莊 偉

（北京石油化工學(xué)院致遠學(xué)院，北京 102617）

0 引言

高等數(shù)學(xué)是本科（理工、經(jīng)管、人文）各專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，是高等本科院校教學(xué)計劃中必不可少的一門重要主干基礎(chǔ)課程。它還是服務(wù)于各專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力的有力工具。通過本課程的學(xué)習(xí)能使學(xué)生了解高等數(shù)學(xué)中的極限、導(dǎo)數(shù)與微積分等重要的基礎(chǔ)概念的背景思想，較系統(tǒng)地掌握高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、必需的基本理論和常用的運算技能，了解基本的高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用方法，為學(xué)生學(xué)習(xí)后繼課程、專業(yè)課程和分析解決實際問題奠定基礎(chǔ)。

高等數(shù)學(xué)的重要任務(wù)是將為今后學(xué)習(xí)專業(yè)基礎(chǔ)課以及相關(guān)的專業(yè)課程打下必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，為這些課程的提供必需的數(shù)學(xué)概念、理論、方法、運算技能和分析問題解決問題的能力素質(zhì)?；谂囵B(yǎng)應(yīng)用型工程師的特點，以及為適應(yīng)迅猛的社會經(jīng)濟發(fā)展，為公司企業(yè)輸送相應(yīng)層次的技術(shù)人才，注重理論聯(lián)系實際，強調(diào)對學(xué)生基本運算能力和分析問題、解決問題能力的培養(yǎng)，以努力提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)和素質(zhì)，具體來說要具有邏輯推理能力、基本運算能力、自學(xué)能力、數(shù)學(xué)建模的初步能力、數(shù)學(xué)軟件運用能力，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，從而使我們的大學(xué)生經(jīng)一到兩年的數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，在理性判斷、整體素質(zhì)，特別是數(shù)學(xué)方面的素質(zhì)能有一個明顯地提升。

在教學(xué)過程中，新時代高等數(shù)學(xué)面臨的難點：一是高等數(shù)學(xué)對絕大多數(shù)學(xué)生來說具有高度抽象性和理論性，概念和理論理解起來難，使學(xué)生存有“懼怕”心理；二是高等數(shù)學(xué)的知識點多，在學(xué)習(xí)的過程中前面所學(xué)的知識存在忘記了或不會用的現(xiàn)象，使學(xué)生對高等數(shù)學(xué)的知識無從下手，也不會用所學(xué)的知識點；三是部分學(xué)生認為“學(xué)高等數(shù)學(xué)”無用，有為了應(yīng)付考試過關(guān)不得不學(xué)的心態(tài)，致使學(xué)習(xí)提不起興趣來。這樣如何讓學(xué)生轉(zhuǎn)變觀念，不怕《高等數(shù)學(xué)》這門課程，讓絕大部分同學(xué)對該課程感興趣，使高等數(shù)學(xué)有吸引力和魅力，從而發(fā)揮《高等數(shù)學(xué)》這門課程的基礎(chǔ)與服務(wù)作用就成了我們的教學(xué)難點。

