發(fā)揮潛能，促進拔尖創(chuàng)新人才的涌現(xiàn)。兩個教學大班的學生在數(shù)學基礎和專業(yè)發(fā)展需求方面存在較大差別。同時面向這兩類學生授課，對教師的教學能力提出了很大的挑戰(zhàn)。通過教學內容模塊化設計，筆者較好地完成了兩個教學大班的個性化教學，真正做到了以“學生為中心”優(yōu)化教學設計。具體而言：(1)在面向“雙培計劃”學生的教學實踐中，優(yōu)先保證“一體”，也就是“基礎知識與基本技能”的教學，讓學生學懂學透，再補充少量生動有趣的生活熱點和工程應用案例。這樣的教學設計可以適當降低學習門檻，避免學生因突然面對高難度的數(shù)學內容而產生畏難情緒。(2)在面向“英才班”學生的教學實踐中，筆者補充了當時設計完成的工程應用案例模塊和數(shù)學研究工具模塊。最終，兩個教學大班都取得了較好的教學效果。

五、理論框架的實踐效果

筆者從2018年開始在“一體兩翼、教學內容模塊化”的理論框架指導下推進基于學以致用和工程教育專業(yè)認證的概率系列課程教學設計改革。粗略地講，就是對傳統(tǒng)教學內容做減法，對貼合實際應用和學生專業(yè)發(fā)展需求的教學內容做加法。本節(jié)將從學生成績、學生評價和教學成果三個角度逐一展示教學改革的實踐效果。

(一)學生成績——從應試到應用

隨著改革的推進，學生的學習目標從提高考試分數(shù)逐步轉變?yōu)閷W以致用、解決實際問題。具體表現(xiàn)在兩個方面：

其一，在教學改革之初，學生最常提的問題是“這道題應該怎么做呢”“正確答案是什么呀”？隨著在課堂中引入越來越多貼合生活熱點和工程應用的案例，學生越來越深刻地感受到數(shù)學思維、數(shù)學知識和數(shù)學方法在未來生活和職業(yè)發(fā)展中的重要作用。學生主動學習、積極思考和交流互動，他們發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力大大提高?，F(xiàn)在，學生最常提的問題已經轉變?yōu)椤澳硞€生活熱點或工程應用問題是不是可以用某個數(shù)學知識點解釋呢”？這些問題看似天馬行空，但這恰恰是值得鼓勵和推廣的獨立思考、勇于創(chuàng)新的研究性學習。

其二，在過程性考核環(huán)節(jié)，要求學生在題型總結和應用案例中選擇一個撰寫數(shù)學小論文，其中應用案例又可分為生活熱點和工程應用兩類。在教學改革之初，大部分學生會選擇題型總結，因為這種題型更有助于提高考試分數(shù)?，F(xiàn)在，大部分學生會選擇更具有探索性的應用案例，嘗試運用數(shù)學知識解決實際問題，特別是貼合自身專業(yè)發(fā)展需求的工程應用問題。選題比例如圖2所示。

圖2 數(shù)學小論文選題比例變化圖

如前文所述，學生的學習目標從應試逐步轉變?yōu)閼茫趹镀谀┛荚嚪矫婊ㄙM的精力減少，這是否意味著考試成績會下降呢？事實上，學生成績箱線圖(如圖3所示)說明，隨著改革的推進，學生整體成績穩(wěn)步提高，不同學生成績差距縮小。在統(tǒng)計學中，四分位數(shù)是指把所有數(shù)值由小到大排列并分成四等份，處于三個分割點位置的數(shù)值。具體而言，所有數(shù)值中大于上四分位數(shù)、中位數(shù)和下四分位數(shù)的數(shù)值比例分別為25%、50%和75%。上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之間的距離稱為箱體長度。上邊緣是上四分位數(shù)加上1.5倍的箱體長度；而下邊緣是下四分位數(shù)減去1.5倍的箱體長度。如果數(shù)據大于上邊緣或者小于下邊緣，就稱為離群值。

圖3 學生成績箱線圖

綜上，在學生的學習目標從應試轉變?yōu)閼脮r，其考試成績穩(wěn)步提高，這個現(xiàn)象并不意外，筆者總結出四個原因：

其一，針對“一體”的改革使傳統(tǒng)教學內容“高質輕負”，有助于學生在付出的精力減少的同時，提高對數(shù)學知識點的學習效果。

其二，兩翼中的工程應用案例使學生基于“應試”的外在動力轉變?yōu)榛凇皯谩钡膬仍趧恿?。興趣是最好的老師，學生的學習積極性大大提高。

其三，兩翼中的“數(shù)學研究工具”不僅提高了學生解決實際問題的能力，也提高了學生解題的能力。

其四，現(xiàn)在的各類考試越來越反對死記硬背和題海戰(zhàn)術，重點考察考生學以致用的能力。本文提出的教學改革正好順應了新的命題趨勢，有利于學生取得好成績。

