湖南 張新民

高考命題注重對(duì)“基礎(chǔ)性”的考查要求，解答題的前幾道試題往往設(shè)置一些“基礎(chǔ)性”試題，旨在考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本能力和基本素養(yǎng)，包括全面合理的知識(shí)結(jié)構(gòu)、扎實(shí)靈活的能力.這些試題看似素材質(zhì)樸、背景平淡，但往往平中蘊(yùn)奇，有著豐富的思想方法內(nèi)涵，反映出數(shù)學(xué)本質(zhì)性的東西，多角度進(jìn)行分析、探究，對(duì)提高數(shù)學(xué)思維能力大有裨益.2022年新高考Ⅰ卷第17題的數(shù)列解答題就是基于“基礎(chǔ)性”考查要求的一道優(yōu)質(zhì)試題，本篇以該試題為母題，從母題變式、推廣及知識(shí)聯(lián)系等方面進(jìn)行分析研究.

一、母題呈現(xiàn)

(1)求{an}的通項(xiàng)公式；

二、母題分析

試題以基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法、基本數(shù)學(xué)思想的面目對(duì)數(shù)列解答題進(jìn)行考查，試題設(shè)置兩小問(wèn)：第(1)問(wèn)利用題設(shè)所給等差數(shù)列的條件以及數(shù)列“和”與“項(xiàng)”的關(guān)系轉(zhuǎn)化為遞推式，運(yùn)用累乘法或構(gòu)造常數(shù)列求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，這一小問(wèn)是該道試題的重點(diǎn)部分，需要運(yùn)用分類討論和化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想及累乘法，其中還考查思維的全面性；第(2)問(wèn)依據(jù)第(1)問(wèn)求得的通項(xiàng)公式，進(jìn)行裂項(xiàng)求和，然后“放縮”證得結(jié)論.試題雖然是試卷中首道解答題，但對(duì)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求是比較高的.透過(guò)試題表象，可以看出命題者對(duì)數(shù)列解答題命題的深層次思考.

三、母題解答

解法1(累乘法+裂項(xiàng)相消法)：

整理得(n-1)an=(n+1)an-1，

顯然對(duì)于n=1也成立，

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于第(1)問(wèn)，利用數(shù)列“和”與“項(xiàng)”的關(guān)系轉(zhuǎn)化為遞推式后，運(yùn)用累乘法求得an后，需要注意的是不要忽視對(duì)于n=1是否成立的驗(yàn)證.

解法2(構(gòu)造常數(shù)列+裂項(xiàng)相消法):

(2)同解法1.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于第(1)問(wèn)，首先利用數(shù)列“和”與“項(xiàng)”的關(guān)系轉(zhuǎn)化為遞推式，變形后，通過(guò)構(gòu)造常數(shù)列求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.

四、考查模式

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)，也是新高考卷解答題中必考的基本內(nèi)容之一.新高考Ⅰ卷已啟用三年，這三年對(duì)數(shù)列解答題的考查均以考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法、基本數(shù)學(xué)思想的面目出現(xiàn)，試題處于17或18題的位置.試題設(shè)置兩問(wèn)：第(1)問(wèn)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，主要考查基本量思想的應(yīng)用、數(shù)列有關(guān)性質(zhì)或數(shù)列遞推關(guān)系；第(2)問(wèn)設(shè)置數(shù)列求和或與數(shù)列通項(xiàng)、前n項(xiàng)和等有關(guān)的數(shù)列不等式證明、求參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題.其中“數(shù)列求和”是命題的“主旋律”，方法有直接利用求和公式、裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減、分組求和或分段求和等，這是數(shù)列解答題的重點(diǎn)考查方向.下表是2020～2022年新高考Ⅰ卷對(duì)數(shù)列解答題的考查一覽，新高考Ⅰ卷對(duì)數(shù)列解答題的考查特點(diǎn)由此可窺見(jiàn)一斑.

表 2020～2022年新高考Ⅰ卷數(shù)列解答題考查一覽

筆者預(yù)測(cè)2023年新高考Ⅰ卷對(duì)數(shù)列解答題的考查風(fēng)格總體上會(huì)繼續(xù)沿用現(xiàn)有模式.從命題形式上看，近年來(lái)新高考Ⅰ卷刻意避開(kāi)“結(jié)構(gòu)不良”的命題形式，盡管在近幾年各地的新高考模擬卷中數(shù)列解答題的結(jié)構(gòu)不良試題出現(xiàn)的頻率很高，命題較多，但新高考Ⅰ卷對(duì)以結(jié)構(gòu)不良題型出現(xiàn)的數(shù)列解答題還未曾涉及，而數(shù)列卻是作為命制結(jié)構(gòu)不良試題最佳的素材和載體，因而預(yù)測(cè)2023年新高考Ⅰ卷命制數(shù)列結(jié)構(gòu)不良試題的可能性很大，希望新高考Ⅰ卷地區(qū)的教師在指導(dǎo)復(fù)習(xí)備考時(shí)予以關(guān)注.

五、母題變式

(1)求{an}的通項(xiàng)公式；

和母題一樣，對(duì)于第(1)問(wèn)，也是用兩種方法分別來(lái)解答.

整理得(n-1)an=(n+k-2)an-1，

因?yàn)閍1=1，且與組合數(shù)公式相聯(lián)系，

所以當(dāng)k≥3時(shí)，

等式左、右兩邊分母同乘以(n+1)(n+2)(n+3)×…×(n+k-2)，

(2)同解法1.