1 “比較法教學(xué)范式”的引入

比較是我們經(jīng)常使用的一種學(xué)習(xí)和思考形式，是筆者在以前的高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，比較法也是經(jīng)常用到的教學(xué)方法，但是，比較法用得比較多的是例子和算法的比較，這對學(xué)生來理解和學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)是很有幫助的，但所涉及的對概念、定理和性質(zhì)的比較是不多的。這樣我們的學(xué)生對算法和題型的比較就掌握得多些，也不感到陌生，而對概念理論的比較就涉及的少，認為概念、定理和性質(zhì)都是固定不變的，這就使我們的學(xué)生“只知其然而不知其所以然”。而現(xiàn)在筆者在近幾年的教學(xué)過程中，不但注重對學(xué)生的算法和題型的比較，而且筆者覺得對概念、定理和性質(zhì)的比較對學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)、理解高等數(shù)學(xué)的概念、定理和性質(zhì)能更上一層樓。通過對幾屆學(xué)生的調(diào)查回訪，學(xué)生覺得“比較法教學(xué)范式”是頗有收獲的。當然對算法和題型的比較仍是我們課堂講授的一個有效的手段，也是必不可少的。因此，筆者認為我們教師應(yīng)在講授的過程中把二者結(jié)合起來，即先對概念理論做比較，再對算法和題型做比較效果會更好，學(xué)生也更易接受，這樣才能使學(xué)生不但知其然，也知其所以然?？赡壳暗母叩葦?shù)學(xué)的教學(xué)中還存在注重“理論與計算”輕“教育過程”，即僅注重對概念、理論、計算方法和技巧的培養(yǎng)，而關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中能獲得什么不夠，這樣學(xué)生只能掌握知識的表面意義，不能了解數(shù)學(xué)知識背后深層次的意義。

“比較法教學(xué)范式”在這里我們分為單個知識點比較的教學(xué)模式──自己和自己的比較，和多個知識點比較的教學(xué)模式──前后不同的知識點作比較。我們的“單個知識點比較教學(xué)模式”從一開始講授高等數(shù)學(xué)就開始了。

下面是數(shù)列收斂的概念：自變量取正整數(shù)n的函數(shù)稱為數(shù)列，若其一般項的極限為一有限值a，則稱數(shù)列收斂，否則稱數(shù)列發(fā)散。數(shù)列收斂的幾何解釋為：當n充分大時，其一般項會落在值a的鄰域內(nèi)。

接著我們又給出了數(shù)列不收斂的概念：自變量取正整數(shù)n的函數(shù)稱為數(shù)列，若其一般項充分大時會趨于不同的實數(shù)a，b，…等，或當n充分大時，其一般項趨于無窮，則稱數(shù)列發(fā)散。數(shù)列發(fā)散從幾何上來看表現(xiàn)為：當n充分大時，其一般項會落在多個值a，b，…等的鄰域內(nèi)，或其一般項會跑向無窮遠。

因為課本和我們的授課內(nèi)容中數(shù)列收斂的例子是比較多的，所以就著重給同學(xué)舉了數(shù)列發(fā)散的如下的幾個例子：

（1）一數(shù)列有兩個不同的極限1和-1，符合數(shù)列發(fā)散的定義，所以數(shù)列發(fā)散；

（2）還有我們經(jīng)常碰到的三角函數(shù)，如正弦函數(shù)和余弦函數(shù)也有不同的極限，不唯一，所以也不收斂；

（3）數(shù)列的一般項會變的無限大，跑向無窮遠的情況，也不收斂。

（4）實際生活中的數(shù)列發(fā)散的例子，當學(xué)生人數(shù)很多的時候，如我們學(xué)生的學(xué)習(xí)成績的趨向就是發(fā)散的，符合正態(tài)分布的，還有節(jié)假日外出旅游的客流量的趨向也是發(fā)散的。

這樣，通過前面幾節(jié)“比較法教學(xué)范式”的引入，很多同學(xué)覺得高等數(shù)學(xué)也沒什么難的。

下面我們看多個知識點比較的教學(xué)模式──前后不同的知識點作比較。拿函數(shù)的極限和前面學(xué)過的數(shù)列的極限作比較，首先，當我們學(xué)習(xí)完函數(shù)極限的定義后，我們來和數(shù)列的極限作比較：

（1）數(shù)列的極限只有變量 趨于無窮這一種情形，即趨于無窮大；而函數(shù)的極限分 趨于某一有限值和無限 趨于無限，又分為正無窮和負無窮兩種情形；

（2）函數(shù)的極限分為由左邊逼近的左極限和由右邊逼近的右極限兩種情形，而數(shù)列極限無此情況；

（3）函數(shù)的極限存在必須是左極限等于右極限，而數(shù)列極限無此情況；

（4）函數(shù)極限既可等于此函數(shù)在該點的值，也可與函數(shù)在該點的取值無關(guān)，也與數(shù)列極限不同。

這樣，通過做多個知識點比較學(xué)生就對這兩種極限概念有了不同認識，分得清了也就會用不同的方法和理念來對待這兩種極限，錯誤會明顯減少了。

其二，在高等數(shù)學(xué)前面的授課內(nèi)容中，當我們學(xué)了自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限后，我們還做了關(guān)于函數(shù)極限的“單個知識點比較教學(xué)模式”，

