江蘇 龔 亮

高考數(shù)學(xué)命題依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》，突出、落實(shí)“綜合性”考查要求，突出對主干、重點(diǎn)知識和內(nèi)容的考查，發(fā)揮高考試題對中學(xué)教學(xué)改革的引導(dǎo)和促進(jìn)作用.2022年全國乙卷理科第16題是一道突出“綜合性”考查要求的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用試題.這里，以該試題為母題，就導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值問題中的應(yīng)用進(jìn)行探究.

一、母題呈現(xiàn)

(2022·全國乙卷理·16)已知x=x1和x=x2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若x1

二、母題分析

函數(shù)的極值和最值是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的兩個重要應(yīng)用，母題是以函數(shù)極值點(diǎn)的大小關(guān)系為題設(shè)背景設(shè)計(jì)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)取值范圍問題.解答母題首先要理解函數(shù)“極值點(diǎn)”的概念，并在對a分類討論的基礎(chǔ)上，將函數(shù)“極值點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)“零點(diǎn)”，再轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程的“根”，進(jìn)而通過構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象有兩個交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合或利用函數(shù)的最值求解.解答母題要運(yùn)用函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，對數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求較高.

三、母題解答

思路1：由x1，x2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)可得，當(dāng)x∈(-∞，x1)∪(x2，+∞)時，f′(x)<0，當(dāng)x∈(x1，x2)時，f′(x)>0，再分a>1和0

解法1：因?yàn)閒(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)，

所以f′(x)=2axlna-2ex=2(axlna-ex).

因?yàn)閤=x1和x=x2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，

所以f′(x1)=f′(x2)=0，且函數(shù)f(x)在(-∞，x1)和(x2，+∞)上單調(diào)遞減，在(x1，x2)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)xx2時，f′(x)<0，當(dāng)x10.

若a>1，當(dāng)x<0時，2lna·ax>0，2ex<0，則此時f′(x)>0與當(dāng)x1不符合題意，所以0

由f′(x1)=f′(x2)=0，可知x=x1和x=x2是方程f′(x)=0，即2(axlna-ex)=0的兩根，

所以函數(shù)y=axlna與函數(shù)y=ex的圖象有兩個不同的交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1和x2.

令g(x)=axlna，則g′(x)=axln2a，0

設(shè)過原點(diǎn)且與函數(shù)y=g(x)的圖象相切的直線的切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，ax0lna)，則切線的斜率為g′(x0)=ax0ln2a，

解法2：因?yàn)閤1，x2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，所以x1，x2分別是導(dǎo)函數(shù)f′(x)的兩個零點(diǎn)，即x1，x2分別是方程f′(x)=0的兩個根，且x1

由解法1知a>1不符合題意，所以0

四、考查模式

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是每年高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，無論是客觀題還是解答題，多數(shù)情況下處于壓軸題的位置，起著“把關(guān)定向”的作用.高考數(shù)學(xué)“成也導(dǎo)數(shù)，敗也導(dǎo)數(shù)”是導(dǎo)數(shù)試題重要性的真實(shí)寫照.極值和最值是函數(shù)的兩條最重要的性質(zhì)，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值更是高考命題考查的熱點(diǎn)，常常在同一個題中同時考查.除上述母題外，還有2021全國乙卷理科第20題：“設(shè)函數(shù)f(x)=ln(a-x)，已知x=0是函數(shù)y=xf(x)的極值點(diǎn).

另外需要指出的是，母題的函數(shù)中出現(xiàn)了一般指數(shù)函數(shù)“ax”的形式，這在全國卷中不足為怪，但在新高考卷中卻鮮有涉及，主要是以特殊指數(shù)函數(shù)“ex”的形式呈現(xiàn)，這或許是全國卷與新高考卷的一點(diǎn)差異吧，2023年高考由全國卷轉(zhuǎn)為新高考卷的地區(qū)的師生在復(fù)習(xí)備考中應(yīng)特別關(guān)注一下.