點(diǎn)評(píng)：變式1將母題延伸、推廣到一般情形，運(yùn)用數(shù)列知識(shí)并結(jié)合計(jì)數(shù)原理中的排列數(shù)、組合數(shù)及其變形推導(dǎo)、證明結(jié)論，抽象程度高，邏輯思維能力強(qiáng)，需要有較強(qiáng)的運(yùn)算求解能力，很好地考查了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

考慮到母題的第(2)問(wèn)是運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和的，這里在直接給出數(shù)列{an}的遞推關(guān)系的條件下，(1)利用累乘法求通項(xiàng)；(2)考查利用錯(cuò)位相減法求和，則有：

(1)求{an}的通項(xiàng)公式；

(2)證明：a1+a2+a3+…+an≤-2.

因?yàn)閍1=-2，所以得an=-n·2n(n≥2，n∈N*).

又a1=-2符合上式，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-n·2n.

(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，即Sn=a1+a2+a3+…+an.

由(1)知Sn=-(1×2+2×22+…+n·2n)，

兩式相減，得Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1=-2+(1-n)·2n+1≤-2.

故a1+a2+a3+…+an≤-2得證.

考慮到裂項(xiàng)相消法求和的多樣性，這里將母題第(2)問(wèn)的裂項(xiàng)相消法求和變?yōu)椤爸笖?shù)型”，則有：

【變式3】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，Sn+1=Sn+2an+1，n∈N*.

(1)證明：數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；

【分析】(1)首先利用Sn與an的關(guān)系，得到an+1與an的遞推關(guān)系，配湊后證得結(jié)論.

【解析】(1)因?yàn)镾n+1=Sn+2an+1，

所以Sn+1-Sn=2an+1，

所以an+1=2an+1，

所以an+1+1=2(an+1)，

又a1=1，所以a1+1=2，

故數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.

(2)由(1)得an+1=2×2n-1=2n，所以an=2n-1，

故Tn<1得證.

考慮到命題形式的多樣性，這里設(shè)置一個(gè)結(jié)構(gòu)不良試題，則有：

【變式4】已知數(shù)列{an}與正項(xiàng)等比數(shù)列{bn}滿足an=log2bn(n∈N*)，且________.

(1)求{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)Cn=an·bn，求數(shù)列{Cn}的前n項(xiàng)和Sn.

從①b3=16，b6=128；②b1=4，b5-b1b3=0這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答．

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【分析】本題是以結(jié)構(gòu)不良試題形式命制的試題，首先從題中所給的兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到題目中，然后按結(jié)構(gòu)良好試題的模式去作答.

(1)利用已知條件和等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，再利用已知中兩數(shù)列關(guān)系求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

(2)將{an}與{bn}的通項(xiàng)公式代入Cn=an·bn，然后運(yùn)用乘公比錯(cuò)位相減法求出數(shù)列{Cn}的前n項(xiàng)和Sn.

【解析】若選①，

(1)因?yàn)閿?shù)列{bn}是正項(xiàng)等比數(shù)列，所以b6=b3q3.

所以bn=b1qn-1=4·2n-1=2n+1.

所以an=log2bn=n+1.

故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n+1，{bn}的通項(xiàng)公式為bn=2n+1.

(2)Cn=an·bn=(n+1)·2n+1，

所以Sn=2·22+3·23+4·24+…+(n+1)·2n+1，

2Sn=2·23+3·24+…+n·2n+1+(n+1)·2n+2.

故Sn=n·2n+2.

若選②，

(1)由b5-b1b3=0，得b5=b1b3.

因?yàn)閿?shù)列{bn}是正項(xiàng)等比數(shù)列，設(shè){bn}的公比為q,所以b1q4=b1·b1q2.

因?yàn)閎1=4，所以q2=4，又bn>0，所以q=2.

所以bn=b1qn-1=4·2n-1=2n+1.

所以an=log2bn=n+1.

故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n+1，{bn}的通項(xiàng)公式為bn=2n+1.

(2)同選①的解法.

六、方法規(guī)律

1.求數(shù)列的通項(xiàng)公式是高考考查的重點(diǎn)，其中累加、累乘法是求數(shù)列通項(xiàng)的基本方法.

(1)累加法

將遞推公式變形為an+1-an=c(c為常數(shù))或an+1-an=f(n)，分別令n=1，2，3，…，n-1，n，再將這n個(gè)式子相加得an+1-a1的表達(dá)式，從而求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

(2)累乘法

2.常考的數(shù)列求和的主要方法

(1)裂項(xiàng)相消法求和

將數(shù)列的各項(xiàng)拆分成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前n項(xiàng)和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和.裂項(xiàng)相消法求和用得比較多，一般是把通項(xiàng)公式分解為兩式子的差，再相加抵消，但是在抵消時(shí)，有的是依次抵消，有的是間隔項(xiàng)抵消，特別是間隔項(xiàng)抵消時(shí)要注意規(guī)律性.另外，要注意的是裂項(xiàng)相消后剩余的正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)一樣多.

(2)錯(cuò)位相減法求和

若數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn=anbn，其中{an}，{bn}中一個(gè)是等差數(shù)列，另一個(gè)是等比數(shù)列，求和時(shí)一般在已知和式的兩邊都乘以組成這個(gè)數(shù)列的等比數(shù)列的公比q，然后再將得到的新和式和原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和，這種方法就是錯(cuò)位相減法.

(3)分組求和

數(shù)列的通項(xiàng)是若干項(xiàng)的代數(shù)和，要將其分成幾部分來(lái)求解.

(4)分段求和

對(duì)于以分段形式給出的數(shù)列求和問(wèn)題，先研究各段的規(guī)律，然后分段求和后再合并.

七、教學(xué)啟示