(二)學生評價——來自學生的認可

筆者在教學改革中非常重視收集學生的評價、反饋和建議，并以此作為持續(xù)改進的重要依據。在學生評價和問卷調研的各項指標中，特別是“激發(fā)學生學習熱情”“培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題能力”等指標穩(wěn)步提升。越來越多的學生認可基于工程教育專業(yè)認證的教學設計改革，并積極參與到改革活動中。

在師生互動中，學生向筆者推薦了不少工科專業(yè)書籍。教學相長，促進了“工程應用案例”的持續(xù)改進。根據學生追蹤調研和后續(xù)工科專業(yè)課程授課教師的反饋可知，基于“學以致用”和“工程教育專業(yè)認證”的概率系列課程教學設計改革對于學生的后續(xù)發(fā)展具有顯著的正向推動作用。

(三)教學成果——來自專家與同行的認可

在學以致用和工程教育專業(yè)認證思想的指導下，筆者獲得省部級教學競賽獎1次，發(fā)表教改論文2篇，指導創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)項目2項。相關教學設計改革思路得到了來自專家與同行的認可，并積累了大量的教學成果。

其一，針對“一體”的教學設計和資源建設，筆者編著了《極簡概率論與數(shù)理統(tǒng)計》并配套系列教學微課程。這是一本很薄的雙色小冊子，通過跨章節(jié)思維導圖和典型題，展示了“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程中的基礎知識與基本技能，幫助學生快速掌握課程核心內容，降低學習門檻，建立學生學習的信心。

其二，針對“兩翼”的教學設計和資源建設，筆者整理了教學資源庫，主要包括三種形式：方便教師課堂教學使用的多媒體課件、方便學生課外使用的分級閱讀材料以及教學微視頻。

這些教學成果以模塊化的形式呈現(xiàn)，可以幫助授課教師靈活調整教學內容，也可以方便地持續(xù)改進，具有很強的推廣價值。

六、工程教育專業(yè)認證與課程思政

北京郵電大學概率系列課程2022年的教學大綱修訂除了增加了很多基于工程教育專業(yè)認證的要求之外，還強調課程應堅持“立德樹人”的原則，充分發(fā)掘和運用課程蘊含的思想政治教育資源，把思想價值引領貫穿課程教學的全過程和各環(huán)節(jié)。

培養(yǎng)什么人、怎樣培養(yǎng)人、為誰培養(yǎng)人是教育的根本問題，立德樹人成效是檢驗學校一切工作的根本標準。2020年5月，《教育部關于印發(fā)〈高等學校課程思政建設指導綱要〉的通知》(教高〔2020〕3號)(以下簡稱《綱要》)指出，要堅持學生中心、產出導向、持續(xù)改進，不斷提升學生的課程學習體驗、學習效果，堅決防止“貼標簽”“兩張皮”，這與工程教育專業(yè)認證“以學生為中心、以產出為導向、持續(xù)改進”的理念一致。

同時《綱要》指出，結合專業(yè)特點分類推進課程思政建設。對于理學類專業(yè)課程：要在課程教學中把馬克思主義立場觀點方法的教育與科學精神的培養(yǎng)結合起來，提高學生正確認識問題、分析問題和解決問題的能力；要注重科學思維方法的訓練和科學倫理的教育，培養(yǎng)學生探索未知、追求真理、勇攀科學高峰的責任感和使命感。這兩項內容也與工程教育專業(yè)認證的畢業(yè)要求高度契合。

可見，基于工程教育專業(yè)認證的教學改革與基于課程思政的教學改革[12]在很多方面具有一致性，兩者可以有機融合，共同指引課程教學改革的方向。

七、總 結

本文總結了筆者在北京郵電大學概率系列課程授課過程中的教學設計理論框架和實踐效果。以此為例，探討如何優(yōu)化數(shù)學類公共基礎課程的教學設計，以便更好地配合相關工科專業(yè)教學改革和工程教育專業(yè)認證，實現(xiàn)培養(yǎng)優(yōu)秀工程人才的目標。通過文獻調研和相關院校經驗分析發(fā)現(xiàn)，基于工程教育專業(yè)認證的數(shù)學類公共基礎課程教學內容改革尚無公認的最優(yōu)方案。本文創(chuàng)新性地提出了“一體兩翼”的改革思路，將教學內容模塊化，根據學生的學習基礎和專業(yè)發(fā)展需求靈活調整教學內容。其中，“一體”指課程基礎知識與基本技能；“兩翼”指工程應用案例和數(shù)學研究工具。本文還展示了基于上述理論框架的改革成果以及工程教育專業(yè)認證與課程思政的高度契合性。筆者希望通過不斷推進和深化教學改革、持續(xù)改進、開拓進取，為基于工程教育專業(yè)認證的數(shù)學類公共基礎課程教學設計改革工作添磚加瓦。