（1）自變量 趨于有限值與自變量 趨于無窮大的比較；

（2）自變量趨于有限值時，函數(shù)極限存在；自變量趨于無窮大時，函數(shù)極限也存在；

（3）自變量趨于有限值時，函數(shù)極限存在；而自變量趨于無窮大時，函數(shù)極限不存在；

（4）自變量趨于有限值時，函數(shù)極限不存在；而自變量趨于無窮大時，函數(shù)極限存在；

（5）自變量趨于有限值時，函數(shù)極限不存在；自變量趨于無窮大時，函數(shù)極限也不存在。

對上述五種情況的函數(shù)極限，我們在定義、概念和例子上都作了橫向的比較，這樣，學(xué)生對所有情形函數(shù)極限都有了全面認識和體會，對函數(shù)極限這個重要知識點就能掌握了。

當然，后面的每一章我們都有“比較法教學(xué)范式”結(jié)合具體知識點的教學(xué)范式改革的案例，這里限于篇幅就不一一贅述了。總之，會讓“比較法教學(xué)范式”貫穿高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程。

2 “反例法教學(xué)范式”的引入

反例法在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)實踐中有著事半功倍的效果，也有著重要的作用。第一，恰當?shù)剡\用反例法教學(xué)，能引導(dǎo)學(xué)生從反面去思考解決問題，從而有助于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維努力，提高學(xué)習(xí)效率；還有益于學(xué)生對基本概念的理解，使學(xué)生更好地掌握基本定理。第二，數(shù)學(xué)中的概念與定理有許多結(jié)構(gòu)復(fù)雜、條件結(jié)論犬牙交錯，使人不容易理解。反例則可以使概念更加確切與清晰，使定理的條件、結(jié)論之間的充分性、必要性指示得一清二楚。第三，高等數(shù)學(xué)中有許多反例，能夠及時發(fā)現(xiàn)并有效地糾正習(xí)題中的錯誤，也能開拓學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的思維創(chuàng)新能力，引導(dǎo)學(xué)生多方面、多角度地思索問題。第四，反例法教學(xué)能幫助學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，提高他們的數(shù)學(xué)修養(yǎng)及培養(yǎng)他們對數(shù)學(xué)的興趣，甚至還能讓一些同學(xué)發(fā)現(xiàn)原有理論的局限性，對培養(yǎng)他們的科學(xué)研究能力及推動數(shù)學(xué)向前發(fā)展都是有好處的。

本文從引入反例，強化數(shù)學(xué)概念的認識與應(yīng)用；巧借反例，在復(fù)習(xí)鞏固中溫故知新；運用反例，幫助學(xué)生正確判定命題的正確與否；借助反例，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)散思維能力全方面發(fā)展，探討了在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中對反例教學(xué)開展的步驟策略，以期能引導(dǎo)學(xué)生從反面去思考解決問題，從而培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，提高高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)效率。

2.1 有助于學(xué)生理解并掌握課本上的基本定理

當我們講完了函數(shù)的極限四則運算法則后，我們舉了如下的反例：

當求這兩個函數(shù)差的極限時，若做成先求兩個函數(shù)的極限再差，則這兩個函數(shù)差的極限是不存在的，顯然這是錯誤的，原因就是不符合函數(shù)的極限四則運算法則的如下的條件：