五、母題變式

若母題的題設(shè)條件不變，結(jié)合母題的解法2，設(shè)計(jì)求函數(shù)最值的取值范圍，則有：

若改變母題中的函數(shù)形式，同時不明確兩個極值點(diǎn)的屬性和大小關(guān)系，則有：

變式2：已知函數(shù)f(x)=ex(aex-1)+x(a>0)有兩個極值點(diǎn)x=x1和x=x2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.

解析：因?yàn)閒(x)=ex(aex-1)+x，所以f′(x)=2ae2x-ex+1，

令t=ex,t∈(0,+∞)，則令f′(x)=0可得2at2-t+1=0，則判別式Δ=1-8a.

則當(dāng)x∈(-∞，x1)時，f′(x)>0，當(dāng)x∈(x1，x2)，f′(x)<0，當(dāng)x∈(x2，+∞)時，f′(x)>0，此時函數(shù)f(x)有兩個極值點(diǎn)，符合題意，

若改變母題中的題設(shè)函數(shù)，設(shè)計(jì)函數(shù)存在極值，且極值為正數(shù)，則有：

變式3：已知函數(shù)f(x)=aln(x+1)-xex(a≠1)有極值，且極值為正數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．

解析：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1，+∞).

當(dāng)a≤0時，f′(x)<0，所以f(x)在(-1，+∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)無極值．

所以f′(x)在(-1，+∞)上單調(diào)遞減．

又f′(0)=a-1，f′(a-1)=1-aea-1．

①當(dāng)00，所以在(-1，+∞)上存在唯一的x0∈(a-1，0)，使得f′(x0)=0．

當(dāng)-10，所以f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>x0時，f′(x)<0，所以f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)的極大值為f(x0)>f(0)=0，符合題意；

②當(dāng)a>1時，f′(0)>0，f′(a-1)<0，同理符合題意．

綜上，可得a>0且a≠1．

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0，1)∪(1，+∞).

若改變母題中的函數(shù)形式，設(shè)計(jì)判斷兩個極值的差是否有最小值的探索性問題，則有：

解析：f(x1)-f(x2)無最小值，理由如下：

函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，+∞).

設(shè)g(x)=-x2+x-a.

因?yàn)楹瘮?shù)有兩個不同的極值點(diǎn)x=x1和x=x2，

所以方程-x2+x-a=0有兩個不同的根x=x1和x=x2，

因?yàn)閒(x1)-f(x2)的最小值為f(x)極小值-f(x)極大值，不妨設(shè)f(x1)為極小值，f(x2)為極大值，

故f(x1)-f(x2)不存在最小值.

六、方法規(guī)律

導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)問題的有力工具，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值等問題是高考命題的一類熱點(diǎn)題型，常常處于壓軸題的位置.這里，將函數(shù)的極值與最值相關(guān)的知識和注意事項(xiàng)加以歸納整理.

1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值、最值的思維程序

2.利導(dǎo)數(shù)求函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上的極值

利導(dǎo)數(shù)求函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上的極值的步驟：

①求導(dǎo)數(shù)f′(x)；

②求方程f′(x)=0的根x0；

③檢查f′(x)在方程f′(x)=0的根x0的左右的符號：“左正右負(fù)”?f(x)在x0處取極大值；“左負(fù)右正”?f(x)在x0處取極小值.

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題時要注意f′(x)=0為極值點(diǎn)的必要非充分條件.判斷極值時，一定要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來判斷，避免出現(xiàn)錯誤.如果函數(shù)在x=x0處滿足f′(x0)=0，若導(dǎo)函數(shù)的值在該點(diǎn)附近符合“左正右負(fù)”，則x0是極大值點(diǎn)；若符合“左負(fù)右正”，則x0是極小值點(diǎn).

3.求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最值

若函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)上可導(dǎo)，則求函數(shù)f(x)在(a，b)上的最值的步驟：

①求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的極值；

②將求得的極值與f(a)，f(b)比較，得到f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值.

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值時應(yīng)注意：①函數(shù)的最值是對整個定義域而言，是在整個取值范圍內(nèi)討論問題，是一個整體性的概念；②函數(shù)在其定義域區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個.

4.由函數(shù)的極值或最值求參數(shù)取值范圍