通過上面的反例，同學(xué)們明白了以后在思考問題及做作業(yè)、做題的時候括號是不能隨便去掉的，反之會出現(xiàn)錯誤的。

2.2 有助于學(xué)生深化理解課本上的定理、性質(zhì)及規(guī)則

當我們學(xué)到無窮小的比較時，對于無窮小的和差代替規(guī)則，我們舉了如下的反例：若直接來用等價無窮小 x-x來代替是錯誤的。原因就是不符合無窮小的和差代替規(guī)則。

通過上面的反例，同學(xué)們就明白了課本上的定理、性質(zhì)及規(guī)則是在什么條件下成立的，以及不當運用定理和性質(zhì)所帶來的錯誤。

2.3 有利于培養(yǎng)學(xué)生不斷探索、勤于進取的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，也能提高大學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和興趣

當我們講到初等連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)的時候，我們舉了如下的反例：

先舉了一個函數(shù)連續(xù)，另一個函數(shù)不連續(xù)的復(fù)合的反例，則無論是誰復(fù)合誰，在所給定的區(qū)間上都是不連續(xù)的；

又舉了兩個函數(shù)都不連續(xù)的復(fù)合的反例，也是無論誰復(fù)合誰，在所給定的區(qū)間上都是不連續(xù)的。

通過上面的反例，同學(xué)們就明白了初等函數(shù)的復(fù)合在什么情況下是連續(xù)的，又在哪些情況下是不連續(xù)的，這樣就深化了學(xué)生對函數(shù)連續(xù)與否的理解和掌握，使高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)變的“看得見，摸得著”，既加強了學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性和主動性，也提高教學(xué)效率。

這里我們僅舉了上面幾個“反例法教學(xué)”的例子，例如，還有有助于有效地糾正錯誤的反例，有助于開拓學(xué)生認識，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的反例等等，這樣的例子在每一章中我們都有結(jié)合具體知識點的教學(xué)范式改革的案例，這里限于篇幅就不一一贅述了?？傊?，會讓“反例法教學(xué)范式”伴隨學(xué)生高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程。

3 總結(jié)

本文所探討的“以學(xué)生為中心”的高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中“比較與反例教學(xué)方法”是筆者在高等數(shù)學(xué)方面實施的“以學(xué)生為中心”教學(xué)范式改革方面的一些做法和體會感受。我覺得在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，比較與反例教學(xué)方法應(yīng)該引起我們教授高等數(shù)學(xué)教師的重視，合理恰當?shù)剡\用比較與反例教學(xué)法進行教學(xué)，不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，深化學(xué)生對知識的掌握和了解，也可以讓學(xué)生在比較與反例中發(fā)現(xiàn)、分析自己的錯誤，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維，從而能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣和素養(yǎng)。

在實施的過程中總體來看，高等數(shù)學(xué)課程的“比較與反例教學(xué)范式改革”還要在教法方法上精心設(shè)置教學(xué)案例，并以案例的比較、解決為中心。所選的案例要凸顯高等數(shù)學(xué)的教學(xué)目標，提升學(xué)生的注意力。其次，建立豐富的交流和反饋渠道，加強師生之間、同學(xué)之間的交流，使教學(xué)更有針對性，培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑能力。后面我們還要爭取引入數(shù)學(xué)軟件介紹和數(shù)學(xué)實驗，能用數(shù)學(xué)軟件來進行比較和列舉反例，鼓勵學(xué)生動手“做數(shù)學(xué)”：提供實驗任務(wù)說明和實驗指導(dǎo)。還要為學(xué)生提供精選的參考書目，指導(dǎo)學(xué)生充分利用身邊的資源：圖書館，專家講座、互聯(lián)網(wǎng)搜索等等，針對自己關(guān)心的問題如何去尋找豐富的信息并做出篩選。對不同層次的學(xué)生提出不同的要求，成立興趣小組引導(dǎo)學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)方法與學(xué)習(xí)興趣。最后，建立和完善有效的評價和考試方式，最終目的是讓學(xué)生覺得高等數(shù)學(xué)有用也有吸引力和魅力。